《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解學(xué)案 文（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 突破點(diǎn)9　空間幾何體表面積或體積的求解 [核心知識(shí)提煉] 提煉1 求解幾何體的表面積或體積 (1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算． (2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解． (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. 提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切 (1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑r＝a，外接球的半徑R＝a. 圖9-1 (2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD-A1

2、B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖9-1所示． ①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ＝； ②正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG＝； ③正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1＝. [高考真題回訪] 回訪1　幾何體的表面積或體積 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖9-2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　)

3、 圖9-2 A．90π　　　　　　　　 B．63π C．42π D．36π B　[方法1：(割補(bǔ)法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得． 將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π. 故選B. 方法2：(估值法)由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合． 故選B.] 2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖9-3是由圓柱與圓錐

4、組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) 圖9-3 A．20π　　　　　　 B．24π C．28π D．32π C　[由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(zhǎng)(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2π×2×4＝16π，底面積為π·22＝4π；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長(zhǎng)為＝4，所以圓錐的側(cè)面積為π×2×4＝8π.所以該幾何體的表面積為S＝16π＋4π＋8π＝28π.] 3．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖9-4，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) 圖9-4 A.　　　　　　　 B． C.　　

5、　　　　　 D． D　[由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為 V1＝××1×1×1＝， 剩余部分的體積V2＝13－＝. 所以＝＝，故選D.] 回訪2　球與幾何體的外接與內(nèi)切 4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝.

6、∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B.] 5．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C.144π D．256π C　[如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2. ∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值， ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO-ABC最大， ∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO-ABC最大為×R2×R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×6

7、2＝144π.故選C.] 6．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)如圖9-5，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　) 圖9-5 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 A　[如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π×53＝π(cm3)．] 熱點(diǎn)題型1　幾何體的表面積或體積 題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確

8、轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解． 【例1】(1)(2017·黃山二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖9-6所示，則該幾何體的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024087】 圖9-6 A．4　　　　　 B．4 C．4 D. (2)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)如圖9-7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖9-7 A．18＋36　　　　　 B．54＋18 C．90 D．81 (1)C　(2)B　[(

9、1)由三視圖可知該幾何體為四棱錐P-ABCD， 其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，AD⊥AB，AP＝2，AB＝2，∴該幾何體的體積V＝××2×2＝4.故選C. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B.] [方法指津] 1．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面

10、上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2017·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖9-8所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋ B．5＋ C．5＋ D.＋ 圖9-8 (2)(2017·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖9-9所示，則該幾何體的表面積是(　　) 圖9-9 A．4

11、8＋π B．48－π C．48＋2π D．48－2π (3)(名師押題)如圖9-10，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD -A1B1C1D1中分離出來由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為________cm3. 圖9-10 (1)D　(2)A　(3)36　[(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V＝2×1×2＋××1×1×2＋×π×12×2＝＋. (2)該幾何體是正四棱柱中挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2

12、×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A. (3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1-CD1B1的體積． 又V三棱錐C1-CD1B1＝V三棱錐C-B1C1D1＝××6＝36(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水．] 熱點(diǎn)題型2　球與幾何體的切、接問題 題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記．先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)——球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體

13、的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解． 【例2】　(1)(2016·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖9-11所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 圖9-11 A. B. C. D. (2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________． (1)D　(2)36π　[(1)由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S - ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H為

14、△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設(shè)球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2－R|， 由球的截面性質(zhì)可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. (2)如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則 OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S-ABC的體積 V＝×·O

15、A＝， 即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.] [方法指津] 解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定．對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來． [變式訓(xùn)練2] (1)(2017·江西七校聯(lián)考)如圖9-12，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P

16、，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是(　　) 圖9-12 A．6π B．12π C．18π D．9π (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024088】 A. B. C. D．20π (1)C　(2)B　[(1)因?yàn)椤螦PE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝＝3，故該球的表面積

17、S＝4πR2＝4π2＝18π，故選C. (2)設(shè)△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示． 由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)． 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC＝. 由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝. 而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝AA1＝1， 設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝， 所以該三棱柱的外接球的體積為V＝R3＝.故選B.] 13