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一模復(fù)習(xí)專題3 銳角三角比應(yīng)用題 1．如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時勻速航行，在A處觀測到燈塔C在北偏西60方向上，航行1小時到達(dá)B處，此時觀察到燈塔C在北偏西30方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 2．如圖，為求出河對岸兩棵樹A．B間的距離，小明在河岸上選取一點(diǎn)C，然后沿垂直于AC的直線前進(jìn)了12米到達(dá)D，測得∠CDB=90．取CD的中點(diǎn)E，測∠AEC=56，∠BED=67． （1）求AC長；（2）求河對岸兩樹間的距離AB． （參考數(shù)據(jù)sin56≈，tan56≈，sin67≈，tan67≈） 3．如圖，某軍港有一雷達(dá)站P，軍艦M停泊在雷達(dá)站P的南偏東60方向20海里處，另一艘軍艦N位于軍艦M的正西方向，與雷達(dá)站P相距10海里． 求：（1）軍艦N在雷達(dá)站P的什么方向？（2）兩軍艦M、N的距離．（結(jié)果保留根號） 4．?dāng)?shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45的三角板的斜邊與含30的三角板的長直角邊相等，于是，小陸同學(xué)提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點(diǎn)重合拼放在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，若BC=2，求AF的長． 請你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決這個問題． 5．某國發(fā)生8.1級強(qiáng)烈地震，我國積極組織搶險(xiǎn)隊(duì)赴地震災(zāi)區(qū)參與搶險(xiǎn)工作，如圖，某探測對在地面A、B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角分別是25和60，且AB=4米，求該生命跡象所在位置C的深度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin25≈0.4，cos25≈0.9，tan25≈0.5，≈1.7） 6．小宇想測量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離．他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點(diǎn)C處，測得∠ACF=45，再向前行走100米到點(diǎn)D處，測得∠BDF=60．若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點(diǎn)的距離． 7．蕪湖長江大橋是中國跨度最大的公路和鐵路兩用橋梁，大橋采用低塔斜拉橋橋型（如甲圖），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30，拉索CD與水平橋面的夾角是60，兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索底端距離AD為20米，請求出立柱BH的長．（結(jié)果精確到0.1米，≈1.732） 8．如圖，一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定，CD與地面成45夾角（∠CDB=45），在C點(diǎn)上方2米處加固另一條鋼線ED，ED與地面成53夾角（∠EDB=53），那么鋼線ED的長度約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin53≈0.80，cos53≈0.60，tan53≈1.33） 9．南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45方向上，A位于B的北偏西30的方向上，求A、C之間的距離． 10．如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75方向以每小時10海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間． 11．小明同學(xué)需測量一條河流的寬度（河岸兩邊互相平行）．如圖，小明同學(xué)在河岸一側(cè)選取兩個觀測點(diǎn)A、B，在河對岸選取觀測點(diǎn)C，測得AB=31m，∠CAB=37，∠CBA=120．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度． （結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin37≈0.60，cos37≈0.80，tan37≈0.75，≈1.41，≈1.73） 12．某中學(xué)緊挨一座山坡，如圖所示，已知AF∥BC，AB長30米，∠ABC=66，為防止山體滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡BE與地面成45角，求AE是多少米？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin66≈0.91，cos66≈0.41，tan66≈2.25） 13．在一次課外實(shí)踐活動中，同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個涼亭之間的距離．現(xiàn)測得AC=50m，BC=100m，∠CAB=120，請計(jì)算A，B兩個涼亭之間的距離． 