《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 全一冊學(xué)案 湘教版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 全一冊學(xué)案 湘教版選修2-2（245頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 全一冊學(xué)案 湘教版選修2-2 4．1.1　問題探索——求自由落體的瞬時速度 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解并掌握平均速度的概念． 2．通過實例的分析，經(jīng)歷平均速度過渡到瞬時速度的過程． [知識鏈接] 1．一物體的位移s與時間t滿足函數(shù)關(guān)系s＝t2，則在時間段[1,2]內(nèi)的平均速度＝________. 答案　＝＝3. 2．質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律s＝t2＋3，則在時間(3,3＋d)中，相應(yīng)的平均速度等于________． 答案?。剑?＋d. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．伽利略通過實驗得到的自由落體的下落距離s和時間t有近似的函數(shù)關(guān)系，其關(guān)系是s＝4.9t2. 2

2、．瞬時速度 (1)在t0時刻的瞬時速度即指在時刻t0＋d，當(dāng)d趨于0時，時間段[t0，t0＋d]內(nèi)的平均速度． (2)若物體的運(yùn)動方程為s＝f(t)，則物體在任意時刻t的瞬時速度v(t)就是平均速度v(t，d)＝在d趨于0時的極限. 要點一　求平均速度 例1　已知一物體做自由落體運(yùn)動，運(yùn)動的方程為s＝gt2(位移單位：m，時間單位：s)，求： (1)物體在t0到t0＋d這段時間內(nèi)的平均速度. (2)物體在t＝10 s到t＝10.1 s這段時間內(nèi)的平均速度． 解　(1)s(t0＋d)－s(t0)＝g(t0＋d)2－gt ＝gt0d＋gd2， 在t0到 t0＋d這段時間內(nèi)，物

3、體平均速度為 v(t0，d)＝＝gt0＋gd. (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s， 平均速度為10g＋g×0.1＝10.05g(m/s)． 規(guī)律方法　物體的運(yùn)動方程是s(t)，則從t＝t1到t＝t2的平均速度是v(t，d)＝. 跟蹤演練1　已知物體運(yùn)動方程為s(t)＝2t2＋2t(位移單位：m，時間單位：s)，求： (1)物體在運(yùn)動前3 s內(nèi)的平均速度； (2)物體在2 s到3 s內(nèi)的平均速度． 解　(1)物體在前3 s內(nèi)的位移為： s(3)－s(0)＝2×32＋2×3－0＝24(m)，故前3 s內(nèi)的平均速度為＝＝8(m/s)． (2)物體在2 s到3 s內(nèi)

4、的位移為 s(3)－s(2)＝24－(2×22＋2×2)＝12(m)． 故物體在2 s到3 s這段時間內(nèi)的平均速度為＝12(m/s)． 要點二　求瞬時速度 例2　已知一物體做自由落體運(yùn)動，s＝gt2(位移單位：m，時間單位：s， g＝9.8 m/s2)． (1)計算t從3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段時間內(nèi)平均速度； (2)求t＝3 s時的瞬時速度． 解　(1)當(dāng)t在區(qū)間[3,3.1]時，d＝3.1－3＝0.1(s)， s(3.1)－s(3)＝g×3.12－g×32＝2.989(m)， 1＝＝＝29.89(m/s)． 同理，當(dāng)t在區(qū)間[3,3.01]時

5、，2＝29.449(m/s)， 當(dāng)t在區(qū)間[3,3.001]時，3＝29.404 9(m/s)． (2)物體在[3,3＋d]上的平均速度是： ＝＝g(6＋d) 當(dāng)d→0時，上式表達(dá)式值為3g，即物體在3 s時的瞬時速度為3g＝29.4(m/s)． 規(guī)律方法　平均速度即位移增量與時間增量之比 ，而瞬時速度為平均速度在d→0時的極限值，二者有本質(zhì)區(qū)別． 跟蹤演練2　槍彈在槍筒中運(yùn)動可以看作勻加速運(yùn)動，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，槍彈從槍口中射出時所用的時間為1.6×10－3 s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度． 解　運(yùn)動方程為s＝at2. v(t，d)＝ ＝＝ad＋a

6、t. 當(dāng)d趨于0時，ad＋at的極限為at. a＝5.0×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s， ∴槍彈射出槍口時的瞬時速度為5×105×1.6×10－3 m/s， 即800 m/s. 1．一質(zhì)點的運(yùn)動方程是s＝4－2t2，則在時間段[1,1＋d]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為 (　　) A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案　D 解析　v(1，d)＝＝－＝－2d－4. 2．已知物體位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系為s＝f(t)．下列敘述正確的是(　　) A．在時間段[t0，t0＋d]內(nèi)的平均速度即是在t0時刻的瞬時速度 B．在t1＝1.1，t

