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高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)講解講義 目錄 第一講 集合的概念 1 第二講 集合的關(guān)系與運(yùn)算 6 第三講 映射與函數(shù) 11 第四講 函數(shù)的表示方法——解析式法 16 第五講 函數(shù)單調(diào)性 20 第六講 函數(shù)奇偶性 27 第七講 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 36 第八講 指數(shù)函數(shù) 42 第九講 對(duì)數(shù)函數(shù) 50 第十講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 56 第十一講 冪函數(shù) 61 第十二講 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 66 第十三講 用二分法求方程的近似解 71 第十四講 幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 76 第十五講 函數(shù)的圖像 85 第十六講 函數(shù)的綜合應(yīng)用 93 第十七講 二次函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)的圖像 111 第一講 集合的概念 一. 知識(shí)思維導(dǎo)圖 二. 知識(shí)要點(diǎn)解讀 （一）集合的概念 1. 含義：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合(set)（簡(jiǎn)稱為集）。 （1）對(duì)象：我們可以感覺(jué)到的客觀存在以及我們思想中的事物或抽象符號(hào)，都可以稱作對(duì)象. （2）集合：把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合. （3）元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素. 集合通常用大括號(hào){ }或大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、…… 元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、…… 2. 元素與集合的關(guān)系 （1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A （2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作a?A 要注意“∈”的方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過(guò)來(lái)寫. 3. 集合中元素的三個(gè)特性： (1) 元素的確定性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。 (2) 元素的互異性：任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。 (3) 元素的無(wú)序性：集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 (4) 集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。 4. 集合分類 根據(jù)集合所含元素個(gè)數(shù)不同，可把集合分為如下幾類： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集 （3）含有無(wú)窮個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集 【例1】考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成集合？ ⑴中國(guó)的直轄市； ⑵young中的字母； ⑶不超過(guò)20的質(zhì)數(shù)； ⑷高一⑶班16歲以下的學(xué)生； ⑸高一⑶班所有個(gè)子高的學(xué)生. 【分析】 ⑴“中國(guó)的直轄市”構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素是“北京、上海、天津、重慶”； ⑵“young中的字母”構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素是“y,o,u,n,g”； ⑶“不超過(guò)20的質(zhì)數(shù)”構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。指在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒(méi)法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。與之相對(duì)立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個(gè)約數(shù)外，還有其它約數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)。”如：41=4，42=2，44=1，很顯然，4的約數(shù)除了1和它本身4這兩個(gè)約數(shù)以外，還有約數(shù)2，所以4是合數(shù)。） ⑷“高一⑶班16歲以下的學(xué)生”構(gòu)成一個(gè)集合； ⑸“高一⑶班所有個(gè)子高的學(xué)生”不能構(gòu)成一個(gè)集合，個(gè)子高這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不可量化。 【例2】：用集合符號(hào)表示下列集合，并寫出集合中的元素： (1)所有絕對(duì)值等于6的數(shù)的集合A (2)所有絕對(duì)值小于6的整數(shù)的集合B 【分析】由集合定義：一組確定對(duì)象的全體形成集合，所以能否形成集合，就看所提對(duì)象是否確定；其次集合元素的特征也是解決問(wèn)題依據(jù)所在. 【解】 (1)A＝{絕對(duì)值等于6的數(shù)} ；其元素為：－6，6 (2)B＝{絕對(duì)值小于6的整數(shù)}；其元素為：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5 （二）集合的表示方法 1. 