《一元二次方程全章導(dǎo)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《一元二次方程全章導(dǎo)學(xué)案（45頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

22．1 一元二次方程（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目． 1．通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義． 2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念． 3．解決一些概念性的題目． 4．通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情． 重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題． 難點(diǎn)：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念． 活動(dòng)1 ：閱讀教材第30至32頁，并完成以下內(nèi)容。 問題1 要設(shè)計(jì)一座2m高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？ 分析：設(shè)雕像下部高x m，則上部高_(dá)_______,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① x 問題2 如圖，有一塊長方形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600c㎡，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 分析：設(shè)切去的正方形的邊長為x cm，則盒底的長為________________,寬為_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ② 問題3 要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)。根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？ 分析：全部比賽的場(chǎng)數(shù)為___________ 設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,每個(gè)隊(duì)要與其他_________個(gè)隊(duì)各賽1場(chǎng)，所以全部比賽共_________________場(chǎng)。列方程 ____________________________ 化簡整理得 ____________________________ ③ 請(qǐng)口答下面問題： （1）方程①②③中未知數(shù)的個(gè)數(shù)各是多少？___________ （2）它們最高次數(shù)分別是幾次？___________ 方程①②③的共同特點(diǎn)是： 這些方程的兩邊都是_________，只含有_______未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_____（二次）的方程. 1.一元二次方程:_____________________________________________ __________________________________________________________. 2. 一元二次方程的一般形式:____________________________ 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是__________, _____是一次項(xiàng)系數(shù)；_____是常數(shù)項(xiàng)。（注意：二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都要包含它前面的符號(hào)。二次項(xiàng)系數(shù)是一個(gè)重要條件，不能漏掉。） 3. 例 將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練 例1:判斷下列方程是否為一元二次方程： 1. 將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、及常數(shù)項(xiàng)： ⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3 2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x; ⑵一個(gè)長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x； ⑶把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x。 3.求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 活動(dòng)3 歸納內(nèi)化 一元二次方程： 1. 概念 2.一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 活動(dòng)4：課堂檢測(cè) 1．在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 2. 方程2x2=3（x-6）化為一般式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p為任意實(shí)數(shù) 4．方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為_______，一次項(xiàng)系數(shù)為 ______， 常數(shù)項(xiàng)為_________． 5. 將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、及常數(shù)項(xiàng)： ⑴ 3x2+1=6x ⑵ 4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0 ⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸ x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1) 活動(dòng)5：拓展延伸 1．當(dāng)a______時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x2-（x+1）是一元二次方程. 2．若關(guān)于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，試求m的值，并計(jì)算這個(gè)方程的各項(xiàng)系數(shù)之和． 3．關(guān)于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 22．1 一元二次方程（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題． 2．提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個(gè)數(shù)是否是根．同時(shí)應(yīng)用以上的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決一些具體問題． 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根； 難點(diǎn)：由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根． 活動(dòng)1：閱讀教材P32 — 33 , 完成課前預(yù)習(xí) 1：知識(shí)準(zhǔn)備 一元二次方程的一般形式:____________________________ 2：探究 問題: 一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？ 分析：設(shè)苗圃的寬為xm，則長為_______m． 根據(jù)題意，得___________________． 整理，得________________________． 1)下面哪些數(shù)是上述方程的根？ 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等號(hào)左右兩邊相等的_______________的值。 3)將x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根嗎？ 4)雖然上面的方程有兩個(gè)根（______和______）但是苗圃的寬只有一個(gè)答案，即寬為_______.因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解． 練習(xí)：1.你能想出下列方程的根嗎？ (1) x2 -36 = 0 (2) 4x2-9 = 0 2.下面哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 活動(dòng)2：知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練 例1.