14．小明準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)斜坡正對著太陽時，旗桿AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，測得旗桿在水平地面上的影長BC=20m，在斜坡坡面上的影長 CD=8m，太陽光線AD與水平地面成30角，且太陽光線AD與斜坡坡面互相垂直，請你幫小明求出旗桿AB的高度（結(jié)果保根號）． 15．圖1為大慶龍鳳濕地觀光塔，游客可乘坐觀光電梯進(jìn)入觀光層向四周瞭望，鳥瞰大慶城市風(fēng)光．如圖2，小英在距塔底D約200米的A處測得塔球底部平臺B的仰角為45，塔尖C的仰角為60，求平臺B到塔尖C的高度BC．（精確到個位，≈1.732） 16．在升旗結(jié)束后，小銘想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿高度，如圖，旗桿的頂端垂下一繩子，將繩子拉直釘在地上，末端恰好至C處且與地面成60角，小銘從繩子末端C處拿起繩子后退至E點(diǎn)，求旗桿AB的高度和小銘后退的距離．（單位：米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，結(jié)果保留一位小數(shù)） 17．如圖，已知斜坡AP的坡度為i=1：，坡長AP為20m，與坡頂A處在同﹣水平面上有﹣?zhàn)潘﨎C，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角α且tanα=3．求：（1）求坡頂A到地面PQ的距離；（2）古塔BC的高度（結(jié)果保留根號） 18．如圖，某電信部門計(jì)劃修建一條連接B、C兩地的電纜，測量人員在山腳A點(diǎn)測得B、C兩地的仰角分別為30、45，在B地測得C地的仰角為60．已知C地比A地高200米，電纜BC至少長多少米？（≈1.732，≈1.414，結(jié)果保留整數(shù)） 19．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角α為27，看這棟樓底部的俯角β為58，熱氣球與這棟樓的水平距離為120米，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin27=0.45，cos27=0.89，tan27=0.51，sin58=0.85，cos58=0.53，tan58=1.60） 20．如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30，然后向山腳直行100米到達(dá)C處，再測得山頂A的仰角為45，求山高AD是多少？（結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.73） 21．如圖，李明在自家樓房的窗口A處，測量樓前的路燈CD的高度，現(xiàn)測得窗口處A到路燈頂部C的仰角為44，到地面的距離AB為20米，樓底到路燈的距離BD為12米，求路燈CD的高度（結(jié)果精確到0.1）【參考數(shù)據(jù)：sin44=0.69，cos44=0.72，tan44=0.97】 22．如圖，小俊在A處利用高為1.8米的測角儀AB測得樓EF頂部E的仰角為30，然后前進(jìn)12米到達(dá)C處，又測得樓頂E的仰角為60，求樓EF的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732） 23．如圖，為了開發(fā)利用海洋資源，我勘測飛機(jī)測量釣魚島附屬島嶼之一的北小島（又稱為鳥島）兩側(cè)端點(diǎn)A，B的距離，飛機(jī)在距海平面垂直高度為100米的北小島上方點(diǎn)C處測得端點(diǎn)A的俯角為30，測得端點(diǎn)B的俯角為45，求北小島兩側(cè)端點(diǎn)A，B的距離（結(jié)果精確到1米≈1.732） 24．如圖，某同學(xué)在樓房的A處測得荷塘的一端D處的俯角為60，另一端B處的俯角為30，荷塘另一端D與點(diǎn)C、B在同一直線上，已知樓高AC=24米，求荷塘寬BD為多少米？ 25．某學(xué)校體育看臺的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階，已知看臺高為1.6米，現(xiàn)要做一個不銹鋼的扶手AB及兩根與FG垂直且長度均為0.8米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的低端分別為D、C），且∠DAB=66.5（cos66.5≈0.4）． （1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH； （2）求所用不銹鋼材料的總長度l（即AD+AB+BC的長）． 26．如圖，湖中有一小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=60米，∠PAB=45，∠PBA=30．請求出小橋PD的長． 27．某中學(xué)綜合實(shí)踐小組同學(xué)，想測量金龍山觀音大佛的高度，他們在山腳下的D處測得山頂B的仰角為30，沿著山腳向前走了4米達(dá)到E處，測得觀音大佛的頭頂A的傾角為45，已知金龍山的山頂距地面的標(biāo)高（線段BC的長度）為60米，請計(jì)算觀音大佛的高度為多少米？（結(jié)果精確到0.1米，≈1.73） 28．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：cos25≈0.91，sin25≈0.42，tan25≈0.47，sin34≈0.56，cos34≈0.83，tan34≈0.67 ） 29．