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第二章 點、直線及平面的投影 目的要求： 1）建立中心投影與平行投影的明確概念 2）掌握點、線、面在第一角中各種位置的投影特性和作圖方法 3）掌握直線上點的投影特性以及在平面上作點和直線的方法 4）掌握直線與直線的相對位置及其投影特性 5）了解直角定理的原理及其運用 6）掌握直線與平面、平面與平面相交的作圖及可見性的判斷 重點難點： 1） 熟練的運用點、線、面在各種位置的投影規(guī)律進(jìn)行作圖 2） 掌握和正確運用直線上的點和平面上的點和直線的投影規(guī)律 3） 熟練求出直線與平面、平面與平面相交的交點、交線并完成及可見性的判斷 授課學(xué)時：6學(xué)時 本章主要作圖練習(xí)： 1） 已知點的兩投影，完成其第三投影，或已知點的三坐標(biāo)，完成其三面投影和軸測投影； 2） 判斷兩點的相對位置和作重影點的投影，并判斷重影點的可見性。 3） 完成直線的三面投影及找出直線上點的投影。 4） 判斷兩直線的位置關(guān)系，利用直線的相對位置關(guān)系完成直線的投影作圖，并作出交叉直線的重影點的投影。 5） 直角投影定理的應(yīng)用，兩直線是否垂直的判斷。 6） 完成平面的三投影并判斷平面相對投影面的位置關(guān)系。 7） 已知點或直線在平面上，而且已知其一個投影，完成其另外兩投影及判斷點或直線是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。 8）求直線與平面、平面與平面的交點和交線并判斷可見性。 授課內(nèi)容： 2-1 投影法基本知識 一、投影法及其分類 1、投影法的建立 在一定投影條件下，求得空間形體在投影面上的投影的方法，稱為投影法。 投影中心、投影面、投射線、投影 2、投影法的分類 中心投影法（投射線相交于一點，投影隨物體與投影中心和投影面的距離變化而改變大小，故不反映空間形體表面的真實大小和形狀，但富有真實感） 平行投影法（投射線相互平行，當(dāng)物體平行移動時，投影的形狀和大小不改變）——斜投影和正投影。 本課程研究平行投影且主要是正投影，以后“投影”指正投影。 圖2-1 中心投影法及平行投影法 二、正投影的基本性質(zhì) 1、實形性 當(dāng)線段或平面圖形平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍? 2、積聚性 當(dāng)直線或平面圖形垂直于投影面時，其投影積聚成點或直線。 3、類似性 當(dāng)直線或平面圖形既不平行也不垂直于投影面時，直線的投影仍然是直線，平面圖形的投影是原圖形的類似形，但直線或平面圖形的投影小于實長或?qū)嵭巍? 此外，正投影還有平行性（即空間平行線段的投影仍然平行）；定比性（即空間平行線段的長度比在投影中保持不變）；從屬性（即幾何元素的從屬關(guān)系在投影中不會發(fā)生改變，如屬于直線的點的投影必屬于直線的投影，屬于平面的點和線的投影必屬于平面的投影）等性質(zhì)。 圖2-2 正投影的基本性質(zhì) 三、工程中常用的兩種作圖方法 1、多面正投影圖：采用相互垂直的兩個或兩個以上的投影面，在每個投影面上分別用正投影法獲得物體的投影。它有良好的度量性，作圖簡便，但直觀性差。由這些投影能確定幾何形體的空間位置貨物形狀。 2、軸測圖：將物體連同其參考直角坐標(biāo)系，沿不平行于任一坐標(biāo)面的方向，用平行投影法將其投射在單一投影面上所得的具有立體感的圖形。它能反映長、寬、高的形狀，但作圖較繁且度量性差，作輔助圖樣。 2-2 三面投影體系與三視圖 只根據(jù)物體的一個投影，是不能確定物體形狀的。要反映物體的完整形狀，必須增加由不同投影方向得到的幾個視圖，互相補充，才能把物體表達(dá)清楚。 一、三投影面體系 由正立投影面V、水平投影面H和側(cè)立投影面W三個相互垂直的投影面構(gòu)成的投影面體系稱為三投影面體系。正立投影面簡稱為正面或V面、水平投影面簡稱為水平面或H面、側(cè)立投影面簡稱為側(cè)面或W面。三投影面兩兩相交產(chǎn)生的交線OX、OY、OZ，稱為投影軸，簡稱X軸、Y軸、Z軸。 圖2-3 三面投影體系 二、三視圖的形成 將物體放在三投影面體系中，用正投影法，分別向三個投影面投影可得到物體的三視圖。國標(biāo)規(guī)定的視圖名稱是： 主視圖——由前向后投影，在正面上所得的視圖； 俯視圖——由上向下投影，在水平面上所得的視圖； 左視圖——由左向右投影，在側(cè)面上所得的視圖。 