7、2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，這四個時刻的速度都與t＝1時刻的速度相等 C．在時間段[t0－d，t0]與[t0，t0＋d](d>0)內(nèi)當(dāng)d趨于0時，兩時間段的平均速度相等 D．以上三種說法都不正確 答案　C 解析　兩時間段的平均速度都是在t0時刻的瞬時速度． 3．已知s＝gt2，從3秒到3.1秒的平均速度＝________. 答案　3.05g 解析　＝＝3.05g. 4．如果質(zhì)點M的運(yùn)動方程是s＝2t2－2，則在時間段[2,2＋d]內(nèi)的平均速度是________． 答案　8＋2d 解析　v(2，d)＝＝8＋2d. 1．平均速度與瞬時速度的區(qū)別與

8、聯(lián)系 平均速度是運(yùn)動物體在某一段時間內(nèi)位移的平均值，即用時間除位移得到，而瞬時速度是物體在某一時間點的速度，當(dāng)時間段越來越小的過程中，平均速度就越來越接近一個數(shù)值，這個數(shù)值就是瞬時速度，可以說，瞬時速度是平均速度在時間間隔無限趨于0時的“飛躍”． 2．求瞬時速度的一般步驟 設(shè)物體運(yùn)動方程為s＝f(t)，則求物體在t時刻瞬時速度的步驟為： (1)從t到t＋d這段時間內(nèi)的平均速度為，其中f(t＋d)－f(t)稱為位移的增量； (2)對上式化簡，并令d趨于0，得到極限數(shù)值即為物體在t時刻的瞬時速度. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．設(shè)物體的運(yùn)動方程s＝f(t)，在計算從t到t＋d這段時間內(nèi)的平均速度

9、時，其中時間的增量d(　　) A．d>0 B．d<0 C．d＝0 D．d≠0 答案　D 2．一物體運(yùn)動的方程是s＝2t2，則從2 s到(2＋d) s這段時間內(nèi)位移的增量為 (　　) A．8 B．8＋2d C．8d＋2d2 D．4d＋2d2 答案　C 解析　Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2. 3．一物體的運(yùn)動方程為s＝3＋t2，則在時間段[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(　　) A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1 答案　D 解析?。剑?.1. 4．一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的方程為 s

10、＝t2，則t＝2時，此木塊水平方向的瞬時速度為(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析?。剑剑→(Δt→0)． 5．質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律s＝2t2＋1，則從t＝1到t＝1＋d時間段內(nèi)運(yùn)動距離對時間的變化率為________． 答案　4＋2d 解析?。剑?＋2d. 6．已知某個物體走過的路程s(單位：m)是時間t(單位：s)的函數(shù)：s＝－t2＋1. (1)t＝2到t＝2.1； (2)t＝2到t＝2.01； (3)t＝2到t＝2.001. 則三個時間段內(nèi)的平均速度分別為________，________，________，估計該物體在t＝2時的瞬時速度為____

11、____． 答案?。?.1 m/s?。?.01 m/s　－4.001 m/s －4 m/s 7．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時，需在2 s內(nèi)完成剎車，其位移 (單位：m)關(guān)于時間(單位：s)的函數(shù)為： s(t)＝－3t3＋t2＋20，求： (1)開始剎車后1 s內(nèi)的平均速度； (2)剎車1 s到2 s之間的平均速度； (3)剎車1 s時的瞬時速度． 解　(1)剎車后1 s內(nèi)平均速度 1＝＝ ＝－2(m/s)． (2)剎車后1 s到2 s內(nèi)的平均速度為： 2＝ ＝ ＝－18(m/s)． (3)從t＝1 s到t＝(1＋d)s內(nèi)平均速度為： 3＝ ＝ ＝＝

12、－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0) 即t＝1 s時的瞬時速度為－7 m/s. 二、能力提升 8．質(zhì)點M的運(yùn)動方程為s＝2t2－2，則在時間段[2,2＋Δt]內(nèi)的平均速度為(　　) A．8＋2Δt B．4＋2Δt C．7＋2Δt D．－8＋2Δt 答案　A 解析?。剑?＋2Δt. 9．自由落體運(yùn)動的物體下降的距離h和時間t的關(guān)系式為h＝gt2，則從t＝0到t＝1時間段內(nèi)的平均速度為________，在t＝1到t＝1＋Δt時間段內(nèi)的平均速度為________，在t＝1時刻的瞬時速度為________． 答案　g　g＋gΔt　g 解析　＝g. ＝g＋gΔt.