如圖，線段MN表示一段高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓．已知點(diǎn)A到MN的距離為15m，BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D，且∠BDN=30．若汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，方圓39m以內(nèi)會受到噪音的影響，當(dāng)其到達(dá)點(diǎn)P時，噪音開始影響這一排的居民樓；當(dāng)其到達(dá)點(diǎn)Q時，它與這一排居民樓的距離為39m，求PQ的長度（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：≈1.7） 30．為促進(jìn)江南新區(qū)的發(fā)展，長江三橋在區(qū)政府的統(tǒng)一指導(dǎo)下夜以繼日的修建中，為方便殘疾人通行，政府計(jì)劃在位于南濱路橋頭處修建一鍥形殘疾人通道，如圖，該楔形斜坡BC長20米，坡角為12，區(qū)領(lǐng)導(dǎo)為進(jìn)一步方便殘疾人的輪椅車通行，準(zhǔn)備把坡角降為5． （1）求斜坡新起點(diǎn)到原起點(diǎn)B的距離（精確到0.1米） （參考數(shù)據(jù)：sin12≈0.21，cos12≈0.98，tan5≈0.09） （2）某6人工程隊(duì)承擔(dān)這項(xiàng)改進(jìn)任務(wù)（假設(shè)每人毎天的工怍效率相同），5天剛好完成該項(xiàng)工程；但實(shí)際工作 2天后．有2人因其它工作調(diào)離；剩余的工程由余下的4人獨(dú)自完成，為了不延誤工期，每人的工作效率提高了a%，結(jié)果準(zhǔn)時完成該項(xiàng)工程，求a的值． 　  銳角三角比應(yīng)用題2016.12.18 參考答案與試題解析 　 一．解答題（共30小題） 1．（2015?恩施州）如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時勻速航行，在A處觀測到燈塔C在北偏西60方向上，航行1小時到達(dá)B處，此時觀察到燈塔C在北偏西30方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D， AB=201=20（海里）， ∵∠CAF=60，∠CBE=30，∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120，∠CAB=90﹣∠CAF=30， ∴∠C=180﹣∠CBA﹣∠CAB=30，∴∠C=∠CAB， ∴BC=BA=20（海里），∠CBD=90﹣∠CBE=60， ∴CD=BC?sin∠CBD=≈17（海里）． 　 2．（2014?青羊區(qū)校級模擬）如圖，為求出河對岸兩棵樹A．B間的距離，小明在河岸上選取一點(diǎn)C，然后沿垂直于AC的直線前進(jìn)了12米到達(dá)D，測得∠CDB=90．取CD的中點(diǎn)E，測∠AEC=56，∠BED=67．（1）求AC長；（2）求河對岸兩樹間的距離AB．（參考數(shù)據(jù)sin56≈，tan56≈，sin67≈，tan67≈） 【解答】解：（1）∵E為CD中點(diǎn)，CD=12m，∴CE=DE=6m． 在Rt△ACE中，∵tan56=，∴AC=CE?tan56≈6=9m； （2）在Rt△BDE中，∵tan67=，∴BD=DE．tan67=6=14m． ∵AF⊥BD，∴AC=DF=9m，AF=CD=12m，∴BF=BD﹣DF=14﹣9=5m． 在Rt△AFB中，AF=12m，BF=5m，∴AB===13m． ∴兩樹間距離為13米． 　 3．（2011?廬陽區(qū)模擬）如圖，某軍港有一雷達(dá)站P，軍艦M停泊在雷達(dá)站P的南偏東60方向20海里處，另一艘軍艦N位于軍艦M的正西方向，與雷達(dá)站P相距10海里． 求：（1）軍艦N在雷達(dá)站P的什么方向？（2）兩軍艦M、N的距離．（結(jié)果保留根號） 【解答】解：（1）如圖所示， ∵∠OPM=60，PM=20海里，∴∠OMP=30，∴OP=10海里，∴PN=10海里， ∴cos∠OPN===，∴∠OPN=45，∴軍艦N在雷達(dá)站P的東南方向（5分） （2）∵Rt△OPM中，PM=20海里，OP=10海里，∴OM===10， ∵∠OPN=45，∴ON=OP=10海里，∴MN=10﹣10（海里）．（10分） 　 4．（2016?麗水）數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45的三角板的斜邊與含30的三角板的長直角邊相等，于是，小陸同學(xué)提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點(diǎn)重合拼放在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，若BC=2，求AF的長． 請你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決這個問題． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30，AC==2，則EF=AC=2， ∵∠E=45，∴FC=EF?sinE=，∴AF=AC﹣FC=2﹣． 　 5．（2016?