三、三視圖的投影規(guī)律 1、三視圖的位置關(guān)系 三視圖的位置關(guān)系為：主視圖在上，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。按照這種位置配置視圖時，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定一律不加任何標(biāo)注。 2、投影對應(yīng)關(guān)系及其投影規(guī)律 每個視圖只能反映物體長、寬、高中的兩個方向的大?。? 主視圖反映物體的長（x）和高（z）； 俯視圖反映物體的長（x）和寬（y）； 左視圖反映物體的寬（y）和高（z）。 從物體的投影和投影面的展開過程中，還可看到： 主、左視圖反映了物體上、下方向的同樣高度（等高）；物體上各個面和各條線在主、左視圖上的投影，應(yīng)在高度方向上分別平齊。簡稱“高平齊”； 主、俯視圖反映了物體左、右方向的同樣長度（等長）；物體上各個面和各條線在主、俯視圖上的投影，應(yīng)在長度方向分別對正。簡稱“長對正”； 俯、左視圖反映了物體前、后方向的同樣寬度（等寬）；物體上各個面和各條線在俯、左視圖上的投影，應(yīng)在寬度方向上相等。簡稱“寬相等”。 上述三條投影規(guī)律，尤其是最后一條，必須在初步理解的基礎(chǔ)上，經(jīng)過畫圖和看圖的反復(fù)實踐，逐步達(dá)到熟練和融會貫通的程度。 3、物體的方位關(guān)系 主視圖反映了物體上下、左右的方位關(guān)系； 俯視圖反映了物體左右、前后的方位關(guān)系； 左視圖反映了物體上下、前后的方位關(guān)系。 初學(xué)者應(yīng)特別注意對照直觀圖和平面圖，熟悉展開和還原過程，以便在平面圖上準(zhǔn)確判斷物體不同的方位關(guān)系，尤其是前后方位。 圖2-4 三視圖的形成及其投影規(guī)律 2-3 點的投影 一、點的三面投影及投影規(guī)律 點的投影仍為一點，且空間點在一個投影面上有惟一的投影。但已知點的一個投影， 不能惟一確定點的空間位置。 將點A放在三投影面體系中分別向三個投影面V面、H面、W面作正投影，得到點A的水平投影a、正面投影a′、側(cè)面投影a″。（關(guān)于空間點及其投影的標(biāo)記規(guī)定為：空間點用大寫字母A、B、C…表示，水平投影相應(yīng)用a、b、c…表示，正面投影相應(yīng)用a′、 b′、c′…表示，側(cè)面投影相應(yīng)用a″、b″、c″…表示。） 圖2-5 點的投影及其投影規(guī)律 將投影面體系展開，去掉投影面的邊框，保留投影軸，便得到點A的三面投影圖。 由圖2-5可以得出點在三投影面體系的投影規(guī)律是： （1）點A的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，即a′a⊥OX；（長對正） （2）點A的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ；（高平齊） （3）點A的H面投影到OX軸的距離等于點A的W面投影到OZ軸的距離，即aax= a″az（寬相等），可以用圓弧或45線來反映該關(guān)系。 二、點的三面投影與其直角坐標(biāo)的關(guān)系 水平投影由X與Y坐標(biāo)確定；正面投影由X與Z坐標(biāo)確定；側(cè)面投影由Y與Z坐標(biāo)確定。點的任何兩個投影可反映點的三個坐標(biāo)，即確定該點的空間位置?？臻g點在三面投影體系中有唯一確定的一組投影。 三、點的軸測投影 點的軸測投影圖即根據(jù)點的投影圖繪制的直觀圖?？梢园淹队懊娈?dāng)作坐標(biāo)面，把投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸，這時O點即為坐標(biāo)原點。 規(guī)定X軸從O點向左為正，Y軸從O點向前為正，Z軸從O點向上為正。 X（Y，Z）坐標(biāo)用A點到W（V，H）面的距離表示。 四、兩點的相對位置 在投影圖上判斷空間兩個點的相對位置，就是分析兩點之間上下、左右和前后的關(guān)系。 由正面投影或側(cè)面投影判斷上下關(guān)系（Z坐標(biāo)差）； 由正面投影或水平投影判斷左右關(guān)系（X坐標(biāo)差）； 由水平投影或側(cè)面投影判斷前后關(guān)系（Y坐標(biāo)差）。 圖2-6 兩點的相對位置 五、重影點及其投影的可見性 當(dāng)空間兩點位于某一投影面的同上條投射線（即其有兩對坐標(biāo)值分別相等），則此兩點在該投影面上的投影重合為一點，此兩點稱為對該投影面的重影點。