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1、北京市2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編14：數(shù)列的綜合問題 一、選擇題 ．（2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）若數(shù)列滿足:存在正整數(shù),對于任意正整數(shù)都有成立,則稱數(shù)列為周期數(shù)列,周期為. 已知數(shù)列滿足, 則下列結(jié)論中錯誤的是 （　?。? A．若,則可以取3個不同的值 B．若,則數(shù)列是周期為的數(shù)列 C．且,存在,是周期為的數(shù)列 D．且,數(shù)列是周期數(shù)列 ．（2013北京昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件,,.給出下列結(jié)論: ① ; ② ; ③ 的

2、值是中最大的; ④ 使成立的最大自然數(shù)等于198. 其中正確的結(jié)論是 （　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空題 2 4 （3題圖） ．（2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)理）以下是面點(diǎn)師一個工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間對應(yīng)的線段，對折后（坐標(biāo)4所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成4個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標(biāo)1、3變成2，原來的坐標(biāo)2變成4，等等）.那么原閉區(qū)間上（除兩個端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第次操作完成后，恰好被拉到與4重合的點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)為，則

3、 ； . （北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 ）右表給出一個“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數(shù)為（），則等于 ，. ． ．（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數(shù)學(xué)理試題）對于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組()(是不小于3的正整數(shù)),若對任意的∈{},當(dāng)時有,則稱是該數(shù)組的一個“逆序”.一個數(shù)組中所有“逆序”的個數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”,如數(shù)組(2,3,1)的逆序數(shù)等于2.則數(shù)組(5,2,4,3,1)的逆序數(shù)等于________;若數(shù)組()的逆

4、序數(shù)為,則數(shù)組()的逆序數(shù)為___________. ．（2013朝陽二模數(shù)學(xué)理科）數(shù)列的前項組成集合,從集合中任取個數(shù),其所有可能的個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如當(dāng)時,,,;當(dāng)時,,,,.則當(dāng)時,______;試寫出______. ．（2013屆西城區(qū)一模理科）記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)△的三邊邊長分別為，且，定義△的傾斜度為． （?。┤簟鳛榈妊切?，則______； （ⅱ）設(shè)，則的取值范圍是______． ．（海淀區(qū)北師特學(xué)校13屆高三第四次月考理科）對任意，函數(shù)滿足，設(shè)，數(shù)列的前15項的和為，則 ． ．（北京

5、市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）定義映射，其中，，已知對所有的有序正整數(shù)對滿足下述條件: ①；②若，；③， 則 ， ． ．（2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科）在數(shù)列中,若對任意的,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列 為比等差數(shù)列,稱為比公差.現(xiàn)給出以下命題: ①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列,等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列; ②若數(shù)列滿足,則數(shù)列是比等差數(shù)列,且比公差; ③若數(shù)列滿足,,(),則該數(shù)列不是比等差數(shù)列; ④若是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,則數(shù)列是比等差數(shù)列. 其中所有真命題的序號是 . ．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

6、理試題 ）將整數(shù)填入如圖所示的行列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最小值為 ，最大值為 . ．（2013北京房山二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）在數(shù)列中,如果對任意的,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列為比等差數(shù)列,稱為比公差.現(xiàn)給出以下命題: ①若數(shù)列滿足,則該數(shù)列不是比等差數(shù)列; ②若數(shù)列滿足,則數(shù)列是比等差數(shù)列,且比公差; ③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列,等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列; ④若是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,則數(shù)列是比等差數(shù)列. 其中所有真命題的序號是____ . 三、解答題 ．（海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理）

7、）已知數(shù)集具有性質(zhì)P:對任意的,,使得成立. (Ⅰ)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P,并說明理由; (Ⅱ)求證:; (Ⅲ)若,求數(shù)集中所有元素的和的最小值. ．（2013屆北京海濱一模理科）設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中.令，，若,且，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”，記作：. 已知為平面上一個定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列滿足：，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中. （Ⅰ）請問：點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由； （Ⅱ）求證：若與重合，一定為偶數(shù)；（Ⅲ）若，且，記，求的最大值. ．（西城區(qū)2013屆

8、高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科）如圖，設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令． （Ⅰ）請寫出一個，使得； （Ⅱ）是否存在，使得？說明理由； （Ⅲ）給定正整數(shù)，對于所有的，求的取值集合． ．（2011年高考（北京理）） 若數(shù)列滿足,則稱為數(shù)列.記 (Ⅰ)寫出一個滿足,且的數(shù)列; (Ⅱ)若,證明: 數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是; (Ⅲ)對任意給定的整數(shù),是否存在首項為0的數(shù)列,使得?如果存在,寫出一個滿足條件的數(shù)列;如果不存在,說明理由.