自貢）某國發(fā)生8.1級強(qiáng)烈地震，我國積極組織搶險(xiǎn)隊(duì)赴地震災(zāi)區(qū)參與搶險(xiǎn)工作，如圖，某探測對在地面A、B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角分別是25和60，且AB=4米，求該生命跡象所在位置C的深度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin25≈0.4，cos25≈0.9，tan25≈0.5，≈1.7） 【解答】解：作CD⊥AB交AB延長線于D，設(shè)CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25， 所以tan25==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60， 由tan 60==，解得：x≈3．即生命跡象所在位置C的深度約為3米． 　 6．（2016?淮安）小宇想測量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離．他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點(diǎn)C處，測得∠ACF=45，再向前行走100米到點(diǎn)D處，測得∠BDF=60．若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點(diǎn)的距離． 【解答】解：作AM⊥EF于點(diǎn)M，作BN⊥EF于點(diǎn)N，如右圖所示， 由題意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45，∠BDF=60， ∴CM=米，DN=米， ∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B兩點(diǎn)的距離是（40+20）米． 　 7．（2016?婁底）蕪湖長江大橋是中國跨度最大的公路和鐵路兩用橋梁，大橋采用低塔斜拉橋橋型（如甲圖），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30，拉索CD與水平橋面的夾角是60，兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索底端距離AD為20米，請求出立柱BH的長．（結(jié)果精確到0.1米，≈1.732） 【解答】解：設(shè)DH=x米，∵∠CDH=60，∠H=90，∴CH=DH?sin60=x， ∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH， ∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）． 答：立柱BH的長約為16.3米． 　 8．（2016?蘭州）如圖，一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定，CD與地面成45夾角（∠CDB=45），在C點(diǎn)上方2米處加固另一條鋼線ED，ED與地面成53夾角（∠EDB=53），那么鋼線ED的長度約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin53≈0.80，cos53≈0.60，tan53≈1.33） 【解答】解：設(shè)BD=x米，則BC=x米，BE=（x+2）米，在Rt△BDE中，tan∠EDB=， 即，解得，x≈6.06，∵sin∠EDB=，即0.8=，解得，ED≈10 即鋼線ED的長度約為10米． 　 9．（2016?菏澤）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45方向上，A位于B的北偏西30的方向上，求A、C之間的距離． 【解答】解：如圖，作AD⊥BC，垂足為D， 由題意得，∠ACD=45，∠ABD=30．設(shè)CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x， 在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+）， 解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之間的距離為20海里． 　 10．（2016?樂山）如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75方向以每小時10海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間． 【解答】解：設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時間為x小時；如圖所示， 由題意得：∠ABC=45+75=120，AB=12，BC=10x，AC=14x， 過點(diǎn)A作AD⊥CB的延長線于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60， ∴BD=AB?cos60=AB=6，AD=AB?sin60=6，∴CD=10x+6． 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， 解得：（不合題意舍去）． 答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時間為2小時． 　 11．（2016?玄武區(qū)二模）小明同學(xué)需測量一條河流的寬度（河岸兩邊互相平行）．如圖，小明同學(xué)在河岸一側(cè)選取兩個觀測點(diǎn)A、B，在河對岸選取觀測點(diǎn)C，測得AB=31m，∠CAB=37，∠CBA=120．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度． （結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin37≈0.60，cos37≈0.80，tan37≈0.75，≈1.41，≈1.73） 【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如右圖所示， 在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∴AD==， 在Rt△CBD中，tan∠CBD=，∠CBA=120，∴∠CBD=60，∴BD==， ∵AD﹣BD=AB，∴﹣=31，﹣=31， 解得，CD≈41.0，即這條河的寬度約為41.0米． 　 