13、 當(dāng)Δt→0時，g＋gΔt→g. 10．自由落體運(yùn)動的物體下降距離h和時間t的關(guān)系式為h＝gt2，t＝2時的瞬時速度為19.6，則g＝________. 答案　9.8 解析?。?g＋gΔt. 當(dāng)Δt→0時，2g＋gΔt→2g. ∴2g＝19.6，g＝9.8. 11．求函數(shù)s＝2t2＋t在區(qū)間[2,2＋d]內(nèi)的平均速度． 解　∵Δs＝2(2＋d)2＋(2＋d)－(2×22＋2)＝9d＋2d2， ∴平均速度為＝9＋2d. 12．甲、乙二人平時跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖①、②所示．問： (1)甲、乙二人平時跑步哪一個跑得快？ (2)甲、乙二人百米賽

14、跑，快到終點時，誰跑得快(設(shè)Δs為s的增量)? 解　(1)由題圖①在(0，t]時間段內(nèi)，甲、乙跑過的路程s甲Δs甲，所以>即快到終點時，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快． 三、探究與創(chuàng)新 13．質(zhì)量為10 kg的物體按照s(t)＝3t2＋t＋4的規(guī)律做直線運(yùn)動，求運(yùn)動開始后4秒時物體的動能． 解　＝ ＝3Δt＋25， 當(dāng)Δt→0時，3Δt＋25→25. 即4秒時刻的瞬時速度為25. ∴物質(zhì)的動能為mv

15、2＝×10×252＝3 125(J) 4．1.2　問題探索——求作拋物線的切線 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 理解并掌握如何求拋物線的切線． [知識鏈接] 1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0＋d時，函數(shù)的改變量Δy為________． 答案　f(x0＋d)－f(x0) 2．函數(shù)y＝x2在x＝1處的切線斜率k＝________. 答案?。剑?＋Δx→2(Δx→0)． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 　求曲線上點P處切線斜率的方法 設(shè)P(u，f(u))是函數(shù)y＝f(x)的曲線上的任一點，則求點P處切線斜率的方法是： (1)在曲線上取不同于P的點Q(u＋d，f(u＋d))，計算直線PQ的斜

16、率k(u，d)＝. (2)在所求得的PQ的斜率的表達(dá)式k(u，d)中，讓d趨于0，如果k(u，d)趨于確定的數(shù)值k(u)，則k(u)就是曲線在P處的切線斜率. 要點一　有關(guān)曲線的割線斜率的探索 例1　點P(3,9)為拋物線y＝x2上的一點，A1(1,1)，A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)為拋物線上另外四點． (1)分別求割線PA1，PA2，PA4，PA5的斜率； (2)若A(x0，x)為曲線y＝x2上異于P的動點，當(dāng)A逐漸向P趨近時，說明割線斜率的變化情況． 解　(1)kPA1＝＝4，kPA2＝＝5， kPA4＝＝7，kPA5＝＝＝8. (2)當(dāng)A沿曲線趨

17、近于P點時，x0的值趨近于3，不妨設(shè)x0＝3＋d(d≠0)，當(dāng)x0→3時，d→0， 則kPA＝＝x0＋3＝(3＋d)＋3＝6＋d， 當(dāng)d→0時，kPA→6，表明隨A點無限趨近于P，割線PA的斜率無限趨近于6. 規(guī)律方法 割線向切線逼近的過程是從有限到無限的過程，也是d趨于0的過程，這一過程實現(xiàn)了從割線到切線質(zhì)的飛躍． 跟蹤演練1　已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)為函數(shù)y＝x3曲線上兩不同點． (1)當(dāng)x1＝1，x2＝2時，求kAB； (2)求當(dāng)x1＝x0，x2＝x0＋d時，A、B兩點連線斜率kAB. 解　(1)kAB＝＝＝7. (2)kAB＝ ＝ ＝ ＝3x＋3x

18、0d＋d2. 要點二　有關(guān)切線方程的探索 例2　已知曲線方程為y＝f(x)＝x3＋2x，求曲線在點P(1,3)處的切線方程． 解　f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)3＋2(1＋d)－(13＋2×1) ＝3d＋3d2＋d3＋2d ＝5d＋3d2＋d3. 則k(1，d)＝＝5＋3d＋d2， 當(dāng)d→0時，k(1)＝5， 則切線方程為y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0. 規(guī)律方法 求曲線上點(x0，y0)處切線方程的步驟： (1)求割線斜率；(2)求切線斜率；(3)求切線方程． 跟蹤演練2　求y＝f(x)＝x2－1在x＝1處的切線斜率及切線方程

19、． 解　f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)2－1－(12－1)＝d2＋2d， ＝d＋2→2(d→0)， 即在x＝1處切線斜率為2. ∵f(1)＝0， ∴切線方程為y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 要點三　求切點坐標(biāo) 例3　在曲線y＝4x2上求一點P使得曲線在該點處的切線分別滿足下列條件： (1)平行于直線y＝x＋1； (2)垂直于直線2x－16y＋1＝0； (3)傾斜角為135°. 解　設(shè)f(x)＝4x2且P點坐標(biāo)為(u，f(u))．在曲線上取另一點Q(u＋d，f(u＋d))，計算直線PQ的斜率 k(u，d)＝ ＝＝8u＋4d.