為區(qū)分重影點的可見性，規(guī)定觀察方向與投影面的投射方向一致，即對V面由前向后，對H面由上向下，對W面由左向右。因此，距觀察者近之點的投影為可見，反之為不可見。 當(dāng)空間兩點有兩對坐標(biāo)值分別相等時，則該兩點必有重合投影，其可見性由重影點的一對不等的坐標(biāo)值來確定，坐標(biāo)值大者為可見，小者為不可見。 圖2-7 重影點 2-4 直線的投影 一、直線的投影圖 作直線投影圖，只需作出直線上任意兩點的投影，并連接該兩點在同一投影面上的投影即可。 三面投影面體系中，空間形體距投影面的遠(yuǎn)近不影響投影的形狀大小，所以不畫投影圖。 空間直線在某一投影面上的投影長度，與直線對該投影面的傾角大小有關(guān)。 二、各種位置直線的投影特性 按照直線對三投影面的相對位置，可以將直線分為三種： 一般位置直線——與三投影面都傾斜的直線； 投影面平行線——平行于一個投影面，傾斜于另兩投影面的直線； 投影面垂直線——垂直于一個投影面，平行于另兩投影面的直線。 投影面平行線和投影面垂直線又稱為特殊位置直線。 1、一般位置直線 一般位置直線的投影特性如下（圖2-15）： （1）三面投影都傾斜于投影軸； （2）投影長度均比實長短，且不能反映與投影面傾角的真實大小。 2、投影面平行線 投影面平行線又可分為三種： （1）平行于V面的直線稱為正平線； （2）平行于H面的直線稱為水平線； （3）平行于W面的直線稱為側(cè)平線。 投影特性：在它所不平行的兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，不反映實長；在它所平行的投影面上的投影反映實長，其與投影軸的夾角，分別反映該直線對另兩投影面的真實傾角。 3、投影面垂直線 投影面垂直線同樣可以分為三種： （1）垂直于正面的直線稱為正垂線； （2）垂直于水平面的直線稱為鉛垂線； （3）垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。 投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一點；在另兩個投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，反映實長。 三、直線上的點 點在直線上，則點的各個投影必在該直線的同面投影上，且點分直線的兩線段長度之比等于其投影長度之比；反之亦然。 四、兩直線的相對位置 空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉三種。 1） 兩直線平行：其同面投影必平行，且兩平行線段長度之比等于其投影長度之比。注意：當(dāng)直線為某投影面平行線時，應(yīng)檢查在該投影面上的投影是否平行。 2） 兩直線相交：其同面投影必相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。 3） 兩直線交叉：異面兩直線。 注意：當(dāng)交叉直線的投影的交點為重影點時，應(yīng)判別其可見性。 圖2-7 直線位置關(guān)系的判斷 舉例：見圖2-7，判斷所示兩直線位置關(guān)系，可以有三種方法：1）定比性；2）補投影；3）將AD與BC相連，判斷其是否相交，進(jìn)而判斷AB與CD是否平行。 五、直角的投影 直角投影定理 空間垂直的兩直線（相交或交叉），若其中的一直線平行于某投影面時，則二直線在該投影面上的投影仍為直角。反之，若兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平行于該投影面時，則該兩直線在空間必互相垂直。 圖2-8 直角投影定理 應(yīng)用直角投影定理可以解決空間成直角的情況在投影圖上的作圖，例如求距離、直角三角形、等腰三角形、長方形、正方形、菱形等的投影作圖問題。圖2-9就是一個求距離的例子。 圖2-9 求兩交叉直線間的距離 2-5 平面的投影 一、平面的表示法 由幾何學(xué)可知，平面可由下列幾何元素確定：不在同一條直線上的三點；一直線及直線外一點；兩相交直線；兩平行直線；任意的平面圖形。 二、各種位置平面的投影特性 平面對投影面的位置有三種： 一般位置平面——與三個投影面都傾斜的平面； 投影面垂直面——垂直于一個投影面，與另外兩個投影面傾斜的平面； 投影面平行面——平行于一個投影面，垂直于另兩個投影面的平面。 1、一般位置平面 傾斜于V、H、W面，是一般位置平面。 