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1、1. 一邊長為2a的載流正方形線圈，通有電流I。試求：(1)軸線上距正方形中心為r0處的磁感應強度；(2) 當a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm時，B等于多少特斯拉？ 解 （1）沿軸向取坐標軸OX，如圖所示。利用一段載流直導線產(chǎn)生磁場的結(jié)果， 正方形載流線圈每邊在點P產(chǎn)生的磁感應強度的大小均為: ,式中: 由分析可知，4條邊在點P的磁感應強度矢量的方向并不相同，其中AB邊在P點的 B1方向如圖所示。由對稱性可知，點P上午B應沿X軸，其大小等于B1在X軸投影 的4倍。設B1與X軸夾角為α則: 把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 帶入

2、上式，得B=3.9×10-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 帶入上式，得B=2.8×10-7(T)?？梢?，正方形載流線圈中心的B要比軸線上的一點大的多。 2. 將一根導線折成正n邊形，其外接圓半徑為a，設導線栽有電流為I，如圖所示。試求：(1)外接圓中心處磁感應強度B0；(2) 當n→∞時，上述結(jié)果如何？ 解: （1）設正n邊形線圈的邊長為b，應用有限長載流直導線產(chǎn)生磁場的公式，可知各邊在圓心處的感應強度大小相等，方向相同，即： 所以，n邊形線圈在O點產(chǎn)生的磁感應強度為： 因為2θ=2π/n,θ=π/n，故有： 由右手法則，B0方向垂直于紙面向外。 （

3、2）當n→∞時，θ變的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述結(jié)果中，得： 此結(jié)果相當于一半徑為a，載流為I的圓線圈在中心O點產(chǎn)生磁感應強度的結(jié)果，這一點在n→∞時， 是不難想象的。 3. 如圖所示，載流等邊三角形線圈ACD，邊長為2a，通有電流I。試求軸線上距中心為r0處的磁感應強度。 解:由圖可知，要求場點P的合場強B，先分別求出等邊三角形載流線圈三條邊P點產(chǎn)生的磁感應強度Bi ，再將三者進行矢量疊加。 由有限長載流導線的磁場公式可知，AC邊在P點產(chǎn)生的磁感應強度 BAC的大小為： 由于⊿ACP為等腰三角形，且PC垂直AC，即： 代入上述結(jié)果中，得： 由右手螺

4、旋定則可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外，如圖所示。由對稱性可知，AC，CD，DA三段載流導線在P點產(chǎn)生的磁感應強度BAC、 BCD、BDA在空間方位上對稱，且它們在垂直于Z軸方向上的分量相互抵消，而平行于Z軸方向上的分量相等，所以： 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，O點是⊿ACP的中心，故: ，并由⊿EOP可知 sinα=,所以P點的磁感應強度BP的大小為： 磁感應強度BP的方向沿Z軸方向。 4. 一寬度為b的半無限長金屬板置與真空中，均勻通有電流I0。P點為薄板邊線延長線上一點，與薄板邊緣距離為d。如圖所示。試求P點的磁感應強度B。 解: 建立坐標軸OX，如圖所示，P點為X軸上一點。

5、整個金屬板可視為無限多條無限長的載流導組成，取其任意一條載流線，其寬度為dx，上載有電流dI=I0dx/b，它在P點產(chǎn)生的場強為： 　 dB的方向垂直紙面向里。由于每一條無限長直載流線P點激發(fā)上的磁感應強度dB具有相同的方向，所以整個載流金屬板在P點產(chǎn)生的磁感應強度為各載流線在該點產(chǎn)生的dB的代數(shù)和，即： BP方向垂直紙面向里。 5. 兩根導線沿半徑方向引到金屬環(huán)上的A、C兩點，電流方向如圖所示。試求環(huán)中心O處的磁感應強度。 解: 由畢-薩定律可知，兩載流直線的延長線都通過圓心O，因此她們在O點產(chǎn)生的磁感應強度為零。圖中電流為I1的大圓弧在O點產(chǎn)生的B2的方向垂直紙面向里。應

6、用載流圓線圈在中心處產(chǎn)生磁場的結(jié)果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小為: 則O點的磁感應強度的大小為: 設大圓弧和小圓弧的電阻為R1、R2，則: 有: , 因大圓弧和小圓弧并聯(lián)，故I1R1 = I2R2，即:,代入表達式得B0=0。 6. 如圖所示，一條無限長導線載有電流I，該導線彎成拋物線形狀，焦點到頂點的距離為a，試求焦點的磁感應強度B。 解: 本題采用極坐標。用畢-薩定律得電流元Idl在焦點P處產(chǎn)生的磁感應強度為: 　　 , 由于Idl與r的夾角為θ，由圖可知，Idlsinθ=Irdψ, 所以dB的大小為: , 方向由右手螺旋定則可知， 垂直紙面向外。由于所有