12．（2016?平頂山三模）某中學(xué)緊挨一座山坡，如圖所示，已知AF∥BC，AB長30米，∠ABC=66，為防止山體滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡BE與地面成45角，求AE是多少米？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin66≈0.91，cos66≈0.41，tan66≈2.25） 【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60 AD=AB?sin∠ABC=30sin66=300.91=27.3（米）， DB=AB?cos∠ABC=30cos66=300.41=12.3（米）． 連接BE，過E作EN⊥BC于N，如圖所示：∵AE∥BC， ∴四邊形AEND是矩形NE=AD≈27.3米， 在Rt△ENB中，∠EBN=45時，BN=EN=AD=27.3米， ∴AE=DN=BN﹣BD=27.3﹣12.3=15米 答：AE是15米． 　 13．（2016?襄城區(qū)模擬）在一次課外實(shí)踐活動中，同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個涼亭之間的距離．現(xiàn)測得AC=50m，BC=100m，∠CAB=120，請計(jì)算A，B兩個涼亭之間的距離． 【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，如圖所示： 在Rt△CDA中∠CAD=180﹣∠CAB=180﹣120=60， ∵sin∠CAD=，∴CD=AC?sin60=50=25（m）， 同理：AD=AC?cos60=50=25（m）， 在Rt△CBD中，（m）， ∴AB=BD﹣AD=（m），答：AB之間的距離是（）m． 　 14．（2016?鄂州一模）小明準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)斜坡正對著太陽時，旗桿AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，測得旗桿在水平地面上的影長BC=20m，在斜坡坡面上的影長CD=8m，太陽光線AD與水平地面成30角，且太陽光線AD與斜坡坡面互相垂直，請你幫小明求出旗桿AB的高度（結(jié)果保根號）． 【解答】解：作AD與BC的延長線，交于E點(diǎn)．如圖所示： 根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠E=30，∴CE=2CD=28=16．則BE=BC+CE=20+16=36． 在直角△ABE中，tan∠E=，∴AB=BE?tan30=36=12（m）． 即旗桿AB的高度是12m． 　 15．（2016?滿洲里市模擬）圖1為大慶龍鳳濕地觀光塔，游客可乘坐觀光電梯進(jìn)入觀光層向四周瞭望，鳥瞰大慶城市風(fēng)光．如圖2，小英在距塔底D約200米的A處測得塔球底部平臺B的仰角為45，塔尖C的仰角為60，求平臺B到塔尖C的高度BC．（精確到個位，≈1.732） 【解答】解：在Rt△ADC中，∵AD=200，∠CAD=60， ∴DC=DA?tan60=200，在Rt△ADB中，∠BAD=45，∴BD=AD=200， ∴BC=DC﹣DB=200﹣200≈146（米）．答：平臺B到塔尖C的高度BC約為146米． 　 16．（2016?天門模擬）在升旗結(jié)束后，小銘想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿高度，如圖，旗桿的頂端垂下一繩子，將繩子拉直釘在地上，末端恰好至C處且與地面成60角，小銘從繩子末端C處拿起繩子后退至E點(diǎn)，求旗桿AB的高度和小銘后退的距離．（單位：米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，結(jié)果保留一位小數(shù)） 【解答】解：設(shè)繩子AC的長為x米；在△ABC中，AB=AC?sin60， 過D作DF⊥AB于F，如圖所示：∵∠ADF=45，∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AF=DF=x?sin45，∵AB﹣AF=BF=1.6，則x?sin60﹣x?sin45=1.6，解得：x=10， ∴AB=10sin60≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x?cos45﹣xcos60=10﹣10≈2.1（m）；答：旗桿AB的高度為8.7m，小銘后退的距離為2.1m． 　 17．（2016?泰州一模）如圖，已知斜坡AP的坡度為i=1：，坡長AP為20m，與坡頂A處在同﹣水平面上有﹣?zhàn)潘﨎C，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角α且tanα=3．求： （1）求坡頂A到地面PQ的距離； （2）古塔BC的高度（結(jié)果保留根號） 【解答】解：（1）作AE⊥PQ于點(diǎn)E， ∵斜坡AP的坡度為i=1：，∴=，設(shè)AE為xm，則PE為xm， 由勾股定理得，AP=2x，由題意得2x=20，解得，x=10，則AE=10m，PE=10m， 答：坡頂A到地面PQ的距離為10m； （2）延長BC交PQ于點(diǎn)F，設(shè)AC=ym，∵tanα=3，∴BC=3y，∵∠BPF=45， ∴PF=BF，∴10+y=3y+10，解得y=5﹣5，則BC=3y=15﹣15． 