《《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)綜合教學(xué)大綱》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)綜合教學(xué)大綱（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)綜合教學(xué)大綱 課程一：《高等代數(shù)》考試大綱（總分100） 一、參考教材 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編，高等代數(shù)，高等教育出版社，2003，（第三版） 二、考試的內(nèi)容及基本要求 第一章 多項式 考試內(nèi)容： 1、數(shù)集、數(shù)域、多項式的概念、多項式的代數(shù)性質(zhì)； 2、整除概念、整除性幾個常用性質(zhì)、不可約多項式； 3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推廣、不可約多項式及其性質(zhì)； 4、重因式、單因式、微商、重因式的判別及求法、去掉因式重數(shù)的方法、因式分解唯一性定理； 5、多項式的根、多項式的根的個數(shù)、復(fù)數(shù)域上多項式的分解、實數(shù)域上多項式的分解。

2、基本要求： 1、掌握一元多項式概念。運算及多項乘積與次數(shù)的關(guān)系； 2、正確理解多項式整除的概念及性質(zhì)。正確理解帶余除法； 3、掌握最大公因式的概念、性質(zhì)。求法以及多項式互素的概念和性質(zhì)； 4、正確理解不可約多項式的概念。掌握多項式因式分解的唯一性定理； 5、正確理解多項式重因式的概念，掌握多項式有無重因式的判別方法； 6、掌握多項式函數(shù)以及多項式根的概念； 7、掌握復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解定理； 8、掌握有理數(shù)域上的多項式的有理根的求法。 第二章 行列式 考試內(nèi)容： 1、n級排列、逆序數(shù)、偶(奇)排列、對換、排列的奇偶性； 2、一般行列式的定義、n級行列式的性

3、質(zhì)； 3、矩陣的初等變換、行列式計算； 4、行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用； 5、Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則； 基本要求： 1、掌握n階行列式的概念與性質(zhì)； 2、學(xué)會用行列式的性質(zhì)、熟練地計算行列式； 3、掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。 第三章 線性方程組 考試內(nèi)容： 1、消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別； 2、n維向量概念、n維向量的運算、線性組合、向量組等價、線性相關(guān)(無關(guān))、線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩； 3、矩陣秩的求法； 4、線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一

4、般線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性方程組解的幾何意義； 5、兩個多項式的結(jié)式、二元高次方程組的解法。 基本要求： 1、理解消元法與矩陣初等變換的關(guān)系，能熟練地運用消元法解一般的線性方程組； 2、正確理解和掌握矩陣的被的概念，能熟練地運用矩陣的初等變換要求矩陣的秩； 3、掌握線性方程組有解的判定定理及其應(yīng)用； 4、能熟練地求次線性方程組的基礎(chǔ)解系； 5、一般線性方程組在有解的情況下，掌握它的解的結(jié)構(gòu)； 6、掌握n個未知量n個方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。 第四章 矩陣 考試內(nèi)容： 1、矩陣的概念、矩陣的運算、矩陣乘積的行列式與秩； 2、可逆矩陣、可逆矩陣的性質(zhì)、

5、可逆矩陣的兩個應(yīng)用； 3、矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應(yīng)用； 4、逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。 基本要求： 1、掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律，并能熟練地運用； 2、掌握矩陣可逆的概念及其判定方法； 3、熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理； 4、掌握初等矩陣的概念。初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的方法。 第五章 二次型 考試內(nèi)容： 1、二次型的矩陣表示、二次型及二次型矩陣、替換前后二次型矩陣的關(guān)系、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的求法； 2、正定二次型及其性質(zhì)、正定性的判別、與正定二次型平行的理論； 基本要求： 1、掌握二次型的概念

6、及二次型與對稱矩陣一一對應(yīng)關(guān)系； 2、掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法及其理論依據(jù)； 3、掌握矩陣合同的概念及其性質(zhì)； 4、掌握正定二次型的概念和判別法。 第六章 線性空間 考試內(nèi)容： 1、集合、映射、線性空間的定義及簡單性質(zhì)、線性相關(guān)性及幾個結(jié)論、維數(shù)、基與坐標(biāo)； 2、基變換與坐標(biāo)變換、關(guān)于過渡矩陣的求法； 3、線性子空間及其判別、生成子空間； 4、子空間的交與和定義、維數(shù)公式、子空間交與和的求法、子空間的直和。 基本要求： 1、掌握線性空間概念及簡單性質(zhì)，了解公理化的思想方法； 2、正確理解和掌握線性空間的子空間的概念和判別方法、子空間交與和的概念，掌握和是直和的判