7、電流元Idl在P點產(chǎn)生的磁感應強度方向相同，所以P點 的總產(chǎn)生的磁感應強度為: ,因拋物線的極坐標方程為: , 因此: 7. 如圖所示，兩塊無限大平行載流導體薄板M、N，每單位寬度上所載電流為j，方向如圖所示，試求兩板間Q點處及板外P點處的磁感應強度B。 解: 無限長載流直導線產(chǎn)生磁感應強度的公式B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q點激發(fā)的磁感應強度BM的大小為：, dBx = -dBcosα，dBy = dBsinα由對稱性可知：, 設Q點到M板的垂直距離為a，則： 由幾何關系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入上式： BM的方向沿X軸方向，因

8、此，Q點的磁感應強度BM+BN=0，采用同樣的方法得，M板在P點產(chǎn)生磁感應強度為： N板在P點產(chǎn)生磁感應強度為：,表明在P點兩塊板產(chǎn)生磁感應強度相同，所以P點的B為B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X軸負向。 8. 如圖所示，通有電流強度為I的細導線，平行的、緊密的單層纏繞在半個木球上，共有N匝，設木球的半徑為R，試求球心O點處的磁感應強度。 解: 由圖可知，繞有載流導線的木球可看成是有無限多個不同半徑的同心載流圓線圈組成，球心O在載流圓線圈的軸線上，則球心O點的磁感應強度B0是各個載流圓線圈在該點激發(fā)的磁感應強度的矢量和。如圖坐標系OXY，在X軸線上距原點Ox處任取一弧寬

9、為dl的圓環(huán)，半徑為y，圓環(huán)上繞有dN匝導線，即： 通過該圓環(huán)上的電流dI=IdN=2INdθ/ π,由載流線圈在軸線上任意一點產(chǎn)生的磁感應強度公式，可知dI在O點激發(fā)的磁感應強度dB大小為： dB的方向沿X軸正向。由幾何關系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,帶入上式得： 由于所有載流線圈在O點激發(fā)的B方向相同，故O點總的磁感應強度可由矢量積分簡化為標量積分，即： B0的方向沿X軸正向。 9.均勻帶電的球面繞著它的某一直徑作勻速旋轉(zhuǎn)。試求在該球面上各點的磁感應強度B. 解: 如圖所示，均勻帶電的球面繞沿X軸的直徑以角速度ω旋轉(zhuǎn)。球面上任意面元所帶電荷因旋轉(zhuǎn)而形成電

10、流。將球面分成許多環(huán)狀球帶，每一球帶因旋轉(zhuǎn)而形成的電流在X軸上任意一點P處都將產(chǎn)生磁感應強度dB。設球面半徑為R，面電荷密度為σ，繞沿X軸的直徑以角速度為ω旋轉(zhuǎn)，球心在原點O。取從φ到（φ+dφ）的環(huán)狀球帶，其面積為dS=2πrdl=2πrRdφ，所帶電量為dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋轉(zhuǎn)，該球帶上電荷形成沿環(huán)狀帶流動的電流，電流強度為dI=dQ/T ,T為旋轉(zhuǎn)周期，故： dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr dφ 設該環(huán)狀球帶的中心位于x處，則：x=Rcosφdx= -Rsinφdφ = -rdφ 因此，dI可表為dI = -Rσωdx，該環(huán)狀球帶dI在直徑上任意

11、一點P點產(chǎn)生的dB為： , 式中i是X軸方向的單位矢量，式中的r為 r2 = R2 △x2，把r2和dI的表達式帶入，得： , 因φ取值從0到π，相應的x從R到-R，故式中dx為負值，若σ>0則dB與I同方向。場點P總的磁感應強度為： 式中： , 故： , 由于BP與直徑上各點P的位置無關，所以在作為轉(zhuǎn)軸的直徑上磁感應強度B處處相同。 10. 真空中有兩點電荷±q，相距為 3d ，她們都以角速度ω繞一與兩點電荷連線垂直的軸轉(zhuǎn)動，+q到軸的距離為d。試求轉(zhuǎn)軸與電荷連線交點處的場強B。 解: 設轉(zhuǎn)軸與電荷連線交點為O。根據(jù)運動電荷產(chǎn)生磁場公式，可知+q在O處產(chǎn)生的磁感應強度為： , 方

