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1、 平行四邊形及其性質(zhì)（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理 . 2．能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會如何利用所學(xué)的三角形的知識解決四邊形的問題． 3. 了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實(shí)際應(yīng)用． 4. 掌握兩個推論： “夾在兩條平行線間的平行線段相等”。“夾在兩條平行線間的垂線段相 等” ． 【要點(diǎn)梳理】 知識點(diǎn)一、平行四邊形的定義 平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 . 平行四邊形 ABCD 記作 “ YABCD”，讀作“平行四邊形

2、 ABCD” . 要點(diǎn)詮釋： 平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線 . 相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條 . 知識點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對角相等； 平行四邊形的對邊相等； 平行四邊形的對角線互相平分； 要點(diǎn)詮釋：（ 1）平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的 性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系 . （ 2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進(jìn)行選擇 . （ 3）利用對

3、角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決 . 知識點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)定理 1. 兩條平行線間的距離： （ 1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行 線間的距離 . 注：距離是指垂線段的長度，是正值 . 2．平行線性質(zhì)定理及其推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等. 平行線性質(zhì)定理的推論： 夾在兩條平行線間的垂線段相等 . 【典型例題】 類型一、平行四邊形的性質(zhì)

4、 1、如圖所示，已知四邊形 分線．求證： DF＝ EC．  ABCD是平行四邊形，若  AF、 BE 分別為∠  DAB、∠ CBA的平 【答案與解析】 證明：∵ 在 Y ABCD中， CD∥ AB， ∠ DFA＝∠ FAB． 又∵ AF 是∠ DAB的平分線， ∴ ∠DAF＝∠ FAB， ∴ ∠DAF＝∠ DFA， ∴ AD ＝DF． 同理可得 EC＝ BC． ∵ 在 YABCD中

5、， AD＝BC， ∴ DF ＝EC． 【總結(jié)升華】 利用平行四邊形的性質(zhì)可以得到對角相等，  對邊平行且相等，  為證明線段相等 提供了條件． 舉一反三： 【變式】如圖， E、F 是平行四邊形 ABCD的對角線 AC上的點(diǎn)， CE＝ AF，請你猜想：線段 BE 與線段 DF有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明 . 【答案】 證明：猜想： BE ∥ DF且 BE＝DF. ∵四邊形 ABCD是平行四邊形 ∴ CB=AD， CB∥ AD ∴∠ BCE＝∠

6、DAF 在△ BCE和△ DAF中 CB AD BCE DAF CE AF ∴△ BCE≌△ DAF ∴ BE＝ DF，∠ BEC＝∠ DFA ∴ BE∥ DF 即 BE ∥ DF且 BE＝ DF. 2. （ 2016·永州）如圖，在 ?ABCD中，∠ BAD的角平分線 AE交 CD于點(diǎn) F, 交 BC的延長線于點(diǎn) E． （ 1）求證： BE=CD； （ 2）連接 BF，若 BF⊥ AE，∠ BEA=60°， AB=4，求平行四邊形 ABCD的面積．

7、 【思路點(diǎn)撥】 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠ BAE=∠ BEA，即可證明；（ 2）證明 △ABE為等邊三角形，由勾股定理求出 BF，由 AAS證明△ ADF≌△ ECF，得出△ ADF與△ ECF 的面積相等，平行四邊形 ABCD的面積 =△ ABE的面積，即可得出結(jié)果． 【答案與解析】 （ 1）證明：∵在平行四邊形 ABCD中， AD∥BC， AB∥ CD，AB=CD， ∴∠ AEB=∠DAE， 又∵ AE 是∠ BAD的角平分線，∴∠BAE=∠DAE， ∴∠ AEB=∠BAE， ∴ AB=BE， ∴ BE=CD．

8、 （ 2）解：∵ AB=BE，∠ BEA=60° ∴△ ABE 為等邊三角形， ∴ AE=AB=4， ∵ BF⊥ AE， ∴ AF=EF=2， ∴ BF=2 3 ， ∵AD∥BC， ∴∠ D=∠ ECF，∠ DAF=∠ E， 在△ ADF和△ ECF中， D ECF DAF E , AF EF ∴△ ADF≌△ ECF（ AAS） ∴△ ADF的面積 =△ ECF的面積， ∴平行四邊形 ABCD的面積 =△ ABE的面積 = 1 AE BF 1 4 2 3 4 3 ． 2 2 【總結(jié)升華】 本題考查了平行四

9、邊形的性質(zhì)、 全等三角形的判定與性質(zhì)、 等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、 勾股定理； 解答本題注意掌握平行四邊形的對邊平行且相等的性 質(zhì)． 3. 如圖，在 ?ABCD中，點(diǎn) E， F 分別在邊 DC， AB 上， DE=BF，把平行四邊形沿直線 EF 折疊，使得點(diǎn) B， C分別落在 B′， C′處，線段 EC′與線段 AF 交于點(diǎn) G，連接 DG，B′G．求證：（ 1）∠ 1=∠ 2； (2 ）DG=B′G． 【思路點(diǎn)撥】（ 1）根據(jù)平行四邊形得出 DC∥

10、AB，推出∠ 2=∠ FEC，由折疊得出∠ 1=∠ FEC=∠ 2，即可得出答案； （ 2）求出 EG=B′G，推出∠ DEG=∠ EGF，由折疊求出∠ B′FG=∠ EGF，求出 DE=B′F，證△ DEG ≌△ B′FG 即可． 【答案與解析】 證明：（ 1）∵在平行四邊形 ABCD中， DC∥ AB， ∴∠ 2=∠ FEC， 由折疊得：∠ 1=∠ FEC， ∴∠ 1=∠ 2； （ 2）∵∠ 1=∠ 2， ∴ EG=GF， ∵ AB∥DC， ∴∠ DEG=∠ EGF， 由折疊得： EC′∥ B′F， ∴∠ B′FG=∠ E