20、 在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0，表達(dá)式趨于8u，所以P點處切線斜率為8u. (1)因為切線與直線y＝x＋1平行，所以8u＝1. ∴u＝，f(u)＝. 即P(，)． (2)因為切線與直線2x－16y＋1＝0垂直， 所以8u·(－)＝－1， ∴8u·＝－1. ∴u＝－1，f(u)＝4，即P(－1,4)． (3)因為切線傾斜角為135°，所以8u＝tan 135°＝－1， u＝－，f(u)＝， 即P(－，)． 規(guī)律方法　解答此類題目，切點橫坐標(biāo)是關(guān)鍵信息，因為切線斜率與之密切相關(guān)．同時應(yīng)注意解析幾何知識的應(yīng)用，特別是直線平行、垂直、傾斜角與斜率關(guān)系等知識． 跟蹤演練3　在

21、拋物線y＝x2上求一點P，使點P到直線y＝4x－5的距離最?。? 解　設(shè)P點坐標(biāo)為(u，f(u))，在拋物線上另取一點Q(u＋d，f(u＋d))． 直線PQ的斜率 k(u，d)＝ ＝＝2u＋d， 在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0，表達(dá)式趨于2u, 所求過P點處切線斜率為2u，當(dāng)過P點的切線與直線y＝4x－5平行時，P點到直線y＝4x－5的距離最小， 所以2u＝4，u＝2. ∵P點在拋物線y＝x2上，∴f(u)＝4， ∴所求P點坐標(biāo)為(2,4). 1．一物體作勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動到圓周A處時(　　) A．運(yùn)動方向指向圓心O B．運(yùn)動方向所在直線與OA垂直 C．速度與

22、在圓周其他點處相同 D．不確定 答案　B 2．若已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖象上的一點(1,1)及鄰近一點(1＋d,1＋Δy)，則等于(　　) A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案　C 解析?。剑?＋2d. 3．過曲線y＝2x上兩點(0,1)，(1,2)的割線的斜率為________． 答案　1 解析　由平均變化率的幾何意義知，k＝＝1. 4．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x的圖象上一點(－1，－2)及鄰近一點(－1＋d，－2＋Δy)，則＝________. 解析　Δy＝f(－1＋d)－f(－1) ＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d

23、2＋3d. ∴＝＝－d＋3. 答案?。璬＋3 1．求曲線y＝f(x)上一點(x0，y0)處切線斜率的步驟 (1)作差求函數(shù)值增量Δy，即f(x0＋d)－f(x0)． (2)化簡，用x0與d表示化簡結(jié)果． (3)令d→0，求的極限即所求切線的斜率． 2．過某點的曲線的切線方程 要正確區(qū)分曲線“在點(u，v)處的切線方程”和“過點(u，v)的切線方程”．前者以點(u，v)為切點，后者點可能在曲線上，也可能不在曲線上，即使在曲線上，也不一定是切點． 3．曲線的割線與切線的區(qū)別與聯(lián)系 曲線的割線的斜率反映了曲線在這一區(qū)間上上升或下降的變化趨勢，刻畫了曲線在這一區(qū)間升降的程度，而

24、曲線的切線是割線與曲線的一交點向另一交點逼近時的一種極限狀態(tài)，它實現(xiàn)了由割線向切線質(zhì)的飛躍． 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．已知曲線y＝2x2上一點A(1,2)，則A處的切線斜率等于(　　) A．2 B．4 C．6＋6d＋2d2 D．6 答案　B 2．已知曲線y＝x2－2上的一點P(1，－)，則過點P的切線的傾斜角為(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 答案　B 3．如果曲線y＝2x2＋x＋10的一條切線與直線y＝5x＋3平行，則切點坐標(biāo)為 (　　) A．(－1，－8) B．(1,13) C．(1,12)或(－1,8) D．(1

25、,7)或(－1，－1) 答案　B 4．曲線y＝在點P(3,1)處的切線斜率為(　　) A．－ B．0 C. D．1 答案　C 解析　 ＝＝. 當(dāng)Δx→0時，→. 5．若曲線y＝x2＋1在曲線上某點處的斜率為2，則曲線上該切點的坐標(biāo)為________． 答案　(1,2) 6．曲線y＝x2＋2在點P(1,3)處的切線方程為________． 答案　2x－y＋1＝0 解析?。溅＋2， 當(dāng)Δx→0時，Δx＋2→2. 所以曲線y＝x2＋2在點P(1,3)處的切線斜率為2，其方程為y－3＝2(x－1)． 即為2x－y＋1＝0. 7．拋物線y＝x2在點P處的切線與直線

