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高二數(shù)學(xué)《圓的一般方程》教學(xué)設(shè)計 教材版本：人教版（必修） 學(xué)科：數(shù)學(xué) 年級：高二年級 冊別：第二冊（上） 課題：第七章第二節(jié)圓的方程第二課時教學(xué)設(shè)計 一、教材分析 圓的方程這節(jié)內(nèi)容是學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)，由于圓的方程應(yīng)用及其廣泛，所以對圓的一般方程的要求層次是“掌握”，又由于圓的一般方程中含有三個參變數(shù)D、E、F,對它的理解帶來一定的困難。因而本節(jié)的難點是對圓的一般方程的認(rèn)識，掌握和應(yīng)用。突破難點的關(guān)鍵是抓住一般方程的特點。 二、學(xué)情分析 圓的一般方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，又掌握了利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的。 但由于學(xué)生基礎(chǔ)差、學(xué)習(xí)程度較淺，且對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)過程中難免會出現(xiàn)困難。另外學(xué)生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強(qiáng)。 三、教法分析 為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，本節(jié)課采用“合作探究與啟發(fā)式教學(xué)法”，用環(huán)環(huán)相扣的問題將探究活動層層深入，教師組織學(xué)生分析討論、合作探究。 四、學(xué)法分析 通過展開圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，歸納總結(jié)得出圓的一般方程，通過求圓的方程，加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解，通過應(yīng)用圓的一般方程，熟悉用待定系數(shù)法求解的過程。 五、設(shè)計思想 本節(jié)課的設(shè)計思想是：以多媒體網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺為依托，為學(xué)生營造一個探究學(xué)習(xí)的環(huán)境，讓他們參與到多媒體教學(xué)中來，探究新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題。 六、教學(xué)策略 結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的特點，可以向?qū)W生滲透多種數(shù)學(xué)思想方法：:配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想、 分類討論的思想、方程的思想，同時對學(xué)生的觀察類比，創(chuàng)新等多種能力的培養(yǎng)有利，通過求圓的一般方程使學(xué)生又進(jìn)一步熟悉待定系數(shù)法的應(yīng)用。 七、教學(xué)目標(biāo) （一）知識與技能 使學(xué)生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程。 （二）過程與方法 通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探討，讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力，并使學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程的方法。 （三）情感態(tài)度價值觀 滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論與方程等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。 八、教學(xué)重點、難點 1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程。 (解決辦法：(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強(qiáng)這方面題型訓(xùn)練。) 2．難點：圓的一般方程的探討過程。 (解決辦法：通過對方程配方分三種討論得限制條件。) 九、教具：多媒體、黑板、圓規(guī)、三角板 十、【教學(xué)過程與設(shè)計】(課堂實錄) 環(huán) 節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖 舊 知 回 顧 、 新 知 鋪 墊 一、復(fù)習(xí)引入： 問題1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式是怎樣的？其中圓心的坐標(biāo)和半徑各是什么？ 若圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程怎么表示？ 問題2：若把標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開后，會得出怎樣的形式？ 師：同學(xué)們！上節(jié)課我們研究了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請同學(xué)們回憶 一下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并填寫學(xué)案， 教師：提出問題，并對學(xué)生的回答加以肯定。 教師活動：讓學(xué)生先獨立思考，自主探究， 引導(dǎo)學(xué)生得出方程形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出課題 學(xué)生活動：回答問題，并填寫學(xué)案： 學(xué)生活動：動筆展開方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 復(fù)習(xí)鞏固圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步明確其結(jié)構(gòu)特征，為新知識作鋪墊。 