下面哪些數(shù)是方程x2-x-6=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 例2.你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？ (1) (2) (3) 隨堂訓(xùn)練 1.寫出下列方程的根： （1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2 2. 下列各未知數(shù)的值是方程的解的是（ ） A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2 3.根據(jù)表格確定方程=0的解的范圍____________ x 1.0 1.1 1.2 1.3 0.5 -0.09 -0.66 -1.21 4.已知方程的一個(gè)根是1，則m的值是______ 5.試寫出方程x2-x=0的根，你能寫出幾個(gè)？ 活動(dòng)3：歸納內(nèi)化 1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。 2.由實(shí)際問題列出方程并得出解后，還要考慮這些解______________ 活動(dòng)4：課堂檢測(cè) 1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的兩個(gè)根分別是x1=________，x2=__________． 2.一元二次方程的根是__________；方程x（x-1）=2的兩根為________ 3.寫出一個(gè)以為根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1：_________________。 4.已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3，則m的值為________． 5. 若關(guān)于X的一元二次方程的一個(gè)根是0，a的值是幾？你能得出這個(gè)方程的其他根嗎？ 活動(dòng)5：拓展延伸 1. 若，則_____________。已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式________。 2. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個(gè)根，求（a-b）2+4ab的值． 3. 方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________． 4.把化成一般形式是______________,二次項(xiàng)是____一次項(xiàng)系數(shù)是_______，常數(shù)項(xiàng)是_______。 5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），則=（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．2 6.方程x（x-1）=2的兩根為（ ）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 7.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2 8. 請(qǐng)用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根。 ⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0 9.如果2是方程x2-c=0的一個(gè)根，那么常數(shù)c是幾？你能得出這個(gè)方程的其他根嗎？ 10.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等于一次項(xiàng)系數(shù)，求證：-1必是該方程的一個(gè)根． 22.2.1 直接開平方法解一元一次方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題． 2、提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 難點(diǎn)：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 活動(dòng)1、閱讀教材第35頁至第37頁的部分，完成以下問題 一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱長嗎？ 我們知道x2=25，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=5，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ 計(jì)算：用直接開平方法解下列方程： （1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=108 解一元二次方程的實(shí)質(zhì)是: 把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 歸納：如果方程能化成 的形式，那么可得 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練 例1用直接開平方法解下列方程： （1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11 練習(xí)： （1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0 （4）3(x-1)2-6=0 （5）x2-4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2-1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活動(dòng)3 歸納內(nèi)化 應(yīng)用直接開平方法解形如 ，那么可得 達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的． 活動(dòng)4 課堂檢測(cè) 一、選擇題 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根為（ ）． A．3 B．-3 C．3 D．無實(shí)數(shù)根 3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ）． A．（x-）2=，x= B．（x-）2=-，原方程無解 C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=- 4若8x2-16=0，則x的值是_________． 5如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是________． 活動(dòng)5 拓展延伸 1．如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 2．用直接開平方法解下列方程： （1）（2-x）2-81＝0 （2）2（1-x）2-18＝0 （3）（2-x）2＝4 3．解關(guān)于x的方程（x+m）2=n． 4、某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m． （1）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？ （2）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到210m2嗎？ 5．在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說明你制作的理由嗎？ 22.2.2配方法解一元二次方程（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題． 2、通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟． 重點(diǎn)：講清“直接降次有困難”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟． 難點(diǎn)：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧． 活動(dòng)1、閱讀教材第38頁至第39頁的部分，完成以下問題 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 問題：要使一塊長方形場(chǎng)地的長比寬多6cm，并且面積為16cm2,場(chǎng)地的長和寬應(yīng)各是多少？ 思考？ 1、以上解法中，為什么在方程x2+6x=16兩邊加9？加其他數(shù)行嗎？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 這也是配方法的基本 4、配方法的關(guān)鍵是什么？ 用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2-x-1=0 （4）2x2+2=5 總結(jié)：用配方法解一元二次方程的步驟： 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練 例1用配方法解下列關(guān)于x的方程： （1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0 （4）x2+10x+9=0 （5）x2-x-=0 （6）3x2+6x-4=0 （7）4x2-6x-3=0 （8）x24x-9=2x-11 （9）x(x+4)=8x+12 【課堂練習(xí)】： 1. 