26、2x－y＋4＝0平行，求點P的坐標(biāo)及切線方程． 解　設(shè)點P(x0，y0)， ＝＝d＋2x0， d→0時，d＋2x0→2x0. 拋物線在點P處的切線的斜率為2x0， 由于切線平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1， 即P點坐標(biāo)為(1,1)， 切線方程為y－1＝2(x－1)，即為2x－y－1＝0. 二、能力提升 8．曲線y＝－在點(1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析?。剑?， 當(dāng)Δx→0時，→1. 曲線y＝－在點(1，－1)處的切線的斜率為1，切線方程為y＋1＝1×(x－1)，即

27、y＝x－2. 9．曲線f(x)＝x2＋3x在點A(2,10)處的切線的斜率為________． 答案　7 解析　 ＝＝Δx＋7， 當(dāng)Δx→0時，Δx＋7→7， 所以，f(x)在A處的切線的斜率為7. 10．曲線f(x)＝x2＋3x在點A處的切線的斜率為7，則A點坐標(biāo)為________． 答案　(2,10) 解析　設(shè)A點坐標(biāo)為(x0，x＋3x0)， 則 ＝ ＝Δx＋(2x0＋3)， 當(dāng)Δx→0時，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3， ∴2x0＋3＝7，∴x0＝2. x＋3x0＝10.A點坐標(biāo)為(2,10)． 11．已知拋物線y＝x2＋1，求過點P(0,0)的曲線的切

28、線方程． 解　設(shè)拋物線過點P的切線的切點為Q(x0，x＋1)． 則＝Δx＋2x0. Δx→0時，Δx＋2x0→2x0. ∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1. 即切點為(1,2)或(－1,2)． 所以，過P(0,0)的切線方程為y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0. 三、探究與創(chuàng)新 12．直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切，求切點的坐標(biāo)及a的值． 解　設(shè)切點A(x0，y0)， ＝ ＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)． 故曲線上點A處切線斜率為3x－2x0，∴3x－2x0＝1， ∴x0＝1或x0＝－，

29、代入C的方程得 或代入直線l， 當(dāng)時，a＝0(舍去)，當(dāng)時，a＝， 即切點坐標(biāo)為(－，)，a＝. 4．1.3　導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點上的導(dǎo)數(shù)的方法． 2．理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義． [知識鏈接] 　曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))的切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． 答　函數(shù)f(x)在點x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點處不一定可導(dǎo)，如f(x)＝在x＝0處有切線，但它不可導(dǎo)．即若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)

30、f′(x0)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．若f′(x0)存在，且f′(x0)>0，則切線與x軸正向夾角為銳角；f′(x0)<0，切線與x軸正向夾角為鈍角；f′(x0)＝0，切線與x軸平行． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．函數(shù)在自變量的某個區(qū)間上的平均變化率 函數(shù)f(x)在x＝u處步長為d的差分為f(u＋d)－f(u)，差商為，它表示函數(shù)在自變量的某個區(qū)間上的平均變化率，它反映了自變量在某個范圍內(nèi)變化時，函數(shù)值變化的總體的快慢． 2．導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在包含x0的某個區(qū)間上有定義，如果比值在d趨于0時(d≠0)趨于確定的極限值，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)或微商，記作

31、f′(x0)，上述定義可簡述為→f′(x0)(d→0)． 當(dāng)x0是f(x)的定義區(qū)間中的任意一點，所以也可以就是x，而f′(x)也是x的函數(shù)，叫作f(x)的導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)． 有時也可記作f′(x)＝ . 3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率. 要點一　導(dǎo)數(shù)的概念 例1　設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)可導(dǎo)，則當(dāng)d趨于0時，趨于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　C 解析　原式＝·，當(dāng)d趨于0時，趨于f′(1)． 故原式趨于f′(1)，故選C.

32、 規(guī)律方法　在利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)值時，往往采用湊項的方法湊成定義的形式再解決． 跟蹤演練1　已知f(x)在x∈R時處處可導(dǎo)，若f′(1)＝1，則d→0時，的值為(　　) A. B．2 C．f′(2) D．f′() 答案　B 要點二　求函數(shù)某一點處的導(dǎo)數(shù) 例2　已知f(x)＝，求f′(1)． 解?。剑剑?， 由于d→0時，→－1，故f′(1)＝－1. 規(guī)律方法　差分式化成分子和分母極限都在的情形(但分母極限不能為0)，如果分母極限為0，則從分母中分離出導(dǎo)致分母趨于0的因式，與分子約分消去，便可得出正確結(jié)論． 跟蹤演練2　已知f(x)＝(x>0)，求f′(1)．