答：古塔BC的高度為（15﹣15）m． 　 18．（2016?東河區(qū)二模）如圖，某電信部門計(jì)劃修建一條連接B、C兩地的電纜，測量人員在山腳A點(diǎn)測得B、C兩地的仰角分別為30、45，在B地測得C地的仰角為60．已知C地比A地高200米，電纜BC至少長多少米？（≈1.732，≈1.414，結(jié)果保留整數(shù)） 【解答】解：作BF⊥AD于F， 設(shè)BC=x米，∵∠CBE=60，∴BE=BCcos∠CBE=x，CE=BCsin∠CBE=x， ∵CD=200米，∴DE=200﹣x，則BF=DE=200﹣x， ∵∠CAD=45，∴AD=CD=200，則AF=200﹣x， ∵tan∠BAF=，∴=， 解得，x=200（﹣1）≈146米．答：電纜BC至少146米． 　 19．（2016?吉林一模）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角α為27，看這棟樓底部的俯角β為58，熱氣球與這棟樓的水平距離為120米，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin27=0.45，cos27=0.89，tan27=0.51，sin58=0.85，cos58=0.53，tan58=1.60） 【解答】解：在Rt△ABD中，tanα=，則BD=AD?tanα=1200.51=61.2， 在Rt△ACD中，tanβ=，則CD=AD?tanβ=1201.60=192， ∴BC=BD+CD=61.2+192=253.2≈253，答：這棟樓高約為253米． 　 20．（2016?雙柏縣二模）如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30，然后向山腳直行100米到達(dá)C處，再測得山頂A的仰角為45，求山高AD是多少？（結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.73） 【解答】解：由題意得，∠ABD=30，∠ACD=45，BC=100m， 設(shè)AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100）， ∴x=50（+1）≈137米，答：山高AD約為137米． 　 21．（2016?綠園區(qū)一模）如圖，李明在自家樓房的窗口A處，測量樓前的路燈CD的高度，現(xiàn)測得窗口處A到路燈頂部C的仰角為44，到地面的距離AB為20米，樓底到路燈的距離BD為12米，求路燈CD的高度（結(jié)果精確到0.1） 【參考數(shù)據(jù)：sin44=0.69，cos44=0.72，tan44=0.97】 【解答】解：作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC為矩形，∴CE=BD=12米， 在Rt△AEC中，tan∠ACE=，則AE=EC?tan∠ACE=120.97=11.64， ∴CD=BE=AB﹣BE=8.36≈8.4米，答：路燈CD的高度約為8.4米． 22．（2016?黃岡一模）如圖，小俊在A處利用高為1.8米的測角儀AB測得樓EF頂部E的仰角為30，然后前進(jìn)12米到達(dá)C處，又測得樓頂E的仰角為60，求樓EF的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732） 【解答】解：設(shè)樓EF的高為x米，則EG=EF﹣GF=（x﹣1.8）米， 由題意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF， 在Rt△EGD中，DG==（x﹣1.8）， 在Rt△EGB中，BG=（x﹣1.8）， ∴CA=DB=BG﹣DG=（x﹣1.8），∵CA=12米，∴（x﹣1.8）=12， 解得：x=6+1.8≈12.2，答：樓EF的高度約為12.2米． 23．（2016?長春四模）如圖，為了開發(fā)利用海洋資源，我勘測飛機(jī)測量釣魚島附屬島嶼之一的北小島（又稱為鳥島）兩側(cè)端點(diǎn)A，B的距離，飛機(jī)在距海平面垂直高度為100米的北小島上方點(diǎn)C處測得端點(diǎn)A的俯角為30，測得端點(diǎn)B的俯角為45，求北小島兩側(cè)端點(diǎn)A，B的距離（結(jié)果精確到1米≈1.732） 【解答】解：作CD⊥AB于D，由題意得，∠A=30，∠B=45，CD=100米， AD==100，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100≈273米， 答：小島兩側(cè)端點(diǎn)A，B的距離約為273米． 　 24．（2016?潮州校級模擬）如圖，某同學(xué)在樓房的A處測得荷塘的一端D處的俯角為60，另一端B處的俯角為30，荷塘另一端D與點(diǎn)C、B在同一直線上，已知樓高AC=24米，求荷塘寬BD為多少米？ 【解答】解：由題意知：∠CAB=90﹣30=60，△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，tan60=，∴BC=AC?tan60=24米， ∵∠CAD=90﹣60=30，∴CD=AC1tan30=24=8（米）， ∴BD=BC﹣CD=24﹣8=16（米）；答：荷塘寬BD為16米． 　 25．（2015?廣元）某學(xué)校體育看臺的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階，已知看臺高為1.6米，現(xiàn)要做一個不銹鋼的扶手AB及兩根與FG垂直且長度均為0.8米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的低端分別為D、C），且∠DAB=66.5（cos66.5≈0.4）． （1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH； （2）求所用不銹鋼材料的總長度l（即AD+AB+BC的長）． 