9、 ．（2013豐臺二模數(shù)學(xué)理科）已知等差數(shù)列的通項公式為,等比數(shù)列中,.記集合 ,,把集合中的元素按從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式,并寫出數(shù)列的前4項; (Ⅱ)把集合中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列,求數(shù)列的通項公式,并說明理由; (Ⅲ)求數(shù)列的前n項和 ．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習(xí)理科數(shù)學(xué)）設(shè)是數(shù)的任意一個全排列,定義,其中. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)求的最大值; (Ⅲ)求使達(dá)到最大值的所有排列的個數(shù). ．（順義13屆高三第一次統(tǒng)練理科）已

10、知數(shù)列的前項和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上. (I)求數(shù)列的通項公式; (II)設(shè)數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項和公式; (III)在第(II)問的條件下,若對于任意的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍 ．（豐臺區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理 ）已知曲線，是曲線C上的點(diǎn)，且滿足，一列點(diǎn)在x軸上，且是坐標(biāo)原點(diǎn)）是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形． （Ⅰ）求、的坐標(biāo)； （Ⅱ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅲ）令，是否存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說明理由． ．（海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理科）已知函數(shù)的定義

11、域為，若在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為. (Ⅰ)已知函數(shù)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (Ⅱ)已知，且的部分函數(shù)值由下表給出， 求證：； (Ⅲ)定義集合請問：是否存在常數(shù)，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由. ．（石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理）定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個“三角形”數(shù)列

12、，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”． （Ⅰ）已知是首項為，公差為的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍； （Ⅱ）已知數(shù)列的首項為，是數(shù)列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列； （Ⅲ）若是（Ⅱ）中數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列最多有多少項? (解題中可用以下數(shù)據(jù) :) ．（朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期中考試（理））給定一個項的實(shí)數(shù)列,任意選取一個實(shí)數(shù),變換將數(shù)列變換為數(shù)列,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實(shí)施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進(jìn)行多次,并且每次所選擇的實(shí)數(shù)可以不相同,第次變換記為,其中為第次變換時選擇的實(shí)數(shù).如果通過次變換后,數(shù)列中的各項均為,則稱,

13、 ,,為 “次歸零變換”. (Ⅰ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個 “次歸零變換”,其中; (Ⅱ)證明:對任意項數(shù)列,都存在“次歸零變換”; (Ⅲ)對于數(shù)列,是否存在“次歸零變換”?請說明理由. ．（2013屆豐臺區(qū)一模理科）設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為n（n=2,3,4,…,）階“期待數(shù)列”： ① ；② . （Ⅰ）分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”； （Ⅱ）若某2k+1()階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式； （Ⅲ）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為， 試證：（1）； （2） ．（2013北京

14、昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）本小題滿分14分) 設(shè)數(shù)列對任意都有(其中、、是常數(shù)) . (I)當(dāng),,時,求; (II)當(dāng),,時,若,,求數(shù)列的通項公式; (III)若數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當(dāng),,時,設(shè)是數(shù)列的前項和,,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ,使得對任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項的所有取值;若不存在,說明理由. ．（昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理）已知每項均是正整數(shù)的數(shù)列，其中等于的項有個，設(shè)， （Ⅰ）設(shè)數(shù)列，求； （Ⅱ）若中最大的項為50， 比較的大??； （Ⅲ）若，求函數(shù)的最小

15、值． ．（2013北京朝陽二模數(shù)學(xué)理科試題）已知實(shí)數(shù)()滿足,記. (Ⅰ)求及的值; (Ⅱ)當(dāng)時,求的最小值; (Ⅲ)求的最小值. 注:表示中任意兩個數(shù),()的乘積之和. ．（北京四中2013屆高三上學(xué)期期中測驗數(shù)學(xué)(理)）已知(,),(,)是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)(可以重合),點(diǎn)在直線上,且. (1)求+的值及+的值 (2)已知,當(dāng)時,+++,求; (3)在(2)的條件下,設(shè)=,為數(shù)列{}的前項和,若存在正整數(shù)、,使得不等式成立,求和的值. ．（2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）(本小題滿分13分

16、) 1 2 3 1 0 1 設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表,如果某一行(或某一列)各數(shù)之和為負(fù)數(shù),則改變該行(或該列)中所有數(shù)的符號,稱為一次“操作”. (Ⅰ) 數(shù)表如表1所示,若經(jīng)過兩次“操作”,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù),請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表(寫出一種方法即可);表1 (Ⅱ) 數(shù)表如表2所示,若必須經(jīng)過兩次“操作”,才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù),求整數(shù)的所有可能值; (Ⅲ)對由個實(shí)數(shù)組成的行列的任意一個數(shù)表,能否經(jīng)過有限次 “操作”以后,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之 表2和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)