33、 解?。剑?，＝， 當(dāng)d→0時，→，故f′(1)＝. 要點三　求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 例3　求函數(shù)f(x)＝的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，并求f′(2)． 解?。剑剑? 當(dāng)d→0時，－趨于－＝－. 即f′(x)＝－.∴f′(2)＝－1. 規(guī)律方法　求某一點x0處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)，可先求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再賦值求解f′(x0)． 跟蹤演練3　求函數(shù)f(x)＝x＋的導(dǎo)函數(shù)f′(x)及f′(1)． 解　 ＝ ＝＝1－， 當(dāng)d→0時，1－→1－， ∴f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－＝0. 要點四　利用導(dǎo)數(shù)求切線方程 例4　已知曲線C：y＝x2， (1)求曲線C在點(1,1)處

34、的切線方程， (2)求過點(1,0)且與曲線C相切的直線的方程． 解　(1)＝＝2x＋d. 當(dāng)d→0時，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2， ∴曲線y＝x2在(1,1)處的切線方程為 y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)點(1,0)不在曲線y＝x2上． 設(shè)過點(1,0)與曲線C相切的直線其切點為(x0，x)， 則切點處的斜率為2x0.切線方程為y－x＝2x0(x－x0) (*) 又因為此切線過點(1,0)． ∴－x＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2， 代入(*)式得過點(1,0)與曲線 C：y＝x2相切的直線方程為y＝0或4x－

35、y－4＝0. 規(guī)律方法　本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的知識，若求某點處的切線方程，此點即為切點，否則除求過二次曲線上的點的切線方程外，不論點是否在曲線上，均需設(shè)出切點． 跟蹤演練4　求曲線f(x)＝在點(－2，－1)處的切線的方程． 解　由于點(－2，－1)恰好在曲線f(x)＝上， 所以曲線在點(－2，－1)處的切線的斜率就等于函數(shù)f(x)＝在點(－2，－1)處的導(dǎo)數(shù)． 而f′(－2)＝ ＝ ＝＝－， 故曲線在點(－2，－1)處的切線方程為y＋1＝－(x＋2)， 整理得x＋2y＋4＝0. 1．f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則 (　　) A．與x0、h都有關(guān)

36、B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān) C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān) D．與x0、h均無關(guān) 答案　B 2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列選項正確的是(　　) A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0 C．f′(x0)＝2x0 D．f′(x0)＝d＋2x0 答案　C 3．已知函數(shù)y＝f(x)圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)

37、化率為________，在點P(1,2)處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝________. 答案　3＋d　3 1．求導(dǎo)數(shù)的步驟主要有三步： (1)求函數(shù)值的增量：Δy＝f(x0＋d)－f(x0)； (2)求平均變化率：＝； (3)取極限：f′(x0)＝ . 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)對于函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是表示在x0處函數(shù)值變化快慢的一個量，其幾何意義為在x＝x0處的切線的斜率． (2)f′(x)是指隨x變化，過曲線上的點(x，f(x))的切線斜率與自變量x之間的函數(shù). 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線(　　)

38、 A．不存在 B．與x軸平行或重合 C．與x軸垂直 D．與x軸斜交 答案　B 2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA)． 3．已知曲線y＝2x2上一點A(2,8)，則在點A處的切線斜率為(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 解析　在點A處的切線的斜率即為曲線y＝2x2在x＝2時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)定義

39、可求y′＝4x，∴f′(2)＝8. 答案　C 4．已知函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為3，則f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 答案　A 解析　分別求四個選項的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1. 5．拋物線y＝x2＋x＋2上點(1,4)處的切線的斜率是________，該切線方程為____________． 答案　3　3x－y＋1＝0 解析　Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋

40、1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝li ＝ (3＋d)＝3. ∴切線的方程為y－4＝3(x－1)， 即3x－y＋1＝0. 6．若曲線y＝x2－1的一條切線平行于直線y＝4x－3，則這條切線方程為____________． 答案　4x－y－5＝0 解析　∵f′(x)＝＝ ＝＝ (2x＋d)＝2x. 設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則由題意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲線方程得y0＝3，故該切線過點(2,3)且斜率為4.所以這條切線方程為y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0. 7．求曲線y＝x3在點(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．

41、 解　∵f′(3)＝ ＝ ＝ (d2＋9d＋27)＝27， ∴曲線在點(3,27)處的切線方程為y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0. 此切線與x軸、y軸的交點分別為(2,0)，(0，－54)． ∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝×2×54＝54. 二、能力提升 8．曲線y＝－x3＋3x2在點(1,2)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 答案　A 解析　 ＝－Δx2＋3. Δx→0時，－Δx2＋3→3. ∴f′(1)＝3.即曲線在(1,2)處的切線斜率為3. 所以切線方程為y－

