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1、實數(shù)復(fù)習(xí) 知幟網(wǎng)箱 J 問題情境 趣數(shù)的引入 「算術(shù)平方根 超數(shù)的表示. 平方根 L 立方根 概念 分類 絕對值、相反數(shù) 實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng) 實數(shù)運(yùn)算和比就小 【知識梳理】 一 . 數(shù)的開方主要知識點： 【平方根】如果一個數(shù)X的平方等于a,那么，這個數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當(dāng) x2 = a (a > 0)時，我們稱x是a的平方根， 記做： x => 0) 0 因此： 1. 當(dāng) "0 時，它的平方根只有一個，也就是0 本身： 2. 當(dāng) a>0 時，也就是a 為正數(shù)時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做： x = 土揚(yáng)。 3. 當(dāng) aVO 時，也

2、即 a 為負(fù)數(shù)時，它不存在平方根。 【算術(shù)平方根】： (1)如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2 = ?,那么，這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為："J7",讀作，"根號a",苴中，a 稱為被開方數(shù)。特別規(guī)泄： 0 的算術(shù)平方根仍然為 0 。 ( 2)算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即：VA>0(t/>0)o ( 3) 算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此, 算術(shù)平 方根只有一個值，并且是非負(fù)數(shù), 它只表示為：荷：而平方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為： 土麗。 【立方根】 (1)如果x的立方等于a,那么，就稱x是a的

3、立方根，或者三次方根。記做： W,讀作，3次根號6注意：這里的3表 示的是根 指數(shù)。一般的，平方根可以省寫根指數(shù)，但是，當(dāng)根指數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。 (2) 用殳的，平方根可以省寫根指數(shù)，但是，當(dāng)根指數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略 方根與立方根：每個數(shù)都有立方根，并且一個數(shù)只有一個立方根；但是，并不是每個數(shù)都有平方根，只有非 數(shù)才能有平方根。 【無理數(shù)】 ( 1)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)：它必須滿足"無限 " 以及 "不循環(huán) "這兩個條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要 包含 列幾種： ( 1 ) 特殊意義的數(shù)，如：圓周率兀以及含有 ; r 的一些數(shù)，如：2?龍，3

4、 龍等； ( 2) 開方開不盡 的數(shù)，如 : 萌等： 3〉特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如： 2.010 010 001000 01... (兩個 1 之間依次多 1 個 0) 等。 應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號的數(shù)不一立是無理數(shù)，如： jg等；無理數(shù)也不一泄帶根號，如：7T 2 ） 有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別： （ 1 ） 有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)： （ 2 〉所 有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為 1 的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)形式。 【實數(shù)】 1 ） 有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)：絕對值最小的實數(shù)是 0

5、, 最大的 負(fù)整數(shù)是 ？ 1, 最小的正整數(shù)是1. （2）實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù) a的相反數(shù)是？ a；實數(shù)a的倒數(shù)是，（20）；實數(shù)a的絕對值|a二，它的幾何意 < 0) 義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。 （ 3 ） 實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于 0, 0 大于負(fù)數(shù)：正數(shù)大 于負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的 數(shù)）。 對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。 （ 4 ） 實數(shù)的運(yùn)算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則

6、和運(yùn)算順序與有理數(shù)的 一 致。 一、填空題 1. 在數(shù)軸上離原點距離是循的點表示的數(shù)是 ; 2. （ V2-V3 ） 2 的算術(shù)平方根是 ; 3. 若實數(shù) xv 0? 化簡 V? -V? = ; I— 5. 4. 若” + +（ 3-b = 0, 貝 I] ab + a - a = ； 若 =5, 心=2, 且 abvO, 貝 i a+ b= 6. 數(shù)軸上 -1, 逅的對應(yīng)點分別為 A, 3, 點 3 關(guān)于點 A 的對稱點為 C, 則點 C 表示的數(shù)為 7. 化簡 J] —2TZH-JE=； 8. 若\x-y-hA與 Jx+y_]互為相反數(shù)，貝 H x= ' y=

7、9. 2+點的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y,則x二, y= 10. I2-A/5|= , 13-兀 I 二 2-同 +〔 3-麗二 11. 滿足一 V2T /3 ) 2,) = J (-,那么xy 等于 () A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 15. 已知一個正方體的表面積為 6a, 那么它的邊長是 () A. aB.C. ± .y[ci D. ± a 16. 下列各數(shù)中，立方根一定是負(fù)數(shù)的是() A. — a B. — a C. — a —1 D. — a'+l