7、別方法； 3、正確理解和掌握線性空間中的向量的線性相關(guān)性的概念和性質(zhì)； 4、掌握有限維線性空間的基與維數(shù)的概念及求法； 5、掌握線性空間中向量坐標(biāo)的定義，基變換與坐標(biāo)變換的公式，過渡矩陣的概念、性質(zhì)及求法。 第七章 線性變換 考試內(nèi)容： 1、線性變換定義、線性變換的運算規(guī)律、線性變換多項式 2、線性變換矩陣在一組基下的矩陣、線性變換與其在一組基下矩陣的關(guān)系、坐標(biāo)變換公式、線性變換在不同基下的矩陣、線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系、相似矩陣的性質(zhì) 3、特征值與特征向量的定義、特征值與特征向量的求法、特征多項式的性質(zhì) 4、某組基下的矩陣為對角陣的線性變換、相似對角陣及所對應(yīng)基的求

8、法、值域與核的定義及其性質(zhì)、值域與核的求法 基本要求： 1、正確理解線性變換的概念、掌握它的運算及簡單性質(zhì)。 2、掌握線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系。 3、正確理解和掌握矩陣的相似，特征值特征向量等重要概念及求法。掌握矩陣對角化的條件及其方法。 4、掌握線性變換的值域與核的概念及其求法。 第九章 歐氏空間 考試內(nèi)容： 1、定義與基本性質(zhì)、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性及求法、標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣 基本要求： 1、正確理解內(nèi)積、歐氏空間、長度、夾角、距離等概念。 2、掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法。 3、理解歐氏空間同構(gòu)的概念及同構(gòu)的充分必要條件。 4、掌握

9、正交變換與正交矩陣等概念、性質(zhì)及關(guān)系。 課程二：《數(shù)學(xué)分析》考試大綱（總分100） 一、參考教材 華東師大數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上、下冊），高等教育出版社，2005，（第三版） 二、考試的內(nèi)容及基本要求 第1章 實數(shù)集與函數(shù) 考試內(nèi)容： 1．實數(shù)分類、實數(shù)的性質(zhì)(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對值與不等式； 2．區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理； 3．函數(shù)表示法、函數(shù)四則運算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)； 4．有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)； 基本要求： 1、要熟練掌握實數(shù)域及性質(zhì)； 2、掌握幾

10、個常用的不等式； 3、熟練掌握鄰域，上確界，下確界，確界原理； 4、牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。 第2章 數(shù)列極限 考試內(nèi)容： 1．?dāng)?shù)列極限的“”定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列； 2．收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則； 3．單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。 基本要求： 1、要熟練掌握數(shù)列極限“”定義； 2、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)； 3、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。 第3章 函數(shù)極限 考試內(nèi)容： 1．函數(shù)極限概念的“”、“”定義，單側(cè)極限及其與極

11、限的關(guān)系； 2．函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則； 3．函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則； 4．兩個重要的極限和； 5．無窮小量和無窮大量的比較。 基本要求： 1、熟練掌握使用“”，“”語言，能用不等式敘述各類型函數(shù)極限的概念； 2、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)； 3、掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界等）； 4、會熟練應(yīng)用兩個特殊極限； 5、能掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。 第4章 函數(shù)的連續(xù)性 考試內(nèi)容： 1．函數(shù)在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類； 2．連續(xù)函

12、數(shù)的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數(shù)的四則運算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性。 基本要求： 1、要熟練掌握在點連續(xù)的定義和等價定義； 2、熟練掌握間斷點及其分類； 3、熟練掌握在一點連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)； 4、熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。 第5章 導(dǎo)數(shù)和微分 考試內(nèi)容： 1．切線問題、瞬時速度、導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)； 2．導(dǎo)數(shù)的四則運算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計； 4．高階導(dǎo)數(shù)