42、2＝3(x－1)，即y＝3x－1. 9．函數(shù)y＝f(x)圖象在M(1，f(1))處的切線方程為y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 答案　3 解析　由已知切點在切線上． ∴f(1)＝×1＋2＝. 切線的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3. 10．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程為x－y＋1＝0，則a，b的值分別為________，________. 答案　1　1 解析　∵點(0，b)在切線x－y＋1＝0上， ∴－b＋1＝0，b＝1. 又＝＝a＋Δx， ∴f′(0)＝a＝1. 11．已知曲線y＝x3＋1，求過點P(1,2)的曲

43、線的切線方程． 解　設(shè)切點為A(x0，y0)，則y0＝x＋1. ＝＝ Δx2＋3x0Δx＋3x. ∴f′(x0)＝3x，切線的斜率為k＝3x. 點(1,2)在切線上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－. 當(dāng)x0＝1時，切線方程為3x－y－1＝0， 當(dāng)x0＝－時，切線方程為3x－4y＋5＝0. 所以，所求切線方程為3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0. 12．求拋物線y＝x2的過點P(，6)的切線方程． 解　由已知得，＝2x＋d， ∴當(dāng)d→0時，2x＋d→2x， 即y′＝2x， 設(shè)此切線過拋物線上的點(x0，x)， 又因為此切線過點(，6)和點(

44、x0，x)， 其斜率應(yīng)滿足＝2x0， 由此x0應(yīng)滿足x－5x0＋6＝0. 解得x0＝2或3. 即切線過拋物線y＝x2上的點(2,4)，(3,9)． 所以切線方程分別為y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化簡得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0， 此即是所求的切線方程． 三、探究與創(chuàng)新 13．求垂直于直線2x－6y＋1＝0并且與曲線y＝x3＋3x2－5相切的直線方程． 解　設(shè)切點為P(a，b)，函數(shù)y＝x3＋3x2－5的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2＋6x.故切線的斜率 k＝y(tǒng)′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即 P(－1，－

45、3)．故所求直線方程為y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0. 4．2　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 4．2.1　幾個冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4．2.2　一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解各個公式的證明過程，進(jìn)一步理解運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)的方法． 2．掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式． 3．靈活運(yùn)用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． [知識鏈接] 　在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)？ 答　(1)計算，并化簡； (2)觀察當(dāng)Δx趨近于0時，趨近于哪個定值；

46、 (3)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 　常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： (1)(c)′＝0(c為常數(shù)函數(shù))； (2)(xα)′＝αxα－1(α≠0)； (3)(ex)′＝ex； (4)(ax)′＝ax(ln_a)(a>0，a≠1)； (5)(ln x)′＝(x>0)； (6)(logax)′＝(a>0，a≠1，x>0)； (7)(sin x)′＝cos_x； (8)(cos x)′＝－sin x； (9)(tan x)′＝； (10)(cot x)′＝－. 要點一 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2 011；(2)

47、y＝；(3)y＝. 解　(1)y′＝(x2 011)′＝2 011x2 011－1＝2 011x2 010. (2)y′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4＝－. (3)y′＝＝. 規(guī)律方法　對于簡單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)的關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，如y＝可以寫成y＝x－4，y＝＝等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤． 跟蹤演練1　求曲線y＝在點P(27，)處的切線斜率． 解　∵y＝＝，∴， ∴y′|x＝27＝－×＝－×＝－， 故所求切線的斜率k＝－. 要點二　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例2　求下

48、列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x. 解　(1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； (4)y′＝′＝＝； (5)y′＝(log3x)′＝. 規(guī)律方法　求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法： (1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜； (2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度．解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式． 跟蹤演練2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4) . 解　(1)y′＝8x7

49、； (2)y′＝xln ＝－xln 2； (3)∵y＝x＝，∴y′＝； (4) y′＝＝－. 要點三　利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程 例3　(1)求過曲線y＝sin x上點P且與過這點的切線垂直的直線方程． 解　∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲線在點P處的切線斜率是： ＝cos＝. ∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為－， 故所求的直線方程為y－＝－， 即2x＋y－－＝0. 規(guī)律方法　導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵． 跟蹤演練3　已知點P(－1,1)，點Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲

50、線y＝x2的切線方程．解　∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點為M(x0，y0)，則 y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ的斜率為k＝＝1，而切線平行于PQ， ∴k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切點為M. ∴所求的切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 1．已知f(x)＝x2，則f′(3)＝(　　) A．0 B．2x C．6 D．9 答案　C 解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函數(shù)f(x)＝，則f′(3)等于(　　) A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝. 3．設(shè)正弦曲線

51、y＝sin x上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈∪. 4．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________． 答案　e2 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時，y＝－e2，當(dāng)y＝0時，x＝1. ∴S△＝×1×＝e2. 1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的

52、求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸． 2．有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)． 如求y＝1－2sin2的導(dǎo)數(shù)．因為y＝1－2sin2＝cos x， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化． 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為(　　) ①y＝ln 2，則y′＝；②y＝，則y′|x＝3＝－；③y＝2x，則y′＝2xln 2； ④y＝log2x，則y′＝. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析?、賧＝ln 2為常數(shù)，所以y