8、 17. 若一個數(shù)的立方根與它的平方根完全相同，則這個數(shù)是 ( A. 1B. -1C. -1 或 1 D. 0 A. 有限小數(shù)不是有理數(shù) 18. 下列命題中正確的是 ( B.無限小數(shù)是無理數(shù) C. 數(shù)軸上的點與有理數(shù) 對應(yīng) D.數(shù)軸上的點與實數(shù)---對應(yīng) 最大的數(shù)是 ( C? — >/3 D. 19. 一邁、葩、 一蘭四個數(shù) 中， 32 A. 1B. — >/2 20 .若彳反是有理數(shù)，則 x是 A 、 0 B 、正實數(shù) C 、完全平方數(shù) D 、以上都不對 21 . 竺不是 () 3

9、 22. A. 分?jǐn)?shù) B.小數(shù) C. 無理數(shù) D. 實數(shù) 若辰口有意義 ,則 x 能取的最小整數(shù)是 ( A. -1B. 0 C.D. 2 1 三、解答題： 2) 2) -3/1.716 3) 一 2 +J( — 2) 2 4) V-216 + V125 + 7 ( ~3) 23. 計算 1) V；132-122 24. 已知 2a — b+ 1 的半方根是± 3, 4 是 3a+b —1 的算術(shù)平方根，求 a+2b 的平方 根。 25. 已知x、y都是實數(shù)，且y = a-2 +、/2-兀+ 4,求y '的平方根。 264 -6b + 13, 填空

10、題 1. 如果芳=3_X則乂的取值范圍是; 2. 平方根等于本身的數(shù)是 ,算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是 ,立方根等于本身的數(shù) 是，若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根的值相同，則這個數(shù)是 : 3. ，、屈■的平方根是 ，算術(shù)平方根是 ; 4. 皿的算術(shù)平方根的相反數(shù)是 ，疽的平方根是 ; 5. 如果血的平方根是等于 i2,則。=，若/= （_2） 2,則 : 6. 如果一個數(shù)的平方根是。+3和2A-15，則這個數(shù)是 : 7. 當(dāng) 時，4-A9-X2的最小值是 ; 8. 點一屬的相反數(shù)是 ，絕對值是 ，若J- （ 3JH-12尸為實數(shù)，則 9. 若“、”為實數(shù)，貝I」| m

11、—羽| + -2 =0,則加"二 ； 10. 若5X+19的立方根是4,則2A4-7的平方根是 。 二、選擇題： 11. 下列說法中，錯誤的是（） C. 3的平方根就是3的算術(shù)平方根 一盯的平方是3 D. A. /是5的一個平方根 B. VT是3的算術(shù)平方根 A.(-礦 B. 0 C. ( 3) D. -3 2 12. 下列各數(shù)中，沒有平方根的是（ .下列汁有+1的平方根斑36 算正方根正 確的是（ (—67 )'的值 B C-3 ±3 ｛加 C. BD0 無理數(shù) QO A6 D. 1 D= 0都是開 rr 4 — \ 4

12、 若 y/a + 4 =4 ,) A. 64 B.343 士 x + I) 的平方根是 \25 13.(-6) 2的算術(shù)平方根是 ( 19. 若?2=(-5)2, //=(-5)\ 則 o + b 的值為 ( ) A. -10 B. 0 C. 0 或一 10 D. 0, 一 10 或 10 2 20. -LX2+X 的平方根為 ( ) 4 A. 土，(x-2) B.沒有平方根 C?0或沒有平方根 D. 0 2 ( D? 土 +1 ) 21. ? 一個自然數(shù)的一個平方根是- 〃「那么緊跟它后面的一個自然數(shù)的平方根是 1 A. m+1B? y/m1 + 1 C

13、? 土 +1 22. 在 1.414, 一近 , — , 3-V2 , 3.14 中，無理數(shù)的個數(shù)是( 7 2 A. 1 B. 2 C. 3 D ? 4 三、解答題： 23. 解下列方程 24. 若 V2 -1| + y[y +1 = 0 求嚴(yán)】 +) 嚴(yán)的 (1) (x-2 ) '=8 (2) 16( X-1)2-9=0 (3) (5x-3O) 2 -1 = 80 25?已知" 為的整數(shù)部分， b—1 是 400 的算術(shù)平方根，求需喬。 26? 若|2010-4 + //-2011= 心, 求?2-20102 的值。 27. 已知實數(shù)加適合關(guān)系式 J3x+5y_2_ 加 + J2x+3y_ 7 = Jx_199+y ? J199_x_y, 求〃 [ 的值。