常用數(shù)集的表示方法 常用數(shù)集 簡(jiǎn)稱 記法 全體非負(fù)整數(shù)的集合 非負(fù)整數(shù)集 N 非負(fù)整數(shù)內(nèi)排除0的集合 正整數(shù)集 N+或N+ 全體整數(shù)的集合 整數(shù)集 Z 全體有理數(shù)的集合 有理數(shù)集 Q 全體實(shí)數(shù)的集合 實(shí)數(shù)集 R 【例3】判斷正誤： ⑴所有在N中的元素都在N*中(　　) ⑵所有在N中的元素都在Z中(　√　) ⑶所有不在N*中的數(shù)都不在Z中(　　) ⑷所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中(　√　) ⑸由既在R中又在N中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0(　　) ⑹不在N中的數(shù)不能使方程4x＝8成立(　√　) 注：（1）自然數(shù)集包括數(shù)0. （2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N*或N+，Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z* 2. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。 1)是有限集而元素個(gè)數(shù)較少 　 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x} 2)是無(wú)限集且元素離散 　 所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…} 3)是有限集但元素個(gè)數(shù)較多 　 如從1到100的所有整數(shù)組成的集合可以表示為{1,2,3,4，，98,99,100} 3. 描述法： 用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫在大括號(hào){}內(nèi)表示集合的方法。具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。{x|p(x)}中x為代表元素，p(x)指x具有的性質(zhì). 描述法的兩種表述形式： 1)、數(shù)式形式:如由不等式x-5>4的所有解組成的集合，可以表示為{x|x-5>4}；由拋物線y=x2+1上所有點(diǎn)組成的集合，可以表示為{(x,y)|y=x2+1}。 2)、語(yǔ)言形式：如由所有直角三角形組成的集合，可以表示為{直角三角形}；所有絕對(duì)值小于6的整數(shù)的集合，可以表示為{絕對(duì)值小于6的整數(shù)}。 【例4】求不等式2x-3>5的解集 【答案】不等式的解集為{x|x>4,x∈R} 【例5】下列各組對(duì)象不能形成集合的是（ ） A.大于6的所有整數(shù) B.高中數(shù)學(xué)的所有難題 C.被3除余2的所有整數(shù) D.函數(shù)y＝x圖象上所有的點(diǎn) 【解】綜觀四個(gè)選擇支，A、C、D的對(duì)象是確定的，惟有B中的對(duì)象不確定，故不能形成集合的是B. 【例6】集合A的元素由kx２－3x＋2＝0(k∈R)的解構(gòu)成，若A中的元素至多有一個(gè)， 求k值的范圍. 【解】由題A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根。 　 若k＝0，則x＝2/3，知A中有一個(gè)元素，符合題設(shè) 　 若k≠0，則方程為一元二次方程. 當(dāng)Δ＝9－8k＝0即k＝9/8時(shí)，kx2－3x＋2＝0有兩相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)A中有一個(gè)元素.又當(dāng)9－8k＜0即k＞9/8時(shí),kx2－3x＋2＝0無(wú)解. 此時(shí)A中無(wú)任何元素，即A＝Ф也符合條件 綜上所述 k＝0或k≥9/8 【評(píng)述】解決涉及一元二次方程問(wèn)題，先看二次項(xiàng)系數(shù)是否確定，若不確定，如該題，則須分類討論.其次至多有一個(gè)元素，決定了這樣的集合或者含一個(gè)元素，或者不含元素，分兩種情況. 三. 知識(shí)要點(diǎn)總結(jié) 1. 含義：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。 2. 元素與集合的關(guān)系:屬于和不屬于 3. 集合的中元素的三個(gè)特性：元素的確定性，元素的互異性，元素的無(wú)序性。 4. 集合分類 ——根據(jù)集合所含元素個(gè)數(shù)不同，可把集合分為如下幾類： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集 （3）含有無(wú)窮個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集 5. 集合的表示方法 常用數(shù)集 簡(jiǎn)稱 記法 全體非負(fù)整數(shù)的集合 非負(fù)整數(shù)集 N 非負(fù)整數(shù)內(nèi)排除0的集合 正整數(shù)集 N+或N+ 全體整數(shù)的集合 整數(shù)集 Z 全體有理數(shù)的集合 有理數(shù)集 Q 全體實(shí)數(shù)的集合 實(shí)數(shù)集 R 6. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。 1)是有限集而元素個(gè)數(shù)較少 2)是無(wú)限集且元素離散 3)是有限集但元素個(gè)數(shù)較多 7. 描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫在大括號(hào){}內(nèi)表示集合的方法。 8. 描述法的兩種表述形式： 1)、數(shù)式形式 2)、語(yǔ)言形式 第二講 集合的關(guān)系與運(yùn)算 一. 知識(shí)思維導(dǎo)圖 二. 知識(shí)要點(diǎn)解讀 （一）集合之間的關(guān)系 1. 集合與集合之間的“包含”關(guān)系 A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說(shuō)集合B包含集合A； 如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）。 記作：A ? B或B ? A 讀作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系 2. 集合與集合之間的“相等”關(guān)系 A?B且A?B，則A=B中的元素是一樣的，因此A=B，根據(jù)以上我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A?A。 3. 真子集的概念 若集合A ? B ，存在至少一個(gè)元素屬于集合B且不屬于集合A ，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset）。 