13、與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)法。 基本要求： 1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義； 2、牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式； 3、會求各類的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式）； 4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算； 5、掌握連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。 第6章 微分中值定理及應(yīng)用 考試內(nèi)容： 1．費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理； 2．型不定式極限、型不定式極限、其它類型不定式極限； 3．函數(shù)的單調(diào)性與極值； 4．函數(shù)的凸凹性與拐點； 5．函數(shù)圖象的討論。 基本要求： 1、牢固掌握微分中值定理并會靈活應(yīng)用；

14、 2、 會用洛比達法則求極限，會將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為和型； 3、掌握單調(diào)與符號的關(guān)系，并用它證明單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等； 4、利用判定凹凸性及拐點； 5、掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)； 6、會求曲線各種類型的漸近線性。 第7章 實數(shù)的完備性 考試內(nèi)容： 1．確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調(diào)有界定理。 基本要求： 1、了解下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、子列的概念； 2、了解實數(shù)完備性的七個等價定理的結(jié)論。 第8章 不定積分 考試內(nèi)容： 1．原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則。 2

15、．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法； 3．有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡單無理函數(shù)的積分； 基本要求： 1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念，記住基本積分公式； 2、熟練掌握換元法、分部積分法； 3、熟練掌握有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。 第9章 定積分 考試內(nèi)容： 1．定積分定義、可積條件、三類可積函數(shù) 2．定積分的線性性質(zhì)、對區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對可積性、積分中值定理 3．變動上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法 基本要求： 1、掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，可積函數(shù)類。 2、熟練掌握微積分基本定理，并會

16、熟練應(yīng)用。 3、會熟練計算定積分。 第10章 定積分應(yīng)用 考試內(nèi)容： 1．平面圖形的面積、函數(shù)的平均值 2．由截面面積求立體體積 3．曲線的弧長 4．旋轉(zhuǎn)曲面的面積 基本要求： 1、要求能熟練計算各種平面圖形面積。 2、會求已知截面面積的物體和旋轉(zhuǎn)體的體積。 3、會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。 第12章 數(shù)項級數(shù) 考試內(nèi)容： 1、數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的性質(zhì) 2、正級數(shù)的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法 基本要求： 1、掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。 2、熟練掌握正項級數(shù)的斂散判別法。 第13章

17、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 考試內(nèi)容： 1．函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準(zhǔn)則、判別法 2．極限函數(shù)與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分) 基本要求： 1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義。 2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。 3、掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。 第14章 冪級數(shù) 考試內(nèi)容： 1．冪級數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內(nèi)閉一致收斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分) 基本要求： 1、熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。 2、了解

18、冪級數(shù)的若干性質(zhì)。 3、了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住五種函數(shù)、、、、的馬克勞林展式。 4、會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。 第15章 傅里葉級數(shù) 考試內(nèi)容：三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以為周期的傅立葉級數(shù)。 基本要求：熟記傅里葉系數(shù)公式，并會求之。 第16章 多元函數(shù)極限與連續(xù) 考試內(nèi)容： 1、平面點集的鄰域、內(nèi)點、外點、界點、開集、閉集、區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域 2、二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念 3、二元函數(shù)的極限(重極限、累次極限) 基本要求： 1、了解平面點集的若干概念。 2、掌握二元函數(shù)二重極限定

19、義、性質(zhì)。 3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。 4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì)。 第17章 多元函數(shù)微分學(xué) 考試內(nèi)容： 1、偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義 2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分 3、空間曲線的切線與法平面 基本要求： 1、熟練掌握可微、偏導(dǎo)數(shù)的意義。 2、掌握二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間關(guān)系。 3、會計算各種類型的偏導(dǎo)數(shù)、全微分。 第18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 考試內(nèi)容： 1、隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù) 2、條件極值概念、拉格朗日乘數(shù)法 基本要求： 1、掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式。 2、會求空間曲線的切線與法平面、會求空間曲面的切平面與法線。 3、掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。 第20章 重積分 考試內(nèi)容： 1、二重積分概念、可積條件、性質(zhì) 2、二重積分化為累次積分、 二重積分換元法(極坐標(biāo)變換、 一般曲線變換)、含參量積分導(dǎo)數(shù) 3、分概念、性質(zhì)(與二重積分相同) 4、分化為累次積分、 三重積分換元法(柱坐標(biāo)變換、 球坐標(biāo)變換) 基本要求： 1、了解二重積分、三重積分定義與性質(zhì)。 2、掌握二重積分的換序和變量代換。