一般位置的平面的投影特性：它的三個投影仍是平面圖形，而且面積縮小，平面與三個投影面的傾角也不能在投影上反映出來。 圖2-10 一般位置平面的投影 2、投影面垂直面 投影面垂直面可分為三種： （1）垂直于V面的平面稱為正垂面； （2）垂直于H面的平面稱為鉛垂面； （3）垂直于W面的平面稱為側(cè)垂面。 投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，此投影與相應(yīng)投影軸的夾角分別反映該平面與另兩個投影面的傾角；該平面在另兩個投影面上的投影均為類似性。 判定：若平面的三個投影中有一個投影是斜直線，則它一定是該投影面的垂直面。 3、投影面平行面 投影面平行面又可分為三種： （1）平行于V面的平面稱為正平面； （2）平行于H面的平面稱為水平面； （3）平行于W面的平面稱為側(cè)平面。 投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實形，其它兩個投影都積聚成直線且平行于相應(yīng)的投影軸。 判定：若平面的三個投影中有一個投影積聚成直線，并與該投影面的投影軸平行或垂直，則它一定是某個投影面的平行面。 小結(jié)： 平面垂直于投影面時，它的投影積聚成一條直線——積聚性。 平面平行于投影面時，它的投影反映實形——實形性（真實性） 平面傾斜于投影面時，它的投影為類似圖形——類似性 平面圖形的三個投影中，至少有一個投影是封閉線框。反之，投影圖上的一個封閉線框一般表示空間的一個面的投影。 三、平面內(nèi)的點和直線 1） 平面內(nèi)的直線 直線在平面內(nèi)的幾何條件：若一直線通過平面上的兩點或通過平面內(nèi)的一點，并且平行于平面上的另一直線，則此直線必在該平面內(nèi)。 2） 平面內(nèi)的點 點在平面內(nèi)的幾何條件；若點位于平面內(nèi)任一直線上，則此點在該平面內(nèi)。即平面內(nèi)取點，必先在平面內(nèi)作輔助線，然后在該直線上取點。 圖2-11 平面上的點和直線 四、直線與平面、平面與平面平行 直線與平面平行的幾何條件是：直線平行于平面內(nèi)的任一直線。 平面與平面平行的幾何條件是：一平面內(nèi)的兩相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線。 圖2-12 直線與平面 平面與平面平行 五、直線與平面、平面與平面相交 直線與平面、平面與平面的相對位置，凡不符合平行幾何條件的，則必然相交。在此只討論平面處于與投影面垂直的特殊位置，即平面的投影具有積聚性的情況。 1、直線與平面相交 直線與平面相交的交點是直線與平面的共有點，當(dāng)需判斷直線投影的可見性時，交點又是直線各投影可見與不可見的分界點。 圖2-13 一般位置直線與特殊位置平面相交 （2）平面與平面相交 兩平面相交的交線是兩平面的共有線，當(dāng)需要判斷平面投影的可見性時，交線又是平面 圖2-14 投影面垂直面與一般位置平面相交 各投影可見與不可見的分界線。 兩平面的交線是直線，只要求出兩個共有點，交線就可以確定了。 可以利用求投影面垂直面與一般位置直線的交點的方法來求交線。 圖2-15 兩鉛垂面相交 當(dāng)兩鉛垂面相交時，交線MN是鉛垂線。兩鉛垂面的H面積聚投影的交點就是交線MN的水平投影。由此可求出交線MN的正面投影，并由水平投影直接判斷出可見性。 六、直線與平面、平面與平面垂直 1、直線與平面垂直 由幾何學(xué)可知：一直線若垂直于一平面上任意兩相交直線，則直線垂直于該平面，且直線垂直于該平面上的所有直線。在此只討論平面是投影面垂直面的特殊情況。 當(dāng)直線垂直于投影面垂直面時，該直線必平行于平面所垂直的投影面。圖中直線AB垂直于鉛垂面CDEF，AB必定是水平線，且ab⊥cdef。 同理，與正垂面垂直的直線是正平線，它們的正面投影相互垂直；與側(cè)垂面垂直的直線是側(cè)平線，而且它們的側(cè)面投影互相垂直。 圖2-16 直線與鉛垂面垂直 2、平面與平面垂直 兩平面相互垂直的幾何條件是：若一直線垂直于平面，則包含這條直線所作的任何平面均與已知平面垂直。直線AB⊥P，則包含AB所作的平面Q、R均與P面垂直。 反之，若兩平面垂直，則由一個平面內(nèi)任一點作另一平面的垂線，該垂線必然屬于前一平面。 特殊情況，當(dāng)兩個互相垂直的平面垂直于同一投影面時，兩平面有積聚性的同面投影必定垂直，交線是該投影面的垂直線。 如圖2-17所示，兩鉛垂面ABCD、CDEF互相垂直，它們的H面具有積聚性的投影互相垂直相交，交點是兩平面的交線——鉛垂線的積聚投影。 圖2-17 兩鉛垂面相互垂直