記作：A ?B 讀作：A真包含于B 規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 4. 真子集的性質(zhì) 結(jié)論： A?B且B ? C，則A?C 【例1】集合A={1,2,3,4}，集合B={4,2,3,1}，問(wèn)集合A和集合B相等嗎？ 【例2】化簡(jiǎn)集合A={x|x-7≥2},B={x|x >5}，并表示A、B的關(guān)系； 【例3】（1）寫出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）集合{a1,a2,a3an}，子集個(gè)數(shù)共有多少個(gè)；真子集有多少個(gè)；非空子集有多少個(gè)；非空的真子集有多少個(gè). （二）集合的運(yùn)算 1. 集合的運(yùn)算——并集 一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union） 記作：A∪B 讀作：“A并B” 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 2. 集合的運(yùn)算——并集 說(shuō)明：兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復(fù)元素只看成一個(gè)元素）。 說(shuō)明：連續(xù)的（用不等式表示的）實(shí)數(shù)集合可以用數(shù)軸上的一段封閉曲線來(lái)表示。 3. 集合的運(yùn)算——交集 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集（intersection）。 記作：A∩B 讀作：“A交B” 即： A∩B={x|x∈A，且x∈B} 說(shuō)明：兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合。 拓展：求下列各圖中集合A與B的并集與交集 說(shuō)明：當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集。 4. 集合的運(yùn)算——補(bǔ)集 全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集（Universe），通常記作U。 補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A對(duì)于全集U的補(bǔ)集（complementary set）,簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集 記作：CUA 即：CUA={x|x∈U且x?A} 補(bǔ)集的Venn圖表示 說(shuō)明：補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制 5. 求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是且與或，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 6. 集合的運(yùn)算的一些結(jié)論 交集A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=? ,A∩B=B∩A 并集A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A 補(bǔ)集（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=? 若A∩B=A，則A?B，反之也成立 若A∪B=B，則A?B，反之也成立 若x∈（A∩B），則x∈A且x∈B 若x∈（A∪B），則x∈A或x∈B 【例1】A={1,2,3,6}，B={1,2,5,10}，則 A∪B=_____． 【例2】已知集合A={1,2,4} , B={2,4,6}，則A∪B=_____. 【例3】已知集合A={1,2,k}，B={2,5} ，若A∪B={1,2,3,5} 則 k=___. 【例4】已知集合A={1,3, √m} ,B={1,m}，A∪B=A,則m=（ ?。? A．0 B．0或3 C．1或 √3 D．1或3 【例5】A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.則A∩B=______ 【例6】設(shè)集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x}，則M∩N=（ ） A．{0} B．{0,1} C．{-1,1} D．{-1,0,0} 【例7】已知集合A={x∈R|3x+2>0}, B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},則A∩B=（　?。? A ．(-∞，-1) B．(-1,-2/3) C． (-2/3,3) D．(3, +∞) 【例8】已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-2)(x-m)<0},且A∩B=(-1,n) ,則 m=____,n=_____. 【例9】如果全集U={x|0≤X<6,X∈Z},A={1,3,5},B={1,4}，那么，CUA= _____ CUB= _________ 【例10】如果全集U={x|0a,x≤a,x0時(shí)，g(x)＝-x<0，f(x)＝x2>0，所以f(g(x))＝f(-x)＝-x，g(f(x))＝g(x2)＝-x2. 求函數(shù)解析式要注意“里”層函數(shù)的值域是“外”層函數(shù)的定義域，從關(guān)系上看，f(gx))與f(x)是同一對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，僅是自變量的取值不同，這時(shí)g(x)的值域就是f(x)中x的范圍(這是求復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)不可忽視的問(wèn)題)。 （三）配湊法（整體代換） 1. 什么是配湊法？ 一些能用換元法的題目也能用配湊法 2. 已知f(g(x))的解析式，要求f(x)時(shí)，可從f(g(x))的解析式中配湊出g(x)，即用g(x)來(lái)表示，再將解析式兩邊的g(x)用x來(lái)代替即可。 【練習(xí)】(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x). (2)已知fx+1=x+2x，求f(x). 