學(xué)生帶著疑問，親自動筆實踐，發(fā)現(xiàn)新問題，引入課題。 引 入 新 課 、 提 出 課 題 二、新課講解 課題：圓的一般方程 師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：圓的一般方程． 教師板書：圓的一般方程 使學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。 合 作 探 討 問題3：是不是每個形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲線都是圓呢？ 教師活動：提出問題. 引導(dǎo)學(xué)生思考圓的方程的要求，想到利用配方法將展開式化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)在什么情況下，它的軌跡是圓、點或無軌跡。 組織學(xué)生分析討論，給學(xué)生充足的時間討論，并作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。 【師生互動】：教師巡視指導(dǎo)，參與學(xué)生的討論。 學(xué)生活動：先獨立思考，自主探究后，再與前后同學(xué)合作交流。 生生互動：在教師引導(dǎo)下，合作交流，共同探討方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形。 共同探討后，達(dá)成共識：先將方程配方，再與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較。 讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，體會數(shù)形結(jié)合思想，加深對知識的理解。 、 合 作 交 流 .歸納 總 結(jié) 、 獲 得 新 知 直 接 應(yīng) 用 、 內(nèi) 化 新 知 深 入 探 究 、 自 主 學(xué) 習(xí) 舉例分析 、 應(yīng)用新知 反 饋 訓(xùn) 練 、 形 成 方 法 1、探討形成：將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方 (1) 當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程①表示 一個圓； （2）當(dāng)D2+E2-4F = 0時，方程①表示一個點； (3)當(dāng)D2+E2-4F＜0時，方程①不表示任何圖形。 2.歸納總結(jié)： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形分別是圓、點或不表示任何圖形． 3.提出概念：（圓的一般方程的定義） 4.鞏固練習(xí)： 1、下列方程各表示什么圖形？ 2、求下列各圓的圓心和半徑 問題4：圓的一般方程有什么特點？ 三、例題精講 題型一：利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓的方程，并化為一般方程。 例1　求過點A(5，-1)，圓心在點C(8，-3)的圓的一般方程，并化為一般方程 題型二:求利用圓的一般方程求圓的方程： 例2　 求過三點O(0，0)、M1(1，1)、M2(4，2)的圓的方程。 四、反饋練習(xí)：求過三點A(-1，5)、B(-2，-2)、C(5，5)的圓的方程。 教師預(yù)設(shè)：先將方程配方，再與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較。教師板書： ① 師：請同學(xué)們觀察方程①，可以看出什么？ 教師提示學(xué)生：先把方程①與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，再分類討論。 當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程①表示什么？ 教師繼續(xù)引導(dǎo)：當(dāng)D2+E2-4F = 0時，又表示什么？ 教師預(yù)設(shè)：當(dāng)學(xué)生回答不明確時，教師作適當(dāng)?shù)奶崾荆寒?dāng)D2+E2-4F = 0時，方程① 只有實數(shù)解 教師設(shè)問：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有沒有實數(shù)解？． 教師活動：教師在學(xué)生基礎(chǔ)上梳理思路，板書：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形分別是圓、點或不表示任何圖形。 師：根據(jù)以上結(jié)論，請同學(xué)們給出圓的一般方程的定義。 【教師活動】板書： 圓的一般方程的定義 當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程。 圓心坐標(biāo)為：，半徑為： 教師強(qiáng)調(diào)：不要死記結(jié)果，要熟記通過配方求圓心和半徑的方法。 教師活動：巡視學(xué)生完成情況，對學(xué)生的回答作點評，給出正確答案，同時強(qiáng)調(diào)：方程中隱含條件以及分類討論的情況。 教師設(shè)問：圓的一般方程有什么特點？ 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生比較二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，與圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)。 教師強(qiáng)調(diào)：1.條件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圓的必要條件，但不是充分條件； 2.只要確定了D、E、F即可寫出圓的一般方程。 教師活動：巡視學(xué)生完成情況，并請一位學(xué)生上黑板展示，教師點評學(xué)生的回答。 教師預(yù)設(shè)： 解：（利用待定系數(shù)法） 設(shè)圓的方程為： ∵圓經(jīng)過點A（5，-1） ∴ ∴ 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)脠A的方程的兩種形式求解圓的方程，并引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)例1、例2：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程。 