53、′＝0.①錯．②③④正確． 2．過曲線y＝上一點P的切線的斜率為－4，則點P的坐標(biāo)為(　　) A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故選B. 3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，設(shè)切點為(x0，y0)，則3x＝1，得x0＝±，即在點和

54、點處有斜率為1的切線． 5．曲線y＝在點M(3,3)處的切線方程是________． 答案　x＋y－6＝0 解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1， ∴過點(3,3)的斜率為－1的切線方程為： y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0. 6．若曲線在點處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________. 答案　64 解析　 ∴曲線在點處的切線斜率， ∴切線方程為． 令x＝0得；令y＝0得x＝3a. ∵該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝·3a·＝18，∴a＝64. 7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ； (

55、4)y＝log2x2－log2x. 解　(1)y′＝′＝＝. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝. 二、能力提升 8．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實數(shù)k的值為(　　) A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，設(shè)切點為(x0，y0)，則 ∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲線y＝ln x在x＝a處

56、的切線傾斜角為，則a＝______. 答案　1 解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1. 10．點P是曲線y＝ex上任意一點，則點P到直線y＝x的最小距離為________． 答案　 解析　根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(x0，y0)，該切點即為與y＝x距離最近的點，如圖．則在點(x0，y0)處的切線斜率為1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的距離公式得距離為. 11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求適合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．

57、 解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z. 12．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最短距離． 解　根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對應(yīng)的切點到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x)，則y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以x0＝，所以切點坐標(biāo)為， 切點到直線x－y－2＝0的距離 d＝＝，

58、 所以拋物線上的點到直線x－y－2＝0的最短距離為. 三、探究與創(chuàng)新 13．設(shè)f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，試求f2 014(x)． 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期為4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.

59、4．2.3　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則． 2．理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 3．了解復(fù)合函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 4．能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(僅限于形如f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù))． [知識鏈接] 　前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？ 答　利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

60、法則 (1)(cf(x))′＝cf′(x)； (2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)； (3)(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)； (4)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (5)()′＝－(f(x)≠0)； (6)()′＝(f(x)≠0)． 2．一般地，若y＝f(u)，u＝g(x)，則y′x＝fu′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的積. 要點一　利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x

61、－lg x. 解　(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (3)函數(shù)y＝3x－lg x是函數(shù)f(x)＝3x與函數(shù)g(x)＝lg x的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－. 規(guī)律方法　本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問題，求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)

62、數(shù)． 跟蹤演練1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－. 解　(1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝＋ex·ln x； (4)y′＝＋. 要點二　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝sin4＋cos4； 解　(1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝. (2)∵y＝sin4＋cos4 ＝2－2sin2cos

63、2 ＝1－sin2＝1－·＝＋cos x， ∴y′＝－sin x. 規(guī)律方法　應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個方面： (1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)． (2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)． (3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)． (4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體． (5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后，就不必再寫中間步驟． 跟蹤演練2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝e2x＋1； (2)y＝(－2)2. 解　(1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝

64、2eu＝2e2x＋1. (2)法一　∵y＝(－2)2＝x－4＋4， ∴y′＝x′－(4)′＋4′ ＝1－4×＝1－. 法二　令u＝－2， 則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝2(－2)·(－2)′＝ 2(－2)＝1－. 要點三　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 例3　求過點(1，－1)與曲線f(x)＝x3－2x相切的直線方程． 解　設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線斜率為 k＝f′(x0)＝3x－2 故切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)① ∵(x0，y0)在曲線上，∴y0＝x－2x0② 又∵(1，－1)在切線上， ∴將②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x－2x0) ＝(3x－2)(

65、1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－. 故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)． 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 規(guī)律方法　(1，－1)雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點的切線不一定只有一條，即該點有可能是切點，也可能是切線與曲線的交點，解題時注意不要失解． 跟蹤演練3　已知某運(yùn)動著的物體的運(yùn)動方程為s(t)＝＋2t2(位移單位：m，時間單位：s)，求t＝3 s時物體的瞬時速度． 解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2， ∴s′(t)＝－＋2·＋4t， ∴s′(3)＝－＋＋12＝， 即物體在t＝3 s時的瞬時速度為 m/s. 1．下列結(jié)論不正確

66、的是(　　) A．若y＝3，則y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，則y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，則y′＝cos x＋sin x 答案　D 解析　利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解．D項，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　y′＝′＝ ＝. 3．曲線y＝在點(－1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案　A 解析　∵y′＝＝， ∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝＝2， ∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 4．直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝________. 答案　ln 2－1 解析　設(shè)切點為(x0，y0)， ∵ y′＝，∴＝， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要