解：f(x-2)=3(x-2)+1，f(x)=3x+1 解：fx+1=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1，f(x)=x2-1(x≧1) 【例1】若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) 的表達(dá)式為( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 【例2】已知fx+1x=x2+1x2，則f(x)的解析式 【例3】已知a,b為常數(shù)，若f(x)=x+4x+3，f(ax+b)=x+10x+24,則5a-b= . （四）消元法 構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f(x)為奇函數(shù)且g(x)為偶函數(shù)等）此方法的實(shí)質(zhì)是解函數(shù)方程。 【練習(xí)】設(shè)f(x)滿足f(x)-2f(1x)=x，求f(x)的解析式。 【例1】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=1x-1，則f(x)= 【例2】若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)+2f(1x)=3x，則f(x)的表達(dá)式為 （補(bǔ)充）賦值法——由題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由特殊到一般地尋找普遍規(guī)律。 【例】設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表達(dá)式。 【分析】本題主要考察利用特殊值法求函數(shù)的解析式，所給函數(shù)方程含有兩個(gè)變量時(shí)，可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量相等帶入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至于取什么特殊值，需要根據(jù)題目特征來(lái)定。 【解法一】解：由f(0)=1, f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1) 設(shè)x=y,得f(0)=f(x) -x(2x-x+1) ∵f(0)=1， ∴f(x)-x(2x-x+1) =1, 即f(x)=x2+x+1 【解法二】解： 令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)=1-y(-y+1) 再令-y=x,代入上式， 得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1) ∴f(x)=x2+x+1 【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)取某些特殊值帶入題設(shè)中的等式，可使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式 三. 知識(shí)要點(diǎn)總結(jié) 求解析式常用方法：（一）待定系數(shù)法 （二）換元法（三）配湊法 （四）消元法 第五講 函數(shù)單調(diào)性 一. 知識(shí)思維導(dǎo)圖 二. 知識(shí)要點(diǎn)解讀 （一）函數(shù)的單調(diào)性定義 （1）增函數(shù)(Increasing function)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2 ,當(dāng)x1 f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上是減函數(shù)。區(qū)間D就叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間。 （3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）：如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間D是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D具有單調(diào)性，或者說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)的，區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間(包括增區(qū)間和減區(qū)間)。 名稱 定義 幾何意義 增函數(shù) 對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2 ,當(dāng)x1 f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上是減函數(shù)。區(qū)間D就叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間。 f(x)的圖像在區(qū)間D上是“下降”的 （二）函數(shù)的單調(diào)性定義深度剖析 1. 函數(shù)單調(diào)性的定義中, x1,x2有三個(gè)特征：一是任意性，即區(qū)間內(nèi)任意取x1,x2具有普遍性；二是有大小，一般設(shè)x1-12 B. k<-12 C.b>0 D.b<0 [答案]A 3. 函數(shù)f(x)在(a,b)和(c,d) 都是增函數(shù)，若 x1∈(a,b)， x2∈(c,d)且x1f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.無(wú)法確定 [答案]D 4.已知f(x)在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，若a+b≤0 ，則下列正確的是 （ ） A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥ f(-a)+f(-b) （二）函數(shù)單調(diào)性的判斷 1. 判斷函數(shù)單調(diào)性方法 (1) 定義法 a) 用定義法判斷（證明）函數(shù)單調(diào)性的步驟 ： i. 取值：在給定區(qū)間D上任取兩個(gè)值x1，x2且x10，f(x)在[a,b]上是增函數(shù)。其幾何意義是：增函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，(x1, f(x1))，(x2, f(x2))連線的斜率都大于0。 ② (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，f(x)在[a,b]上是減函數(shù)。其幾何意義是：減函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，(x1, f(x1))，(x2, f(x2))連線的斜率都小于0。 c) 函數(shù)單調(diào)性的判斷——定義法 例：討論函數(shù)fx=x+ax(a>0)的單調(diào)性。 研究函數(shù)的單調(diào)性定義法是基礎(chǔ)，掌握定義法的關(guān)鍵是作差(f(x2)－f(x1))，運(yùn)算的結(jié)果可以判斷正、負(fù)。