填空： （1）x2+10x+______=（x+______）2；（2）x2-12x+_____=（x-_____）2 （3）x2+5x+_____=（x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1） x2-36x+70=0． （2）x2+2x-35=0 （3）2x2-4x-1=0 （4）x2-8x+7=0 （5）x2+4x+1=0 （6）x2+6x+5=0 （7）2x2+6x-2=0 （8）9y2-18y-4=0 （9）x2+3=2x 活動(dòng)3 歸納內(nèi)化 用配方法解一元二次方程的步驟： 活動(dòng)4 課堂檢測(cè) 1．將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（ ）． A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 2．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）． A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9 4．（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2 （3）x2+px+_____=（x+______）2． 5、（1）方程x2+4x-5=0的解是________．（2）代數(shù)式的值為0，則x的值為________． 活動(dòng)5 拓展延伸 一、解下列方程 （1）x2+10x+16=0 （2）x2-x-=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x-9=0 二、綜合提高題 1．已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長． 2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值． 22.2.3用公式法解一元二次方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程． 2、復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0） 的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程． 重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用． 難點(diǎn)：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)． 活動(dòng)1 閱讀教材第40頁至第42頁的部分，完成以下問題 1、用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟： 2、如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方 法的步驟求出它們的兩根？ 問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1= x2= 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具 體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去． 解：移項(xiàng)，得： ，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得 配方，得： 即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三種情況： （1） b2-4ac＞0，則＞0 直接開平方，得： 即x= ∴x1= ，x2= （2） b2-4ac=0，則=0此時(shí)方程的根為 即一元二次程 ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè) 的實(shí)根。 （3） b2-4ac＜0，則＜0，此時(shí)（x+）2 ＜0，而x取任何實(shí)數(shù)都不 能使（x+）2 ＜0，因此方程 實(shí)數(shù)根。 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定， 因此： （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根，當(dāng)b2-4ac＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根。 （2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 實(shí)數(shù)根，也可能有 實(shí)根或者 實(shí)根。 （5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，通常用希臘字Δ表示它，即Δ= b2-4ac 用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練 用公式法解下列方程． （1）x2-4x-7=0 （2）2x2-x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x 練習(xí)： 1、在什么情況下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ 2、寫出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。 3、方程x2-4x+4=0的根的情況是（ ） A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D沒有實(shí)數(shù)根 4、用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 （5）x2-x-=0 （6）3x2-6x-2=0 （7）x2+4x+8=4x+11 (8) x（2x-4）=5-8x （9）x2-x-=0 （10）x2+4x+8=2x+11 （11）x（x-4）=2-8x (12) x2+x+10=0 5、利用判別式判定下列方程的根的情況：（1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0 （3）x2-x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x 活動(dòng)3 歸納內(nèi)化 （1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程； （2）公式法的概念； （3）應(yīng)用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情況． 活動(dòng)4 課堂檢測(cè) 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= B．x= C．x= D．x= 2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）． A.x1=，x2= B.x1=6，x2= C.x1=2，x2= D.x1=x2=- 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________． 5．若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____． 活動(dòng)5 拓展延伸 1．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根， （1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1x2=； （2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 3、 某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題． （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出． 22.2.4因式分解法 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．會(huì)用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。 2．能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題方法的多樣性。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 1、 重點(diǎn)：應(yīng)用分解因式法解一元二次方程 2、 難點(diǎn)：靈活應(yīng)用各種分解因式的方法解一元二次方程. 活動(dòng)1 閱讀教材P43— 4044 , 完成課前預(yù)習(xí) 1：知識(shí)準(zhǔn)備 將下列各題因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a22ab+b2= 因式分解的方法： 解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究 仔細(xì)觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？ 