11、GF， ∵ DE=BF=B′F， ∴ DE=B′F， ∴△ DEG≌△ B′FG（ SAS）， ∴DG=B′G． 【總結(jié)升華】 本題考查了平行四邊形性質(zhì)， 折疊性質(zhì)， 平行線性質(zhì)， 全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 4. 如圖， 已知 ?ABCD中，F(xiàn) 是 BC邊的中點(diǎn)， 連接 DF并延長， 交 AB 的延長線于點(diǎn) E．求證： AB=BE． 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出 AB=DC，AB∥ CD，推出∠ C=∠FBE，∠ CDF=∠E，證△ CDF ≌△

12、BEF，推出 BE=DC即可． 【答案與解析】 證明：∵ F 是 BC邊的中點(diǎn)， ∴ BF=CF， ∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB=DC， AB∥ CD， ∴∠ C=∠ FBE，∠ CDF=∠ E， ∵在△ CDF和△ BEF 中 C＝ FBE CDF＝ E CF＝ BF ∴△ CDF≌△ BEF（ AAS）， ∴ BE=DC， ∵ AB=DC， ∴ AB=BE． 【總結(jié)升華】 本題考查了平行四邊形性質(zhì)， 全等三角形的性質(zhì)和判定， 平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ CDF≌△ BEF

13、． 舉一反三： 【變式】 如圖，已知在 ?ABCD中，延長 AB，使 AB=BF，連接 DF，交 BC于點(diǎn) E． 求證： E 是 BC的中點(diǎn)． 【答案】 證明：在□ ABCD中， AB∥ CD，且 AB=CD， ∴∠ CDF=∠ F，∠ CBF=∠ C， ∵ AB=FB， ∴ DC=FB， ∴△ DEC≌△ FEB， ∴ EC=EB， 即 E 為 BC的中點(diǎn)． 類型二、平行線的性質(zhì)定理及其推論 5. （1）如圖 1，已知△ ABC，過

14、點(diǎn) A 畫一條平分三角形面積的直線； （ 2）如圖 2，已知 l 1∥ l 2，點(diǎn) E，F(xiàn) 在 l 1 上，點(diǎn) G，H 在 l 2 上，試說明△ EGO與△ FHO面積相等； （ 3）如圖 3，點(diǎn) M在△ ABC的邊上，過點(diǎn) M畫一條平分三角形面積的直線． 【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)三角形的面積公式，只需過點(diǎn) A 和 BC的中點(diǎn)畫直線即可； （ 2）結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明； （ 3）結(jié)合（ 1）和（ 2）的結(jié)論進(jìn)行求作．【答案與解析】 解：（ 1）取 BC

15、的中點(diǎn) D，過 A、 D畫直線，則直線 AD為所求； （ 2）證明：∵ l 1 ∥l 2， ∴點(diǎn) E， F 到 l 2 之間的距離都相等，設(shè)為 h． 1 1 ∴ S = GH× h， S = GH× h， △ EGH △ FGH 2 2 ∴ S△ EGH=S△FGH， ∴ S△ EGH-S △GOH=S△ FGH-S △GOH， ∴△ EGO的面積等于△ FHO的面積； （ 3）解：取 BC的中點(diǎn) D，連接 MD，過點(diǎn) A 作 AN∥ MD交 BC于點(diǎn) N，過 M、 N 畫直線，則直線 MN為所求．

16、 【總結(jié)升華】 此題主要是根據(jù)三角形的面積公式， 知：三角形的中線把三角形的面積等分成了相等的兩部分；同底等高的兩個三角形的面積相等．舉一反三： 【變式】（南京校級期中）有這樣的一個定理：夾在兩條平行線間的平行線段相等．下面經(jīng) 歷探索與應(yīng)用的過程． 探索： 已知：如圖 1，AD∥BC，AB∥CD．求證： AB=CD． 應(yīng)用此定理進(jìn)行證明求解． 應(yīng)用一、已知：如圖 2，AD∥BC， AD＜BC， AB=CD．求證：∠ B=∠C；

17、 應(yīng)用二、已知：如圖 3，AD∥BC，AC⊥BD， AC=4， BD=3．求： AD與 BC兩條線段的和． 【答案】 探索： 證明：如圖 1， 連接 AC， ∵AD∥BC，∴∠ DAC=∠BCA ∵AB∥CD．∴∠ BAC=∠DCA 在△ ABC和△ CDA中， ， ∴△ ABC≌△ CDA（ ASA）， ∴AB=CD； 應(yīng)用一： 證明：如圖 2， 作 DE∥AB 交 BC于點(diǎn) E，∵AD∥BC， ∴AB=DE ∵AB=CD， ∴DE=CD， ∴∠ DEC=∠C ∵DE∥AB， ∴∠ B=∠DEC， ∴∠ B=∠C； 應(yīng)用二、 解：如圖 3， 作 DF∥AC 交 BC的延長線于點(diǎn) F ∵AD∥BC，∴ AC=DF、 AD=CF， ∵ DF∥AC，∴∠ BDF=∠BEC， ∵AC⊥BD，∴∠ BDF=∠BEC=90°， 在 Rt△BDF中，由勾股定理得： BF=5， 故 BC+AD=BC+CF=BF=5．