《柴俊-丁大公-陳咸平--等-編-科學(xué)出版社-華東師范大學(xué)-高等數(shù)學(xué)作業(yè)集-答案Ch-11-Infinite-series》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《柴俊-丁大公-陳咸平--等-編-科學(xué)出版社-華東師范大學(xué)-高等數(shù)學(xué)作業(yè)集-答案Ch-11-Infinite-series（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第11章 無窮級(jí)數(shù) 參考解答 1、根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。 （2） 解：，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 2、用比較審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。 （2） 解：，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 （3） 解：，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。 （4） 解：，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。 （利用極限，或） （5） 解：，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 3、用比值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。 （2） 解：，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 （3） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。 （4） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（利用極限） 4、用根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。 （2） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。 （3） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。 5、判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂： （1） 解：，且，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)條件收斂。 （2） 解：，，且，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因，而收斂，故收斂。因此，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 （3）（即） 解：，且，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。 （4） 解：考察函數(shù)，因時(shí)， ，故函數(shù)在上單調(diào)下降。由此可知，當(dāng)時(shí)，，且易知，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)條件收斂。 6、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間： （1） 解：，故得。時(shí)，級(jí)數(shù)為；時(shí)，級(jí)數(shù)為，上述級(jí)數(shù)均收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 （2） 解：，故得。時(shí)，級(jí)數(shù)為，此系Leibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)；時(shí)，級(jí)數(shù)為，此系調(diào)和級(jí)數(shù)。故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 （3） 解：原冪級(jí)數(shù)即為，此為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。因 ， 故由，得。時(shí)，級(jí)數(shù)均成為，發(fā)散。故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 （4） 解：，故得。時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；時(shí)，級(jí)數(shù)為，系Leibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 （5） 解：，故得，原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 7、利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)： （1） 解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)均發(fā)散（一般項(xiàng)不趨于零）。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。設(shè)，則 ， 故得，。 （2） 解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)均發(fā)散。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)， ， 但，故得，于是得 ，。 因此，所求冪級(jí)數(shù)之和函數(shù)為 （3） 解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)為，因，而發(fā)散，故發(fā)散。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)為，為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)， 其中，。因 ， 故得 ， 于是 因此，所求冪級(jí)數(shù)之和函數(shù)為 8、將下列函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1） （） （2） （） （3） （） （4） （） （5） （） （6） 解：設(shè)，則 （） （） （） （7） 解：， （8） 解：， 9、將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1） （2） （） 10、求級(jí)數(shù)的和。 解：先求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。易知其收斂區(qū)間為。設(shè) 則 當(dāng)時(shí)， 其中，。因 ， 故得 ， 于是 所求級(jí)數(shù)的和即為。 11、設(shè)，試將展成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)之和。 解：當(dāng)時(shí)， 因，故得。 12－13、略。 14、設(shè)，，其中（），求 解：因?yàn)樗oFourier級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)，故先將偶延拓到上，即 然后將延拓成這個(gè)實(shí)數(shù)軸上的以2為周期的函數(shù)。于是，根據(jù)Dirichlet收斂條件，得 注：周期的大小可從公式看出。 15-16、略。（第15題課上已介紹） 17、判別下列級(jí)數(shù)之?dāng)可⑿裕? （1） 解： 因（Taylor公式） ，故所求極限為1，故原級(jí)數(shù)收斂。 （2） 解：1 ，但級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。 2 ，但級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 18、設(shè)收斂，且，證明收斂。 證明： 因收斂，故部分和數(shù)列收斂，即存在；又，故 因此，極限存在，從而知收斂。 19、設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 證明：因，在點(diǎn)連續(xù)，故知。于是 故由Taylor公式， （其中）， 從而得。于是， ， 但級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 20、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。 解： 故所求收斂區(qū)間為。 21、將函數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)，并指明收斂域，利用展開式求級(jí)數(shù)的和。 解：， 另一方面，，故得 令，得，從而得 。 22、設(shè)，試將它展開成以2為周期的Fourier級(jí)數(shù)，并用它來求。 解：， ， ， 故所求Fourier級(jí)數(shù)為 令，得，即，故得。 如有錯(cuò)誤，敬請(qǐng)指正；如有疑問，歡迎討論！ 15