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《二元一次方程》教學案例 逍遙巖中學 楊冬志 一、發(fā)現(xiàn)問題 《二元一次方程》是九年義務教育人教版教材七年級下冊第四章《二元一次方程組》的第一節(jié)。在此之前學生已經(jīng)學習了一元一次方程，這為本節(jié)的學習起了鋪墊的作用。本節(jié)內容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教學中，起著承上啟下的地位。 2、 提出問題： 如何通過本節(jié)課掌握二元一次方程概念，把二元一次方程轉化為一元一次方程并求解 三、分析問題 本校學生基礎知識不夠好，對新知識的掌握和理解接受能力差，所以在講解本課內容時，復習了一元一次方程的相關知識。希望學生養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式，給予學生信心，提高學生的數(shù)學邏輯思維能力。 四、解決問題 培養(yǎng)邏輯思維能力，讓學生在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態(tài)度，提高學習的自我效能感。 （一）知識準備、新課引入 從學生熟悉的姚明受傷事件引入。 師：火箭隊最近取得了20連勝，姚明參加了前面的12場比賽，是球隊的頂梁柱。 （1）連勝的第12場，火箭對公牛，在這場比賽中，姚明得了12分，其中罰球得了2分，你知道姚明投中了幾個兩分球？(本場比賽姚明沒投中三分球) 師：能用方程解決嗎？列出來的方程是什么方程？ （2）連勝的第1場，火箭對勇士，在這場比賽中，姚明得了36分，你知道姚明投中了幾個兩分球，罰進了幾個球嗎？(罰進1球得1分,本場比賽姚明沒投中三分球) 師：這個問題能用一元一次方程解決嗎?,你能列出方程嗎? 設姚明投進了x個兩分球,罰進了y個球，可列出方程______。 （3）在雄鹿隊與火箭隊的比賽中易建聯(lián)全場總共得了19分，其中罰球得了3分。你知道他分別投進幾個兩分球、幾個三分球嗎？ 設易建聯(lián)投進了x個兩分球，y個三分球,可列出方程______。 師：對于所列出來的三個方程，后面兩個你覺的是一元一次方程嗎？那這兩個方程有什么相同點嗎？你能給它們命一個名稱嗎？ 從而揭示課題。 （設計意圖：第一個問題主要是讓學生體會一元一次方程是解決實際問題的數(shù)學模型，從而回顧一元一次方程的概念；第二、三問題設置的主要目的是讓學生體會到當實際問題不能用一元一次方程來解決的時候，我們可以試著列出二元一次方程，滲透方程模型的通用性。另外，數(shù)學來源于生活，又應用于生活，通過創(chuàng)設輕松的問題情境，點燃學習新知識的“導火索”，引起學生的學習興趣，以“我要學”的主人翁姿態(tài)投入學習，而且“會學”“樂學”。） （二）探索交流，汲取新知 （1）概念思辨，歸納二元一次方程的特征 師：那到底什么叫二元一次方程？（學生思考后回答） 師：翻開書本，請同學們把這個概念劃起來，想一想，你覺得和我們自己歸納出來的概念有什么區(qū)別嗎？（同學們思考后回答） 師：根據(jù)概念，你覺得二元一次方程應具備哪幾個特征？ 活動：你自己構造一個二元一次方程。 快速判斷：下列式子中哪些是二元一次方程? ①x2+y=0 ②y=2x+4 ③2x+1=2-x ④ab+b=4 （設計意圖：這一環(huán)節(jié)是本課設計的重點，為加深學生對“含有未知數(shù)的項的次數(shù)”的內涵的理解，我采取的是閱讀書本中二元一次方程的概念，形成學生的認知沖突，激發(fā)學生對“項的次數(shù)”的思考，進而完善學生對二元一次方程概念的理解，通過學生自己舉例子的活動去把“項的次數(shù)”形象化。） （2）二元一次方程解的概念 師：前面列的兩個方程2x+y=36,2x+3y=16真的是二元一次方程嗎？通過方程2x+3y=16，你知道易建聯(lián)可能投中幾個兩分球，幾個三分球嗎？ 師:你是怎么考慮的?(讓學生說說他是如何得到x和y的值的,怎么證明自己的這對未知數(shù)的取值是對的) 利用一個學生合理的解釋,引導學生類比一元一次方程的解的概念,讓學生歸納出二元一次方程的解的概念及其記法。（學生看書本上的記法） 使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。 （設計意圖：通過引導學生自主取值，猜x和y的值，從而更深刻的體會二元一次方程解的本質：使方程左右兩邊相等的一對未知數(shù)的取值。引導學生看書本，目的是讓學生在記法上體會“一對未知數(shù)的取值”的真正含義。） （3）二元一次方程解的不唯一性 對于2x+3y=16，你覺得這個方程還有其它的解嗎？你能試著寫幾個嗎? 師：這些解你們是如何算出來的？ （設計意圖：設計此環(huán)節(jié)，目的有三個：首先，是讓學生學會如何檢驗一對未知數(shù)的取值是二元一次方程的解；其次是讓學生體會到二元一次方程的解的不唯一性；最后讓學生感受如何得到一個正確的解：只要取定一個未知數(shù)的取值，就可以代入方程算出另一個未知數(shù)的值，這也就是求二元一次方程的解的方法。） （4）如何去求二元一次方程的解 例：已知方程3x+2y=10， （1）當x=2時，求所對應的y的值； （2）取一個你自己喜歡的數(shù)作為x的值，求所對應的y的值； （3）用含x的代數(shù)式表示y； （4）用含y的代數(shù)式表示x； （5）當x=-2，0時，所對應的y的值是多少？ （6）寫出方程3x+2y=10的三個解． （設計意圖：此處設計主要是想讓學生形成求二元一次方程的解的一般方法，先讓學生展示他們的思維過程，再從他們解一元一次方程的重復步驟中提煉出用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后把它與原方程比較，把一個未知數(shù)的值代入哪一個方程計算會更簡單，形成“正遷移”，引導學生體會“用關于一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)”的過程，實質是解一個關于y的一元一次方程，滲透數(shù)學的主元思想。以此突破本節(jié)課的難點。） 五、小結 本節(jié)授課內容屬于概念課教學。數(shù)學學科的內容有其固有的組成規(guī)律和邏輯結構，它總是由一些最基本的數(shù)學概念作為核心和邏輯起點，形成系統(tǒng)的數(shù)學知識，所以數(shù)學概念是數(shù)學課程的核心。只有真正理解數(shù)學概念，才能理解數(shù)學。二元一次方程作為初中階段接觸的第二類方程，形成概念并不難，關鍵如何理解它的概念，因此本節(jié)課采用先讓同學自己試著下定義，然后與教材中的完整定義相互比較，發(fā)現(xiàn)不同點，進而理解“含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次”這句話的內涵。 在二元一次方程的解的教學過程中，采用的是讓學生體會“一個解——不止一個解——無數(shù)個解”的漸進過程，感受到用一個二元一次方程并不能求出一對確定的未知數(shù)的取值，從而讓學生產(chǎn)生有后續(xù)學習的愿望。 在講授用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的時候，采用“特殊——一般——特殊”的教學流程，以期突破難點。首先拋出問題“這幾個解你是如何求的”，此時注意的聚焦點是二元一次方程；其次學生歸納先定一個未知數(shù)的取值，代入原方程求另一個未知數(shù)的值，此時注意的聚焦點是一元一次方程；然后教師引導回到二元一次方程，假如x是一個常數(shù)，那么這個方程可以看成是一個關于誰的一元一次方程，此時注意的聚焦點是原來的二元一次方程；最后代入求值，此時注意的聚焦點是等號右邊的那個算式，體會“用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)”在求值過程中的簡潔性，強化這種代數(shù)形式。另外，在引導學生推導“用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)”的過程中，滲透數(shù)學的主元思想和轉化思想。 《二元一次方程組》教學設計 一、教學目標 1．知識與技能目標： （1）理解二元一次方程組的概念和二元一次方程組解的含義； （2）會檢驗一對數(shù)是不是二元一次方程組的解，會利用列表嘗試的方法求簡單二元一次方程組的解； （3）通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，同時培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括能力。 2．過程與方法目標 從一個學生熟悉的生活實例引入二元一次方程組的概念，并通過“辯一辯”“填一填”“試一試”“做一做”，加深學生對“二元一次方程組”和“二元一次方程組的解”的概念的理解；并使學生初步了解用列表嘗試的方法求二元一次方程組的解，并使學生在解決問題的過程中經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程。 3．情感與態(tài)度目標 從學生的生活實際提出問題，既體現(xiàn)知識的學習過程，又體現(xiàn)知識的應用過程，同時還有利于激發(fā)學生的學習興趣，有利于學生養(yǎng)成關注身邊的事例、關心他人，培養(yǎng)一種社會的責任感。 二、教學重點、難點 重點是二元一次方程組的意義和二元一次方程組解的概念。 難點是利用列表嘗試的方法求簡單二元一次方程組的解。 三、教學準備 多媒體、實物投影儀。 四、教學方法和手段 基于本節(jié)課內容的特點和七年級學生的心理及思維發(fā)展的特征，在教學中選擇激趣法、討論法和總結法相結合。