本題判斷正、負(fù)的依據(jù)是代數(shù)式“x1x2－a”，處理這個(gè)代數(shù)式的符號(hào)是一個(gè)難點(diǎn)，要有一定的數(shù)學(xué)功底作基礎(chǔ)。把x1、x2看成自變量，則轉(zhuǎn)化為判斷“x2－a”的符號(hào)，于是轉(zhuǎn)化為判斷“ x-a”的符號(hào)，自然過(guò)渡到x=a是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。 【例1】證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)． 【答案】證明：設(shè)x1，x2 是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)． 由x1＜x2，得x1-x2＜0， 于是 f(x1)-f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)． 所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函數(shù)． 想一想：函數(shù)f(x)=-3x+2在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？試畫出f(x)的圖象，判斷你的結(jié)論是否正確． 【例2】求證：函數(shù)f(x)＝x3＋x在R上是增函數(shù)． (2) 圖像法 先作出函數(shù)圖像，利用圖像直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性 【例1】如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 【答案】解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2) ,[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1), [3,5]上是增函數(shù). 【例2】函數(shù)y=-x+|x| ，單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)________________ 【答案】(-,0)，(,+∞) (3) 直接法 就是對(duì)于我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，可直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間。 圖像 單調(diào)區(qū)間 單調(diào)性 正比例函數(shù) y=kx(k≠0) k>0 R 單調(diào)遞增 k<0 R 單調(diào)遞減 反比例函數(shù) y=1/x(k≠0) k>0 (-∞，0) 單調(diào)遞減 (0，+∞) 單調(diào)遞減 K<0 (-∞，0) 單調(diào)遞增 (0，+∞) 單調(diào)遞增 一次函數(shù) y=kx+b(k≠0) k>0 R 單調(diào)遞增 k>0 R 單調(diào)遞減 二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 (-∞, ] 單調(diào)遞減 （ ,+∞） 單調(diào)遞增 a<0 (-∞, ] 單調(diào)遞增 （ ,+∞） 單調(diào)遞減 牢記函數(shù)的單調(diào)性幾個(gè)重要結(jié)論： 若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間A上具有單調(diào)性，則在區(qū)間A上具有以下性質(zhì)： i. f(x)與f(x)+C（c為常數(shù)）單調(diào)性相同； ii. 函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相反； iii. f(x)與a f(x)，當(dāng)a>0時(shí)，具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，具有相反的單調(diào)性。 iv. 當(dāng)f(x)不恒為零時(shí)， f(x)與1f(x)具有相反的單調(diào)性。 v. 當(dāng)函數(shù)f(x)，g(x)都是增（減）函數(shù)時(shí)，則函數(shù)f(x)+g(x)是增（減）函數(shù)。 vi. 當(dāng)函數(shù)f(x)，g(x)都是增（減）函數(shù)時(shí)，則函數(shù)f(x)g(x)當(dāng)兩者都大于零時(shí)，是增（減）函數(shù)；當(dāng)兩者都恒小于零時(shí)，是減（增）函數(shù)。 vii. 若f(x)≥0,則函數(shù)f(x)與f(x)具有相同的單調(diào)性 2. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法 以復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為例?？砂凑障铝胁襟E操作： i. 將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：y=f(u),u=g(x)分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域。 ii. 分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則y=f[g(x)]為增函數(shù)；若為一增一減，則y=f[g(x)]為減函數(shù)，即“同增異減”。 函數(shù) 單調(diào)性 u=g(x) 增 增 減 減 y=f(u) 增 減 增 減 y=f[g(x)] 增 減 減 增 3. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用方法 (1) 若所給的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，作出草圖，再根據(jù)函數(shù)的定義域和圖像的直觀性寫出單調(diào)區(qū)間。 (2) 利用定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，從而寫出它的單調(diào)區(qū)間。由于函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某一區(qū)間而言的，因此 若函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)處有定義，可寫成閉區(qū)間，也可寫成開(kāi)區(qū)間；若沒(méi)有定義則只能寫成開(kāi)區(qū)間。 （三）函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1. 