3、歸納： （1）對(duì)于一元二次方程，先因式分解使方程化為__________ _______的形式，再使_________________________，從而實(shí)現(xiàn)_____ ____________， 這種解法叫做__________________。 （2）如果，那么或，這是因式分解法的根據(jù)。 如：如果，那么或_______，即或________。 練習(xí)1、說出下列方程的根： （1） （2） 練習(xí)2、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-20x+20=0 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練： 用因式分解法解下列方程 (1) (2) （3） (4) （5）4x2-144=0 （6）(2x-1)2=(3-x)2 （7） （8）3x2-12x=-12 隨堂訓(xùn)練 1、 用因式分解法解下列方程 （1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，求小圓形場(chǎng)地的半徑。 活動(dòng)3 歸納內(nèi)化 因式分解法解一元二次方程的一般步驟 （1） 將方程右邊化為 （2） 將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的 （3） 令每個(gè)因式分別為 ，得兩個(gè)一元一次方程 （4） 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解 活動(dòng)4 課堂檢測(cè) 1．方程的根是 __________ 2．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________ 3．方程（x-1）（x-2）=0的兩根為x1、x2，且x1>x2，則x1-2x2的值等于___ 4．若（2x+3y）2+4（2x+3y）+4=0，則2x+3y的值為_________． 5．已知y=x2-6x+9，當(dāng)x=______時(shí)，y的值為0；當(dāng)x=_____時(shí)，y的值等于9． 活動(dòng)5 拓展延伸 1．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ） A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2 2．若關(guān)于x的一元二次方程的根分別為-5，7，則該方程可以為（ ） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 3．方程（x+4）（x-5）=1的根為（ ） A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上結(jié)論都不對(duì) 4、用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=0 22.2.5解一元二次方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、理解并掌握用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、選擇合適的方法解一元二次方程 重點(diǎn)、難點(diǎn) 3、 重點(diǎn)：用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 4、 難點(diǎn)：選擇合適的方法解一元二次方程 活動(dòng)1： 一、梳理知識(shí) 1、解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據(jù) 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 或 配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 因式分解法 兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于0 一邊是0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積的一元二次方程 3、一般考慮選擇方法的順序是： 直接開平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋? 1. 2. 3、X（x-2）+X-2=0 4. 5、5x2-2X- =x2-2X+ 6. 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練： 1．用直接開方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2．用因式分解法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3．用配方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 4．用公式法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 活動(dòng)3： 歸納內(nèi)化 解一元一次方程的方法： 活動(dòng)4 鞏固提高 1．用直接開方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2．用因式分解法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3．用配方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 4．用公式法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 22.2.6一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．理解并掌握根與系數(shù)關(guān)系：，； 2．會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解并掌握根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系. 難點(diǎn)：會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題； 活動(dòng)1：閱讀教材P54 — 55 , 完成課前預(yù)習(xí) 1、知識(shí)準(zhǔn)備 ( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格 方 程 2 5 x2+3x-10=0 -3 問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ ①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； ②x2+px+q=0的兩根,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 探究2：完成下列表格 方 程 2x2-3x-2=0 2 -1 3x2-4x+1=0 1 問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？ 請(qǐng)完善規(guī)律； ①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； ② ax2+bx+c=0的兩根,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 3、利用求根公式推到根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） ax2+bx+c=0的兩根= , = = = = = = = = = 練習(xí)1：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根和與兩根積： （1） （2） （3） 活動(dòng)2 知識(shí)運(yùn)用 課堂訓(xùn)練： 例1：不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： （1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2 例2：已知方程的一個(gè)根是 -3 ，求另一根及K的值。 例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的兩根,不解方程,求下列代數(shù)式的值 例4:已知關(guān)于x的方程3x2-5x-2=0,且關(guān)于y的方程的兩根 是x方程的兩根的平方,則關(guān)于y的方程是__________ 隨堂訓(xùn)練 （1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2+x （3）x2-3x+2=10 （4）4x2-144=0 （5）3x（x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2=（3-x）2 活動(dòng)3： 歸納內(nèi)化 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系： 活動(dòng)4 課堂檢測(cè) 1． 若方程(a≠0)的兩根為，則= ，= __ 2 ．方程 則= ，= __ 3 ．