教師預(yù)設(shè)： 解：（利用待定系數(shù)法） 設(shè)圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由題意得， F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 ∴圓的方程為：x2+y2-8x+6y=0， 教師活動：讓學(xué)生先獨立思考，自主完成，教師糾錯，并給予適當(dāng)?shù)狞c評，出示正確答案. 學(xué)生活動：在教師的引導(dǎo)下通過觀察、分析后發(fā)現(xiàn)： 當(dāng)D2+E2-4F＞0時 方程①表示一個以為圓心，為半徑的圓； 學(xué)生回答：當(dāng)D2+E2-4F = 0時，方程①表示一個點 學(xué)生回答：沒有，因而它不表示任何圖形 學(xué)生活動：歸納總結(jié)：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形分別是圓、點或不表示任何圖形。 學(xué)生口答： 當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程．圓心坐標(biāo)為：，半徑為： 學(xué)生活動：獨立完成，并回答問題。 學(xué)生活動：歸納結(jié)論： (1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即A=C≠0； (2)沒有xy項，即B=0； 【學(xué)生活動】： 獨立完成，認(rèn)真作答，學(xué)生自愿到黑板上展示各自解法： 學(xué)生活動：在老師的引導(dǎo)下，認(rèn)真完成，并體會如何根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓方程形式。 學(xué)生活動：獨立完成. 讓學(xué)生積極主動地參與到討論中來，成為學(xué)習(xí)的主人， 讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，體會知識的來龍去脈，加深對知識的理解。 使學(xué)生學(xué)會歸納總結(jié) 使學(xué)生明確圓的一般方程的定義。 加強(qiáng)鞏固會通過配方法判斷方程所表示的圖形和求圓的半徑及圓心坐標(biāo)。 讓學(xué)生通過歸納得出圓的一般方程的形式特點，體會圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各自的優(yōu)點。 進(jìn)一步鞏固學(xué)生能夠利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解圓的方程，并加強(qiáng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化。 通過利用圓的方程的兩種形式求解圓的方程，進(jìn)一步體會各自的優(yōu)點，并掌握待定系數(shù)法求解圓的方程的方法。 讓學(xué)生進(jìn)一步體會如何根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓方程形式，并加強(qiáng)待定系數(shù)法求解圓的方程的方法. 課 堂 小 結(jié) 、 升 華 課 題 （1）知識性小結(jié)： 問題5：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你獲得了哪些知識？ （2）方法性小結(jié)： 問題6：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你掌握了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？ 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識要點，點評學(xué)生小結(jié)，并加以歸納補(bǔ)充： 1.本節(jié)課的主要知識點： （1）圓的一般方程及其形式特點； （2）圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化； （3）用待定系數(shù)法求圓的方程。 2.本節(jié)課用的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想: ⑴數(shù)學(xué)方法: 配方法、待定系數(shù)法。 ⑵數(shù)學(xué)思想: ① 數(shù)形結(jié)合的思想； ② 轉(zhuǎn)化的思想； ③ 分類討論的思想； ④ 方程的思想。 學(xué)生活動：回顧本節(jié)課的知識要點與方法，認(rèn)真總結(jié)，并認(rèn)真聽取老師的補(bǔ)充。 通過學(xué)生的小結(jié)，加深對新知識的記憶，通過老師的補(bǔ)充升華本節(jié)課的課題。 簡潔明了概括本節(jié)課的重要知識，學(xué)生易于理解記憶。 課 后 作 業(yè) 1、分層作業(yè) 鞏固型作業(yè)：（必做題） P90 習(xí)題7.6 5，6 思維拓展型作業(yè)：（選作題） 針對學(xué)生實際，對課后書面作業(yè)實施分層設(shè)置。 分兩個層次留作業(yè)，第一層次要求所有學(xué)生都要完成，第二層次要求學(xué)有余力的同學(xué)完成。 鞏固所學(xué)新知識，加深對新知識的理解。能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足。 十一、板書設(shè)計 一、復(fù)習(xí)引入：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2展開： 二、新課講解 課題：圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方： 歸納總結(jié)：當(dāng)D2+E2-4F＞0時， 當(dāng)D2+E2-4F = 0時， 當(dāng)D2+E2-4F＜0時， 提出概念：圓的一般方程的定義 三、例題精講 例1、 例2 四、反饋練習(xí) 五、課堂小結(jié) （1）知識性小結(jié) （2）方法性小結(jié) 六、課后作業(yè)