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平面向量 教學目的：要求學生掌握向量的意義、表示方法以及有關概念，并能作一個向量與已知向量相等，根據圖形判定向量是否平行、共線、相等，進行向量計算理解向量共線的充要條件。能用兩個不共線向量表示一個向量； 或一個向量分解為兩個向量。要求學生理解點P分有向線段所成的比λ的含義和有向線段的定比分點公式，并能應用解題。 教學難點：根據圖形判定向量是否平行、共線、相等，進行向量計算理解向量共線的充要條件。能用兩個不共線向量表示一個向量； 或一個向量分解為兩個向量。要求學生理解點P分有向線段所成的比λ的含義和有向線段的定比分點公式， A B 一、實例：老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去， 問：貓能否追到老鼠？（畫圖） 結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了。 提出課題：平面向量 1． 意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等 注意：1數量與向量的區(qū)別： 數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大?。? 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。 A(起點) B （終點） a 2從19世紀末到20世紀初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數學體系，用以研究空間性質。 2． 向量的表示方法： 1幾何表示法：點—射線 有向線段——具有一定方向的線段 有向線段的三要素：起點、方向、長度 A B 北 記作（注意起訖） 2字母表示法：可表示為（印刷時用黑體字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里） 3． 模的概念：向量的大小——長度稱為向量的模。 記作：|| 模是可以比較大小的 4． 兩個特殊的向量： 1零向量——長度（模）為0的向量，記作。的方向是任意的。 注意與0的區(qū)別 2單位向量——長度（模）為1個單位長度的向量叫做單位向量。 例：溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？ 答：不是。因為零上零下也只是大小之分。 例：與是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有幾個單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？ 答：有無數個單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。 二、向量間的關系： 1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 a b c 記作：∥∥ 規(guī)定：與任一向量平行 2． 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 記作：= 規(guī)定：= 任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關。 3． 共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ， 所以平行向量也叫共線向量。 C O B A = = = 例：（P95）略 變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個） 變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在） 變式三：與向量共線的向量有哪些？（） 三、向量的加法 一、 提出課題：向量是否能進行運算？ A B C 1.某人從A到B，再從B按原方向到C， 則兩次的位移和： C A B 2、 若上題改為從A到B，再從B按反方向到C， A B C 則兩次的位移和： 3、某車從A到B，再從B改變方向到C， A B C 則兩次的位移和： 4、船速為，水速為， 則兩速度和： 提出課題：向量的加法 二、1．定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。 注意：；兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量） a a 2．三角形法則： C a a+b b a b b a+b a+b B A 強調： 1“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點 2可以推廣到n個向量連加 3 4不共線向量都可以采用這種法則——三角形法則 O A B a a a b b b 3．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內取一點， 作 則 4．加法的交換律和平行四邊形法則 上題中+的結果與+是否相同 驗證結果相同 從而得到：1向量加法的平行四邊形法則 2向量加法的交換律：+=+ A B C D a c a+b+c b a+b b+c 5． 向量加法的結合律：(+) +=+ (+) 證：如圖：使, , 則(+) += + (+) = ∴(+) +=+ (+) 從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行。 四、向量的減法 1． 用“相反向量”定義向量的減法 1“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作 -a 2規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b, b = -a, a + b = 0 3向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法。 2． 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算： O a b B a b a-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b 3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內取一點O， 作= a, = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量。 注意：1表示a - b。強調：差向量“箭頭”指向被減數 2用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一。 