若方程的一個(gè)根2，則它的另一個(gè)根為____ p=____ 4 ．已知方程的一個(gè)根1，則它的另一根是____ m= ____ 5 ．若0和-3是方程的兩根，則p+q= ____ 活動(dòng)5 拓展延伸 1 ．在解方程x2+px+q=0時(shí)，甲同學(xué)看錯(cuò)了p，解得方程根為x=1與x=-3；乙同學(xué)看錯(cuò)了q，解得方程的根為x=4與x=-2，你認(rèn)為方程中的p=——，q=——。 2 ．兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是 （ ） A BC D 3 ．若方程的兩根中只有一個(gè)為0，那么 （ ） A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0） 4、不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： （1）x2-5x-10=0 （2）2x2+7x+1=0 （3）3x2-1=2x+5 （5）x（x-1）=3x+7 （5）x2-3x+1=0 (6)3x2- 2x=2 22.3.1 實(shí)際問題與一元二次方程（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型．并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理． 2.經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。 3.通過解決傳播問題，學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí)． 4.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用． 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：列一元二次方程解有關(guān)傳播問題、平均變化率問題的應(yīng)用題 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)傳播問題、平均變化率問題中的等量關(guān)系 活動(dòng)一 閱讀教材P458— 469, 完成課前預(yù)習(xí) 探 究： 問題1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ 分析：1、設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么患流感的這一個(gè)人在第一輪中傳染了_______人，第一輪后共有______人患了流感； 2、第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了_______人，第二輪后共有_______人患了流感。 則：列方程 ， 解得 即平均一個(gè)人傳染了 個(gè)人。 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？ 問題2：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？（精確到0.001） 絕對(duì)量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大． 相對(duì)量：從上面的絕對(duì)量的大小能否說明相對(duì)量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計(jì)算來說明這個(gè)問題． 分析：①設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為 元，兩年后甲種藥品成本為 元． 依題意，得 解得：x1≈ ，x2≈ 。 根據(jù)實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為 。 ②設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y．則， 列方程： 解得： 答：兩種藥品成本的年平均下降率 ． 思考：經(jīng)過計(jì)算，你能得出什么結(jié)論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應(yīng)怎樣全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀態(tài)？ 活動(dòng)2：典型例題，初步應(yīng)用 例1：某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個(gè)支干長出多少小分支？ 例2：青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200，2003年平均每公頃產(chǎn)8460，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率. 活動(dòng)3：歸納內(nèi)化 1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟: (1)“設(shè)”，即設(shè)_____________，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種； (2)“列”，即根據(jù)題中________ 關(guān)系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的_________； (4)“檢驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意； (5)“答”，即回答題目中要解決的問題。 2.增長率=（實(shí)際數(shù)-基數(shù)）/基數(shù)。平均增長率公式： 其中a是增長（或降低）的基礎(chǔ)量，x是平均增長（或降低）率，2是增長（或降低）的次數(shù)。 活動(dòng)4 課堂檢測(cè) 1．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共互贈(zèng)了182件，如果全組有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是（ ）A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182 C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=1822 2．一個(gè)小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共（ ）． A．12人 B．18人 C．9人 D．10人 3．某次會(huì)議中，參加的人員每兩人握一次手，共握手190次，求參加會(huì)議共有多少人？ 4.學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽（每兩隊(duì)之間都進(jìn)行了一次比賽），共進(jìn)行了15場(chǎng)比賽，那么有幾個(gè)球隊(duì)參加了這次比賽？ 5.參加一次足球聯(lián)賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比賽（雙循環(huán)比賽），共要比賽90場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？ 活動(dòng)6 拓展延伸 1．兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積為168，求這兩個(gè)偶數(shù). 2.某商品原來單價(jià)96元，廠家對(duì)該商品進(jìn)行了兩次降價(jià)，每次降低的百分?jǐn)?shù)相同，現(xiàn)單價(jià)為54元，求平均每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)？ 3.某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（結(jié)果精確到0.01﹪） 4.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是14 cm，面積是24 cm，求兩條直角邊的長。 5.一個(gè)菱形兩條對(duì)角線長的和是10cm，面積是12 cm，求菱形的周長。 22.3.2 實(shí)際問題與一元二次方程（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型．并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理． 2.經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。 3.通過解決傳播問題，學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí)． 4.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用． 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：列一元二次方程解有關(guān)特殊圖形問題的應(yīng)用題 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)特殊圖形問題中的等量關(guān)系