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截長補短法 圖1-1 人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例. 例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求證：∠BAD+∠BCD=180. 分析：因為平角等于180，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn). 證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2 圖1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF， 在Rt△ADE與Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 圖2-1 又∠BAD+∠DAE=180，∴∠BAD+∠DCF=180， 即∠BAD+∠BCD=180 例2. 如圖2-1，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求證：CD=AD+BC. 圖2-2 分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的. 證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2 在△FCE與△BCE中， ∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180，∴∠DCE+∠CDE=90， ∴∠2+∠3=90，∠1+∠4=90，∴∠3=∠4. 在△FDE與△ADE中， ∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， ∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC. 例3. 已知，如圖3-1，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，AB+BC=2BD. 求證：∠BAP+∠BCP=180. 分析：與例1相類似，證兩個角的和是180，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造. 圖3-1 證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖3-2 ∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD， 在Rt△BPE與Rt△BPD中， 圖3-2 ∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD. ∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE. 在Rt△APE與Rt△CPD中, ∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又∵∠BAP+∠PAE=180,∴∠BAP+∠BCP=180 圖4-1 例4. 已知：如圖4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求證：AB=AC+CD. 分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC. 證明：方法一（補短法） 圖4-2 延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖4-2 ∴∠ACB＝2∠E， ∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E， 在△ABD與△AED中, ∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC. 方法二（截長法） 圖4-3 在AB上截取AF=AC，如圖4-3 在△AFD與△ACD中, ∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD. 上述兩種方法在實際應用中，時常是互為補充，但應結(jié)合具體題目恰當選擇合適思路進行分析。讓掌握學生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數(shù)學中的化歸思想有較大的幫助。