O A B a B’ b -b b B a+ (-b) a b a-b A A B B B’ O a-b a a b b O A O B a-b a-b B A O -b 4． a∥b∥c a - b = a + (-b) a - b 例一、 設a表示“向東走3km”，b表示“向北走3km”， B a+b b O a A 則a + b表示向東北走km 解：= + (km) 例二、 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 A B D C O 證：由向量加法法則： = +, = + 由已知：=, = ∴= 即AB與CD平行且相等 A B O P C E F ∴ABCD為平行四邊形 例三、 在正六邊形中，若= a, = b，試用 向量a、b將、、表示出來。 解：設正六邊形中心為P 則a + b + a a + b + a + b 由對稱性：= b + b + a 五、實數與向量的積 1．引入新課：已知非零向量 作出++和(-)+(-)+(-) B A O C P Q M N ==++=3 ==(-)+(-)+(-)=-3 討論：13與方向相同且|3|=3|| 2-3與方向相反且|-3|=3|| 2．從而提出課題：實數與向量的積 實數λ與向量的積，記作：λ 定義：實數λ與向量的積是一個向量，記作：λ 1|λ|=|λ||| 2λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ= 3．運算定律：結合律：λ(μ)=(λμ) ① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 第二分配律：λ(+)=λ+λ ③ 結合律證明： 如果λ=0，μ=0，=至少有一個成立，則①式成立 如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|(λμ)| 如果λ、μ同號，則①式兩端向量的方向都與同向； 如果λ、μ異號，則①式兩端向量的方向都與反向。 從而λ(μ)=(λμ) 第一分配律證明： 如果λ=0，μ=0，=至少有一個成立，則②式顯然成立 如果λ0，μ0， 當λ、μ同號時，則λ和μ同向， ∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|| |λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)|| ∵λ、μ同號 ∴②兩邊向量方向都與同向 即：|(λ+μ)|=|λ+μ| 當λ、μ異號，當λ>μ時 ②兩邊向量的方向都與λ同向 當λ<μ時 ②兩邊向量的方向都與μ同向 還可證：|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立 第二分配律證明： 如果=，=中至少有一個成立，或λ=0，λ=1則③式顯然成立 O A B B1 A1 當，且λ0，λ1時 1當λ>0且λ1時在平面內任取一點O， 作 λ λ 則+ λ+λ 由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ|| ∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直線上，||=|λ| 與λ方向也相同 A O B B1 A1 λ(+)=λ+λ 當λ<0時 可類似證明：λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立 4．例一 （見P104）略 三、向量共線的充要條件（向量共線定理） 1． 若有向量()、，實數λ，使=λ 則由實數與向量積的定義知：與為共線向量 若與共線()且||：||=μ，則當與同向時=μ 當與反向時=-μ 從而得：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ 使=λ 七、平面向量基本定理 1．是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？ 2．對于平面上兩個不共線向量，是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？ ——提出課題：平面向量基本定理 O N B MM CM ，是不共線向量，是平面內任一向量 = =λ1 ==+=λ1+λ2 = =λ2 得平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使=λ1+λ2 注意幾個問題：1 、必須不共線，且它是這一平面內所有向量的一組基底 2 這個定理也叫共面向量定理 3λ1，λ2是被，，唯一確定的數量 已知向量， 求作向量-2.5+3。 O N A BM CM 作法：1 取點O，作=-2.5 =3 2 作 OACB，即為所求+ 例二、(P106例4)如圖 ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=， 用，表示，，和 D M A BM CM a b 解： ABCD中 ∵=+=+ =-=- ∴=-=-(+)=-- ==(-)=- ==+ =-=-=-+ 例三、已知 ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點， 求證：+++=4 A B C D O E 證：∵E是對角線AC和BD的交點 ∴==- ==- 在△OAE中 += 同理：+= += += 以上各式相加，得：+++=4 例四、(P107 例五)如圖，，不共線，=t (tR)用,表示 解：∵=t P B A O ∴=+=+ t =+ t(-) =+ t-t =(1-t) + t 1． 當λZ時，驗證：λ(+)=λ+λ 2． 證：當λ=0時，左邊=0?(+)= 右邊=0?+0?= 分配律成立 當λ為正整數時，令λ=n, 則有： n(+)=(+)+(+)+…+(+) =++…+++++…+=n+n 即λ為正整數時，分配律成立 當為負整數時，令λ=-n（n為正整數），有 -n(+)=n[-(+)]=n[(-)+(-)]=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n 分配律仍成立 綜上所述，當λ為整數時，λ(+)=λ+λ恒成立 。 2．如圖，在△ABC中，=, = AD為邊BC的中線，G為△ABC的重心，求向量 解一：∵=, = 則== D A BM CM a b ∴=+=+而= ∴=+ 解二：過G作BC的平行線，交AB、AC于E、F D A EM CM a b BM FM GM ∵△AEF∽△ABC == == == ∴=+=+ 3．在 ABCD中，設對角線=，=試用, 表示， O D A BM CM 解一：== == ∴=+=-=- =+=+=+ 解二：設=，= 則+= += ∴ =(-) -= -= =(+) 即：=(-) =(+) 4．設, 是兩個不共線向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三點A, B, D共線，求k的值。 