3、面圓的半徑O1D設(shè)為x.
∵OA＝AB＝R，
∴△OAB是等腰直角三角形．
又CD∥OA，則CD＝BC，故x＝l.
∴截面面積S＝πR2－πl(wèi)2＝π(R2－l2)．
解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，正確作出幾何體的軸截面等，把立體圖和截面圖對照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系．把空間幾何問題轉(zhuǎn)化在同一平面內(nèi)利用平面幾何的知識解決，即用空間問題平面化的解題策略．
1.一長方體木料，沿如圖所示平面EFGH截長方體，若AB⊥CD，那么下列四個(gè)圖形中是截面的是( )
解析：選A 因?yàn)锳B，MN兩條交線所在平面(側(cè)面)互相平行，故AB，
4、MN無公共點(diǎn)；又AB，MN在平面EFGH內(nèi)，故AB∥MN.同理易知，AN∥BM.又AB⊥CD，所以截面必為矩形．
平面、直線與球的位置關(guān)系
[例2] 有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．
[思路點(diǎn)撥] 本題主要考查平面、直線與球的位置關(guān)系的應(yīng)用．解此題時(shí)分別作出三種情況的截面圖，可求解．
[精解詳析] 設(shè)正方體的棱長為a.
(1)正方形的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面正方形的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面如圖①，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.
(2)球與正方體的
5、各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)， 過球心作正方體的對角面得截面，如圖②，2r2＝a，r2＝a, 所以S2＝4πr＝2πa2.
(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖③，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2.
綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
與球有關(guān)的截面問題，為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫一個(gè)截面圓起襯托作用．
2．棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是( )
A． B．
C． D．
解析：選C
6、 由題意結(jié)合圖形分析知：截面過球心，且交AB于E點(diǎn)，則E為AB的中點(diǎn)，即可得△ECD為等腰三角形，又CD＝2，CE＝DE＝，可求得S△ECD＝.
[例3] 如圖，球O的半徑為2，圓O1是一小圓，O1O＝，A，B是圓O1上兩點(diǎn)．若∠AO1B＝，則A，B兩點(diǎn)間的球面距離為 ．
[精解詳析] 如圖，OB＝OA＝2，
O1O＝，
∴O1A＝，
∴AB＝2，
∴△OAB為正三角形，
∴∠AOB＝.
∴A，B兩點(diǎn)間的球面距離為×2＝.
[答案]
若一平面與球面相交所得交線是一個(gè)圓，且圓心與球心的連線垂直于這一平面，該圓心與球心距離為d，圓半徑為r，球半徑為R
7、，則d2＋r2＝R2.
本例條件變?yōu)椤叭鐖D，球O的半徑為2，圓O1是一小圓，O1O＝，A，B是圓O1上兩點(diǎn)．若A，B兩點(diǎn)間的球面距離為”，則∠AO1B＝ .
解析：由A，B間的球面距離為知∠AOB＝，所以△AOB為等邊三角形，AB＝2；又由球O的半徑為2，O1O＝知O1A＝O1B＝，所以△AO1B為等腰直角三角形，∠AO1B＝.
答案：
本課時(shí)?？疾榻孛鎲栴}，是每年命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一．屬中檔題．
[考題印證]
平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為( )
A．π B．4π
C．4π
8、 D．6π
[命題立意]
本題主要通過截面問題考查球的性質(zhì)及球的體積公式．
[自主嘗試] 設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R＝＝，所以球的體積V＝πR3＝4π.
[答案] B
[對應(yīng)學(xué)生用書P35]
一、選擇題
1．在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為( )
A．1∶ B．1∶9
C．1∶3 D．1∶(3－1)
解析：選D 由面積比等于邊長比的平方，體積比為邊長比的立方可求得D正確．
2．過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是
9、60°，則該截面的面積是( )
A．π B．2π
C．3π D．2π
解析：選A 設(shè)截面的圓心為O′，由題意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12＝π.
3．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為( )
A．4 B．3
C．8 D．6
解析：選C 由題意，設(shè)AB＝a，AA1＝b，再由BD·DC1＝6可得a2＋＝12.又由BC2＋CC＝BC得a2＋b2＝24，可得a＝2，b＝4，
∴V＝×(2)2×4＝8.
4．正方體
10、ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，則正方體的過P，Q，R的截面圖形是( )
A．矩形 B．正五邊形
C．正六邊形 D．菱形
解析：選C 如圖，利用空間圖形的公理作出截面，可知截面為正六邊形．
二、填空題
5．已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于 ．
解析：記球O的半徑為R，圓M的半徑為r，則依題意得r2＝3，R2＝r2＋2，故R2＝4，球O的表面積等于4πR2＝16π.
答案：16π
6．直三棱柱ABC－A1B1C1的
11、各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于 ．
解析：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在Rt△OO′B中，易得球半徑R＝，故此球的表面積為4πR2＝20π.
答案：20π
7．已知點(diǎn)A，B，C在球心為O的球面上，△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊長分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，a＝，球心O到截面ABC的距離為，則該球的表面積為 ．
解析：由a2＝b2＋c2－bc可得A＝，再由正弦定理可得球的小圓半徑為r
12、＝1，進(jìn)而可得球的半徑為R＝，該球的表面積為12π.
答案：12π
8．在的二面角內(nèi)，放一個(gè)半徑為5的球切兩半平面于A，B兩點(diǎn)，那么這兩個(gè)切點(diǎn)在球面上最短距離是 ．
解析：兩切點(diǎn)對球心的張角為，∴球面距為.
答案：
三、解答題
9．已知棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，求證：MNA′C′是梯形．
證明：如圖，連接AC.
∵M(jìn)，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，
∴MN綊AC.
由正方體性質(zhì)可知AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′，
∴四邊形MNA′C′是梯形．
10．在北緯45°的緯度圈上有A，B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)70°與東
13、經(jīng)160°的經(jīng)度圈上，設(shè)地球半徑為R，求A，B兩點(diǎn)間的球面距離．
解：如圖，設(shè)北緯45°圈的圓心為O1，地球中心為O，
則∠AO1B＝160°－70°＝90°，∠OBO1＝45°，OB＝R，
∴O1B＝O1A＝R，AB＝R.
連接AO，AB，則AO＝BO＝AB＝R，
∴∠AOB＝60°，∴＝·2πR＝πR.
故A，B兩點(diǎn)間的球面距離為πR.
11．如圖所示，三棱錐V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°.
(1)求證：V，A，B，C四點(diǎn)在同一球面上．
(2)過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直．求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形．
證明：(1)取VC的中點(diǎn)M.
∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，
∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M為斜邊VC的中點(diǎn)，
∴MB＝MC＝MV.
同理，在Rt△VAC中，
MA＝MV＝MC.
∴MV＝MC＝MA＝MB，
∴V，A，B，C四點(diǎn)在同一球面上，M是球心．
(2)取AC，AB，VB的中點(diǎn)分別為N，P，Q，
連接NP，PQ，QM，MN.則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V－ABC的截面，易證PQMN是平行四邊形，
又VA⊥BC，PQ∥VA，NP∥BC，
∴QP⊥PN，故截面MNPQ是矩形．
8
2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線 1 截面欣賞 2 直線與球、平面與球的位置關(guān)系學(xué)案 北師大版選修4-1