【解答】解：（1）DH=1.6=1.2米（2）連接CD． ∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴AB∥CD且AB=CD．∴∠HDC=∠DAB=66.5 Rt△HDC中，cos∠HDC=，∴CD==3（米）． ∴l(xiāng)=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6（米）．∴所用不銹鋼材料的長度約為4.6米． 　 26．（2015?海安縣校級二模）如圖，湖中有一小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=60米，∠PAB=45，∠PBA=30．請求出小橋PD的長． 【解答】解：設(shè)PD=x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90． 在Rt△PAD中，tan∠PAD=，∴AD==x， 在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB===x， 又∵AB=60米，∴x+x=60，解得：x=30﹣30．答：小橋PD的長度約為30﹣30． 　 27．（2015?孝義市一模）某中學(xué)綜合實(shí)踐小組同學(xué)，想測量金龍山觀音大佛的高度，他們在山腳下的D處測得山頂B的仰角為30，沿著山腳向前走了4米達(dá)到E處，測得觀音大佛的頭頂A的傾角為45，已知金龍山的山頂距地面的標(biāo)高（線段BC的長度）為60米，請計(jì)算觀音大佛的高度為多少米？（結(jié)果精確到0.1米，≈1.73） 【解答】解：在Rt△BDC中，由cot∠D=，得DC=BC?cot30=60=60， EC=DC﹣DE=60﹣4， 在Rt△AEC中，由tan∠AEC=，得AC=EC?tan45=60﹣4， AB=AC﹣BC=60﹣4﹣60≈39.8，即觀音大佛的高度約為39.8米 　 28．（2015?和平區(qū)二模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：cos25≈0.91，sin25≈0.42，tan25≈0.47，sin34≈0.56，cos34≈0.83，tan34≈0.67 ） 【解答】解：如圖，在Rt△APC中，∠APC=90﹣65=25， ∴PC=PA?cos∠APC≈800.91=72.8．（4分） 在Rt△BPC中，∠B=34，∴PB=（海里）（8分） 答：海輪所在的B處距離燈塔P約有130海里．（9分） 　 29．（2015秋?徐州期末）如圖，線段MN表示一段高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓．已知點(diǎn)A到MN的距離為15m，BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D，且∠BDN=30．若汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，方圓39m以內(nèi)會受到噪音的影響，當(dāng)其到達(dá)點(diǎn)P時，噪音開始影響這一排的居民樓；當(dāng)其到達(dá)點(diǎn)Q時，它與這一排居民樓的距離為39m，求PQ的長度（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：≈1.7） 【解答】解：如圖，連接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C． 由題意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（m）； 在Rt△ADH中，DH=AH?cot30=15（m）． 在Rt△CDQ中，DQ===78（m）． 則PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣151.7=88.5≈89（m）． 答：PQ的長度約為89m． 　 30．（2015秋?萬州區(qū)期末）為促進(jìn)江南新區(qū)的發(fā)展，長江三橋在區(qū)政府的統(tǒng)一指導(dǎo)下夜以繼日的修建中，為方便殘疾人通行，政府計(jì)劃在位于南濱路橋頭處修建一鍥形殘疾人通道，如圖，該楔形斜坡BC長20米，坡角為12，區(qū)領(lǐng)導(dǎo)為進(jìn)一步方便殘疾人的輪椅車通行，準(zhǔn)備把坡角降為5． （1）求斜坡新起點(diǎn)到原起點(diǎn)B的距離（精確到0.1米） （參考數(shù)據(jù)：sin12≈0.21，cos12≈0.98，tan5≈0.09） （2）某6人工程隊(duì)承擔(dān)這項(xiàng)改進(jìn)任務(wù)（假設(shè)每人毎天的工怍效率相同），5天剛好完成該項(xiàng)工程；但實(shí)際工作2天后．有2人因其它工作調(diào)離；剩余的工程由余下的4人獨(dú)自完成，為了不延誤工期，每人的工作效率提高了a%，結(jié)果準(zhǔn)時完成該項(xiàng)工程，求a的值． 【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=200.21=4.2米， BD=BC?cos∠CBD=200.98=19.6米，在Rt△CAD中，AD=≈46.7米， 故斜坡新起點(diǎn)到原起點(diǎn)B的距離AB=AD﹣BD=27.1米． （2）由題意得：+4（1+a%）=1，解得a=30．答：a的值是30． 　 第22頁（共22頁）