12、向由右手法則可知與ω相同。 同理，-q在O處產(chǎn)生的磁感應強度為： , 方向由右手法則可知與ω相反， 則由場疊加原理，得O點的總磁感應強度為： , B的方向與ω相同。 ? 11. 一邊長為a=0.1m，帶電量為q=1.0×10-10C的均勻帶電細棒，以速度v=1.0m/s沿X軸正方向運動。當運動到與Y軸重合時，細棒的下端到原點O的距離為l=0.1m，如圖所示。試求此時坐標原點O處的磁感應強度B。 解: 均勻帶電細棒運動時，將產(chǎn)生磁場。在均勻帶電細棒上，縱坐標為y處取一線元dy，該線元上的帶電量為dq=λdy=qdy/a,根據(jù)運動電荷產(chǎn)生磁場公式可知，dq在O點產(chǎn)生的磁感應強度的大小

13、為: 方向垂直于紙面向里。 帶電細棒在O點產(chǎn)生的磁感應強度的大小為: 方向垂直于紙面向里。 12.如圖（a）所示的電纜，由半徑為r1的導體圓柱和同軸的內(nèi)外半徑為r2和r3的導體圓桶構(gòu)成。電流I0從導體圓柱流入，從導體圓桶流出，設電流都是均勻分布在導體的橫截面上，以r表示到軸線的垂直距離。試求r從0到∞的范圍內(nèi)各處的磁感應強度。 解: 取電纜的中央軸為Z軸，把電纜中的電流分解為一系列與Z軸平行的無限長直流導線。這些載流導線在空間各點產(chǎn)生的磁場均無z分量，因此電纜電流在空間的磁場也無z分量。若電纜電流的磁場有徑向分量Br，則由對稱性，在任意以Z軸為中央軸，以r為半徑的柱面上

14、各點的Br應相同。 取相應的柱形高斯面，如圖（b）所示，則有: 　　　　 因B無z分量，故等式右邊前兩項為零，于是:，由高斯定理可知:，h 所以Br=0。 即電纜電流的磁場無徑向分量。在半徑為r的周圍上各點的B大小相同，記為B(r),B(r)的方向沿切向，如圖（c）所示。去積分環(huán)路L，由安培環(huán)路定理可知:，若0≤r≤r1,則:　　故: ； 若r1≤r≤r2,則:；若r2≤r≤r3,則: ;　若r> r3,則: 結(jié)果表明，在電纜電流的外部，磁感應強度B為零，磁場被約束在電纜內(nèi)部。 13. 如圖所示，為均勻密繞的無限長直螺線管的一端，半徑為R，O點為該端面的中心，已知螺線管單位長

15、度上的線圈匝數(shù)為n，通過電流為I。試求；端面近中心處的磁感應強度B的軸向分量和徑向分量。 解: 取坐標系如圖。 螺線管中心軸線上靠近端面中心的P點，設OP=z<

16、受到外力矩的作用，圓筒從靜止開始以勻角加速度β繞OO’軸轉(zhuǎn)動，試求t時刻圓筒內(nèi)為均勻磁場。 解: 管外磁場強度為零。過管內(nèi)場點P點作一矩形積分回路abcda。由安培環(huán)路定理可知，有: 分析系統(tǒng)可知，積分回路所包圍的電流的代數(shù)和為: 由題可知ω=ω0+βt,t=0時ω0=0,則ω=βt,所以: 因此: 即得B=μ0σRβt,B的方向根據(jù)σ的情況而定。由結(jié)果分析可知，圓筒內(nèi)部的磁場與r無關。 15. 勻強磁場中有一無限大均勻載流平面，位于z=0，其電流面密度沿X方向，j0=100A/m，如圖所示?，F(xiàn)測得載流平面上方（z>0）的磁感應強度B2 。 解: 根據(jù)題意選擇坐標系，如圖所示。設無限大載流平面在其兩側(cè)激發(fā)的磁感應強度分別為B’1和B’2，由于系統(tǒng)具有面對稱性，由安培環(huán)路定理可知: , B’1的方向沿Y軸負方向，B’2的方向沿Y軸正方向。 設原來勻強磁場的磁感應強度為:B1=B0+B’1,所以: B0=B1-B’1=B1k+1/2μ0j0j0, 同理可得，載流平面下方（z<0）的磁感應強度為: B2=B0+B’2=(1/2μ0j0+1/2μ0j0)j+B1k=μ0j0j+ B1k,代入相應數(shù)值，得： B2與Y軸夾角為：