與學生建立平等融洽的互動關系，營造合作交流的學習氛圍。在引導學生進行觀察分析、抽象概括、練習鞏固各個環(huán)節(jié)中運用多媒體進行演示，增強直觀性，提高教學效率，激發(fā)學生的學習興趣。 五、教學過程 環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設情境，探索新知 問題1：假設你們每人手上有一根長20cm的鐵絲，將這根鐵絲首尾相連圍成一個正方形，圍出來的正方形都完全一樣嗎？ 問題2：同樣用這根20厘米長的鐵絲，首尾相連圍成的長方形都完全一樣嗎？你能用二元一次方程來表示嗎？ 【設計意圖】 ①通過問題情境復習舊知，真正理解二元一次方程的意義； ②為探索新知做好鋪墊。 問題3：前面兩個問題中都存在二元一次方程,為何圍成的長方形有無數(shù)種情況，而圍成的正方形只有一種情況？ 【設計意圖】 通過兩個問題的對比，讓學生感受到與同時滿足時，存在解的唯一性的過程，為二元一次方程組的形成做鋪墊。 問題4：你能否通過增加一個條件，使同學們圍成的長方形都完全一樣嗎？希望大家能增加更多不同類型的條件。 【設計意圖】 ①開放性問題的設置不僅激發(fā)學生的求知欲，而且通過該開放性問題讓學生真正感受二元一次方程組的形成； ②培養(yǎng)學生的合作意識以及團隊精神； ③通過此問題引出二元一次方程組的概念。 【操作形式】 ①學生先思考，再分組合作，小組匯報； ②根據(jù)學生的匯報，教師引導，從而引出二元一次方程組的概念； ③教師備用：。 鞏固概念 請在下列方程中選出兩個方程，組成二元一次方程組。 。 問題5：你怎么能肯定，你所增加的一個條件就一定使長方形確定下來了呢？ 【操作形式】 ①通過問題的解決，導出二元一次方程組解的定義； ②讓學生真正理解什么叫二元一次方程組的解。 環(huán)節(jié)二 變題訓練，鞏固新知 比一比，賽一賽 1．方程組的解是( ) A． B． C． D． 2．下列哪一個二元一次方程組的解為（ ） A． B． C． D． 3．你能通過下列表格的填寫找到二元一次方程組的解嗎？ 的解 x … 5．5 6 6．5 7 7．5 … y … … 的解 x … 5．5 6 6．5 7 7．5 … y … … 環(huán)節(jié)三 感受生活，運用新知 小聰全家外出旅游，估計需要膠卷底片120張，商店里有兩種型號的膠卷：A 型每卷36張底片，B型每卷12張底片。小聰一共買了4 卷膠卷，剛好有120張底片，如果兩種膠卷分別買x卷和y卷．請根據(jù)問題中的條件列出關于x,y的方程組，并用列表嘗試的方法求出A型和B型膠卷的數(shù)量。 【設計意圖】 ①讓學生繼續(xù)體驗對于含有兩個未知數(shù)的實際問題，可以列方程組來解決； ②讓學生再次經(jīng)歷列表嘗試解二元一次方程組的方法； ③在用二元一次方程組解決問題之后，進一步追問：“你能列一元一次方程求出A、B兩種型號的卷數(shù)嗎？” 環(huán)節(jié)四 總結回顧，梳理新知 ①每位同學自己寫一個二元一次方程組_____________；(同學之間互相檢查,為什么是二元一次方程組?) ②你有什么方法找到這個方程組的解。 備用： 1．請編一個二元一次方程組，使得此方程組的解為，_____________________。 2．若關于x、y的二元一次方程組的解為，則a=_____，b=______。 環(huán)節(jié)五 作業(yè)布置 ①數(shù)學作業(yè)本(1)號本4．2節(jié)。 ②課本A、B組練習。 設計說明： 1．本節(jié)課設計充分結合學生的已有知識以及生活經(jīng)驗，通過一根20厘米長的鐵絲，設計一些由易到難的問題串，引導學生去探究。在看得見，摸得著的長方形拼折過程中，引發(fā)學生的興趣，提煉數(shù)學的本質。 2．本節(jié)課的設計旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維．以一根20厘米長的鐵絲，在圍正方形和長方形的對比過程中，逐漸提煉出方程組的形成思想，并和學生一起概括出二元一次方程組及其解的概念。通過讓學生添加形成長方形的條件，使學生在獨立思考、小組交流中體會出方程組形成的過程以及方程組解的本質；在“比一比、連一連、寫一寫”的練習中，學生及時應用所學的概念和方法，鞏固提高。編擬的三個問題環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)了基礎性訓練與探索性、思維性訓練相結合的習題體系，使學生的思維品質在質疑的過程中不斷升華和發(fā)展，培養(yǎng)思維的嚴謹性和造創(chuàng)性。 3．本節(jié)課的設計以情景創(chuàng)設為背景，以教師為主導，學生為主體，力求體現(xiàn)知識的形成過程。 4．在課堂中，盡量為學生提供“做中學”“想中學”“動中學”的空間。借助已有的知識和方法主動探索新知識，擴大認知結構，發(fā)展能力，從而使課堂教學真正落實到學生的發(fā)展上。