17、整數(shù)?請說明理由. ．（2013北京房山二模數(shù)學(xué)理科試題）設(shè),對于項數(shù)為的有窮數(shù)列,令為中的最大值,稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”.例如數(shù)列3,5,4,7的創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,7.考查自然數(shù)的所有排列,將每種排列都視為一個有窮數(shù)列. (Ⅰ)若,寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,5,5的所有數(shù)列; (Ⅱ)是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列;若不存在,請說明理由; (Ⅲ)是否存在數(shù)列,使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的數(shù)列的個數(shù);若不存在,請說明理由. ．（東城區(qū)2013屆高三

18、上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科）已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件： ①； ②. (Ⅰ) 當(dāng)時，求，的值； （Ⅱ）當(dāng)時，求證：； （Ⅲ）設(shè),且，求證：. ．（東城區(qū)普通校2013屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 ）設(shè)，，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，對于滿足的整數(shù)，數(shù)列，，… 由 確定。記 (Ⅰ)當(dāng)時，求的值； (Ⅱ)求的最小值及相應(yīng)的的值 ．（2013西城二模）已知集合是正整數(shù)的一個排列,函數(shù)對于，定義: ,稱為的滿意指數(shù).排列為排列的生成列;排列為排列的母列. (Ⅰ)當(dāng)時,寫出排列的生成列及排列的母列; (Ⅱ)證明:若和為中兩個不同排列,則它

19、們的生成列也不同; (Ⅲ)對于中的排列,定義變換:將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項調(diào)至首項,其它各項順序不變,得到一個新的排列.證明:一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列. ．（2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科）已知數(shù)列,,,,. (Ⅰ)求,; (Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對任意的,有; (Ⅲ)設(shè),問是否為有理數(shù),說明理由. ．（2013北京高考數(shù)學(xué)（理））已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前項的最大值記為,第項之后各項,,的最小值記為， (1)若為是一個周期為的數(shù)列（即對任意），寫出的值； (2) 設(shè)是非負(fù)整

20、數(shù)，證明：（）的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列； (3) 證明：若，（），則的項只能是或者，且有無窮多項為 ．（石景山區(qū)2013屆高三一模數(shù)學(xué)理）給定有限單調(diào)遞增數(shù)列 ()且(),定義集合.若對任意點(diǎn)存在點(diǎn)使得(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱數(shù)列具有性質(zhì). (I)判斷數(shù)列:和數(shù)列:是否具有性質(zhì),簡述理由. (II)若數(shù)列具有性質(zhì),求證: ①數(shù)列中一定存在兩項使得； ②若且,則. (Ⅲ)若數(shù)列只有2013項且具有性質(zhì),,求的所有項和. ．（2013屆北京西城區(qū)一模理科）已知集合． 對于，，定義； ；與之間的距離為． （Ⅰ）當(dāng)時，設(shè)，．

21、若，求； （Ⅱ）（?。┳C明：若，且，使，則； （ⅱ）設(shè)，且．是否一定，使？說明理由； （Ⅲ）記．若，，且，求的最大值． ．（海淀區(qū)2013屆高三5月查缺補(bǔ)漏數(shù)學(xué)（理））數(shù)列的各項都是正數(shù),前項和為,且對任意, 都有. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求數(shù)列的通項公式. ．（通州區(qū)13屆高三上學(xué)期期末理科）現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中． 記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線． （Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系； （Ⅲ）證明：當(dāng)時，． ．（朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末

22、考試數(shù)學(xué)理試題 ）將正整數(shù)（）任意排成行列的數(shù)表.對于某一個數(shù)表，計算各行和各列中的任意兩個數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”. （Ⅰ）當(dāng)時，試寫出排成的各個數(shù)表中所有可能的不同“特征值”； （Ⅱ）若表示某個行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，）， 且滿足請分別寫出時數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）； （Ⅲ）對于由正整數(shù)排成的行列的任意數(shù)表，記其“特征值”為，求證：. ．（2013屆北京大興區(qū)一模理科）已知數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且， 設(shè)集合。 性質(zhì)1 若對于，存在唯一一組（）使成立，則稱數(shù)列為完備數(shù)列，當(dāng)k取

23、最大值時稱數(shù)列為k階完備數(shù)列。 性質(zhì)2 若記，且對于任意，，都有成立，則稱數(shù)列為完整數(shù)列，當(dāng)k取最大值時稱數(shù)列為k階完整數(shù)列。 性質(zhì)3 若數(shù)列同時具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱此數(shù)列為完美數(shù)列，當(dāng)取最大值時稱為階完美數(shù)列； （Ⅰ）若數(shù)列的通項公式為，求集合，并指出分別為幾階完備數(shù)列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列； （Ⅱ）若數(shù)列的通項公式為，求證：數(shù)列為階完備數(shù)列，并求出集合中所有元素的和。 （Ⅲ）若數(shù)列為階完美數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。 ．（2010年高考（北京理））已知集合對于,,定義與的差為 與之間的距離為 (Ⅰ)證明:,且; (Ⅱ)證明:三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù); (Ⅲ) 設(shè),中有(≥2)個元素,記中所有兩元素間距離的平均值為(), 證明:()≤.