13、)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又10，a>0)與拋物線y＝x2有一個公共焦點F，雙曲線的過點F且垂直于y軸的弦長為，則
14、雙曲線的離心率等于( )
A．2 B．
C． D．
[答案] B
[解析] 雙曲線與拋物線x2＝8y的公共焦點F的坐標(biāo)為(0,2)，由題意知(，2)在雙曲線上，于是，得a2＝3，b2＝1，故e＝＝，故選B．
(理)(2013·安徽皖南八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使·＝0，且△F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為( )
A． B．
C．2 D．5
[答案] D
[解析] 設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由題可知△F1PF2為直角三角形且F1F2為斜
15、邊．由雙曲線的幾何性質(zhì)和直角三角形的勾股定理得
由①③得
代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，等式兩邊同時除以a2得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.因為雙曲線的離心率e>1，所以e＝5.
12．(2014·重慶理)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為( )
A． B．
C． D．3
[答案] B
[解析] 由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝3b，所
16、以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9()2－－4＝0，則(＋1)(－4)＝0，解得＝(＝－舍去)，則雙曲線的離心率e＝.
13．(2014·湖北文)設(shè)a，b是關(guān)于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線－＝1的公共點的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 關(guān)于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根為0，－t
17、anθ(tanθ≠0)，∴A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，則過A，B兩點的直線方程為y＝－xtanθ，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±xtanθ，所以直線y＝－xtanθ與雙曲線沒有公共點，故選A．
14．(文)若原點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴雙曲線方程為－y2＝1.
設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
18、∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.
又∵x≥(右支上任意一點)，
∴·≥3＋2.故選B．
(理)設(shè)F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠PF1F2＝
＝＝＝.所以|PF1|＝c.
又|PF1|－|PF2|＝2a，即c－2c＝2a，所以c＝a.
19、
代入c2＝a2＋b2得＝±.
因此，雙曲線的漸近線方程為4x±3y＝0.
二、填空題
15．(文)(2013·湖南)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，若在C上存在一點P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．
[答案]?。?
[解析] 由已知可得，|PF1|＝2ccos30°＝c，|PF2|＝2csin30°＝c，由雙曲線的定義，可得c－c＝2a，則e＝＝＝＋1.
(理)(2014·山東日照模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P和Q.且△F1PQ為正三角形，
20、則雙曲線的漸近線方程為________．
[答案] y＝±x
[解析] 設(shè)F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
代入雙曲線方程得y0＝±，
∵PQ⊥x軸，∴|PQ|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)，
∵a>0，b>0，∴＝.
故所求雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
16．P為雙曲線x2－＝1右支上一點，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________．
[答案] 5
[解析] 雙
21、曲線的兩個焦點為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
三、解答題
17．(文)(2013·江蘇泰州質(zhì)檢)已知點N(1,2)，過點N的直線交雙曲線x2－＝1于A，B兩點，且＝(＋)．
(1)求直線AB的方程；
(2)若過N的另一條直線交雙曲線于C，D兩點，且·＝0，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？
[解析] (1)由題意知直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB：y＝k(x－1
22、)＋2，代入x2－＝1得，
(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，
∴2－k2≠0且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，∴N是AB的中點，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，∴k＝1，∴AB的方程為y＝x＋1.
(2)將k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，
∴x＝－1或x＝3，
不妨設(shè)A(－1,0)，B(3,4)．
∵·＝0，∴CD垂直平分AB．
∴CD所在直線方程為y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，
代入雙曲線方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(
23、x4，y4)及CD中點M(x0，y0)，
則x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，
∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3,6)．
|CD|＝|x3－x4|
＝＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，
即A，B，C，D到M的距離相等，∴A，B，C，D四點共圓．
(理)(2014·廣東肇慶一模)設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點坐標(biāo)為(，0)，離心率e＝，A，B是雙曲線上的兩點，AB的中點為M(1,2)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求直線AB的方程；
(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否
24、共圓？為什么？
[解析] (1)依題意得解得a＝1.
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2，
故雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
兩式相減得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)·(y1＋y2)，
由題意得x1≠x2，x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以＝＝1，即kAB＝1.
故直線AB的方程為y＝x＋1.
(3)假設(shè)A，B，C，D四點共圓，且圓心為P.因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB的垂直平分線CD上．
又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M.
下面只需證CD的中點M滿足|MA|＝|MB|＝|MC|＝|
25、MD|即可．
由得A(－1,0)，B(3,4)．
由此可得直線CD方程：y＝－x＋3.
由
得C(－3＋2，6－2)，D(－3－2，6＋2)，
所以CD的中點M(－3,6)．
因為|MA|＝＝2，|MB|＝＝2，
|MC|＝＝2，|MD|＝＝2，
所以|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|，
即A，B，C，D四點在以點M(－3,6)為圓心，2為半徑的圓上．
18．(文)已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，其漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過點P(－4,0)作斜率為的直線l，交雙曲線左支于A、B兩點，交y軸于點C，且滿足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)
26、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點M為雙曲線上一動點，點N為圓x2＋(y－2)2＝上一動點，求|MN|的取值范圍．
[解析] (1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，
因為漸近線與圓(x－5)2＋y2＝5相切，
則＝，即k＝±，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
設(shè)雙曲線方程為x2－4y2＝m，將y＝(x＋4)代入雙曲線方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.
所以xA＋xB＝－，xAxB＝.
因為|PA|·|PB|＝|PC|2，點P、A、B、C共線，且點P在線段AB上，則(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.
所以4(xA
27、＋xB)＋xAxB＋32＝0.
于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4.
故雙曲線方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.
(2)設(shè)點M(x，y)，圓x2＋(y－2)2＝的圓心為D，則x2－4y2＝4，點D(0,2)．
所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2
＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥.
所以|MD|≥，
從而|MN|≥|MD|－≥.
故|MN|的取值范圍是[，＋∞)．
(理)已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)．
(1)求C的離心率；
(2)設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，|DF
28、|·|BF|＝17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．
[解析] (1)由題意知，l的方程為：y＝x＋2，
代入C的方程并化簡得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1·x2＝－，①
由M(1,3)為BD的中點知＝1，
故×＝1，
即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，
∴C的離心率e＝＝2.
(2)由②知，C的方程為3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，
故不妨設(shè)x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6.
連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
從而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，
因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．
2016屆高三數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化：第8章 第5節(jié)雙曲線