利用函數(shù)單調(diào)性求值域或最值 一般的，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮。 (1) 若存在定值x0∈I,使得對(duì)于任意x∈I，有f(x)≤f(x0)恒成立，則稱f(x0)為y= f(x)的最大值。記作：ymax= f(x0). (2) 若存在定值x0∈I,使得對(duì)于任意x∈I，有f(x)≥f(x0)恒成立，則稱f(x0)為y= f(x)的最小值。記作：ymin= f(x0). 注意： (1) 定義中的f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)）必須是對(duì)于定義域內(nèi)的任一值，而不是存在。 (2) 一個(gè)函數(shù)要有最大（?。┲?，則只有一個(gè)，并不是所有的函數(shù)都有最值，如一次函數(shù)y=3x+7,x∈(4,9),既無(wú)最大值又無(wú)最小值。 (3) 對(duì)于分段函數(shù)求最值，一定要注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，一般是求出各段函數(shù)的最值，再比較其大小，進(jìn)而求出分段函數(shù)的最值。應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，可以求函數(shù)的值域，解決與值域有關(guān)的問(wèn)題，求函數(shù)的最大值和最小值。 2. 利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 例如：已知f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)。 (1) 對(duì)任意的x1∈D，x2∈D，若x10時(shí)，f(x)>1，且對(duì)任意的x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)f(y)． (1)證明：對(duì)任意的x∈R，f(x)>0； (2)證明：f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)； (3)若f(x)f(x2＋x)<1，求x的取值范圍 三. 知識(shí)要點(diǎn)總結(jié) 1. 我們之前學(xué)過(guò)一些關(guān)于元素和函數(shù)的分類： 元素的三特性：確定性、互異性、無(wú)序性。 函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域。 2. 函數(shù)的三特性：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性。 其中，單調(diào)性排在首位，是函數(shù)的基本性質(zhì)，是每個(gè)初等函數(shù)要研究的性質(zhì). 其他性質(zhì)則不然，如奇偶性，周期性等，不是每個(gè)初等函數(shù)都具有的性質(zhì). 由此看到，單調(diào)性在函數(shù)中的重要地位. ①函數(shù)的單調(diào)性與“區(qū)間”緊密相關(guān)，函數(shù)在不同的區(qū)間上可有不同的單調(diào)性。 ②單調(diào)性是函數(shù)局部的性質(zhì)（定義域的某個(gè)區(qū)間上），奇偶性是整體的性質(zhì)（整個(gè)定義域上）。 3. 單調(diào)性定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2 ,當(dāng)x1 f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上是減函數(shù)。 4. 判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 (1) 定義法：即“取值——作差(作商)——變形——定號(hào)——判斷”注意討論單調(diào)區(qū)間 (2) 圖像法 (3) 直接法 5. 函數(shù)單調(diào)性的證明步驟等同于判斷 必須注意： 在用定義法證明不等式時(shí)，為了確定符號(hào)，一般是將f(x1)-f(x2)盡量分出(x1-x2)因式，再將剩下的因式化成積商的形式，或化成幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的和等，這樣有利于該因式符號(hào)的確定。 6. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷——要牢記“同增異減” 7. 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 （1）利用函數(shù)單調(diào)性求值域或最值 （2）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 （3）利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍 第六講 函數(shù)奇偶性 一. 知識(shí)思維導(dǎo)圖 二. 知識(shí)要點(diǎn)解讀 （一）函數(shù)奇偶性的概念 1. 定義： 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)。 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)。 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y= f(x)具有奇偶性。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。 奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即： 若f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)有成立. 2. 定義剖析： (1)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．若不對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)必不具有單調(diào)性，這個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；例如函數(shù)y=x2在實(shí)數(shù)集R上是偶函數(shù)，但在區(qū)間[-1,3]上不具有奇偶性。 (2)若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則有f(0)=0一定成立。證明：由奇函數(shù)的定義f(-0)=-f(0) 可以推出2f(0)=0，即f(0)=0。這里要特別注意一點(diǎn)，若函數(shù)在0處沒(méi)有定義，如函數(shù)fx=1x，雖然是奇