解：=-=(2-)-(+3)=-4 ∵A, B, D共線 ∴,共線 ∴存在λ使=λ 即2+k=λ(-4) ∴ ∴k=-8 5．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分別是DC, AB中點，設=, =，試以, 為基底表示, , O D A MM CM BM NM 解：== 連ND 則DC╩ND ==-=- 又：== =-=-=-- =(-+)-=- 6．1kg的重物在兩根細繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖），已知兩細繩與水平線分別成30, 60角，問兩細繩各受到多大的力？ 解：將重力在兩根細繩方向上分解，兩細繩間夾角為90 P1 P P2 30 60 =1 (kg) P1OP=60 P2OP=30 ∴=cos60=1?=0.5 (kg) =cos30=1?=0.87 (kg) 即兩根細繩上承受的拉力分別為0.5 kg和0.87 kg 八、向量的坐標表示與坐標運算 一、平面向量的坐標表示 1．在坐標系下，平面上任何一點都可用一對實數(坐標)來表示 問題：在坐標系下，向量是否可以用坐標來表示呢？ 取x軸、y軸上兩個單位向量, 作基底，則平面內作一向量=x+y， O B C A x y b c 記作：=(x, y) 稱作向量的坐標 如：==(2, 2) =(1, 0) ==(2, -1) =(0, 1) ==(1, -5) =(0, 0) 2．注意：1每一平面向量的坐標表示是唯一的； 2設A(x1, y1) B(x2, y2) 則=(x2-x1, y2-y1) 3兩個向量相等的充要條件是兩個向量坐標相等。 3．例一：(P109)略 三、平面向量的坐標運算 1．問題：1已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐標 2已知(x, y)和實數λ, 求λ的坐標 2．解：+=(x1+y1)+( x2+y2)=(x1+ x2) + (y1+y2) 即：+=(x1+ x2, y1+y2) 同理：-=(x1- x2, y1-y2) 3．結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。 同理可得：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的 坐標。 O x y B(x2,y2) A(x1,y1) 用減法法則： ∵=-=( x2, y2) - (x1, y1) = (x2- x1, y2- y1) 4．實數與向量積的坐標運算：已知=(x, y) 實數λ 則λ=λ(x+y)=λx+λy ∴λ=(λx, λy) 結論：實數與向量的積的坐標，等于用這個實數乘原來的向量相應的坐標。 已知三個力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力++= 求的坐標。 解：由題設++= 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0) 即： ∴ ∴(-5,1) 例五、已知平面上三點的坐標分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點。 O x y B A C D1 D2 D3 解：當平行四邊形為ABCD時， 仿例三得：D1=(2, 2) 當平行四邊形為ACDB時， 仿例三得：D2=(4, 6) 當平行四邊形為DACB時， 仿上得：D3=(-6, 0) 八、向量平行的坐標表示 1．提出問題：共線向量的充要條件是有且只有一個實數λ使得=λ，那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？ 2．推導：設=(x1, y1) =(x2, y2) 其中 由=λ (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ：x1y2-x2y1=0 結論：∥ ()的充要條件是x1y2-x2y1=0 注意：1消去λ時不能兩式相除，∵y1, y2有可能為0， ∵ ∴x2, y2中至少有一個不為0 2充要條件不能寫成 ∵x1, x2有可能為0 3從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥ () 例三 若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同，求x 解：∵=(-1,x)與=(-x, 2) 共線 ∴(-1)2- x?(-x)=0 ∴x= ∵與方向相同 ∴x= 例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵22-4-1=0 ∴∥ 又：=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4) 24-260 ∴與不平行 ∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 九、線段的定比分點 1． 線段的定比分點及λ P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數λ， P1 P1 P1 P2 P2 P2 P P P 使 =λ λ叫做點P分所成的比，有三種情況： λ>0(內分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) O P1 P P2 2．定比分點公式的獲得： 設=λ 點P1, P, P2坐標為(x1,y1) (x,y) (x2,y2） 由向量的坐標運算 =(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1) ∵=λ (x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1) ∴ 定比分點坐標公式 3．中點公式：若P是中點時，λ=1 4．注意幾個問題：1 λ是關鍵，λ>0內分 λ<0外分 λ-1 若P與P1重合，λ=0 P與P2重合 λ不存在 2 中點公式是定比分點公式的特例 3 始點終點很重要，如P分的定比λ= 則P分的定比λ=2 4 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一 例四 過點P1(2, 3), P2(6, -1)的直線上有一點，使| P1P|:| PP2|=3, 求P點坐標 O P1 P P2 ? ? ? ? P’ 解：當P內分時 λ=3 當P外分時λ=-3 當λ=3得P(5,0) 當λ=-3得P(8,-3) 例五 △ABC頂點A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分線交BC邊于D, D B C A 求D點坐標 解：∵AD平分角BAC |AC|= |AB|= ∴D分向量所成比λ= 設D點坐標(x, y) 則 ∴D點坐標為：(1,)