7、關(guān)系或角的關(guān)系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.
判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識(shí)求解.
[跟蹤訓(xùn)練]
2．在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432091】
[解] 由已知＝＝＝，
得＝.
可有以下兩種解法．
法一：(利用正弦定理，將邊化角)
由正弦定理得＝，∴＝，
即sin Ccos C＝sin Bcos B，
8、
即sin 2C＝sin 2B.
∵B，C均為△ABC的內(nèi)角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.
即B＝C或B＋C＝90°.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，將角化邊)
∵＝，
∴由余弦定理得＝，
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.
∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，
即b＝c或a2＝b2＋c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
9、
正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
如圖1-2所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路a經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A、B、C.景區(qū)管委會(huì)開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上8 km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km.
圖1-2
(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；
(2)求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．(結(jié)果精確到0.1 km)
(參考數(shù)據(jù)：＝1.73，sin 75°＝0.97，cos 75°＝0.26，tan 75°＝3.73，sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60
10、，tan 53°＝1.33，sin 38°＝0.62，cos 38°＝0.79，tan 38°＝0.78)
思路探究：(1)以BD為邊的三角形為△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外兩邊易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.
(2)以CD為邊的兩個(gè)三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關(guān)系易得，考慮應(yīng)用正弦定理求解．
[解] (1)設(shè)BD＝x km，則在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos 30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.因?yàn)?＋3>8，應(yīng)舍去，所以x＝4－3≈3.9，即這條公路的長約為3.9 km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，
11、所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離約為3.9 km.
[規(guī)律方法] 正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測(cè)量距離問題，測(cè)量高度問題，測(cè)量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，用哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答，解題時(shí)還要注
12、意近似計(jì)算的要求.
[跟蹤訓(xùn)練]
3．如圖1-3，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B，C分別在A的正東方20 km和54 km處．某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8 s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A,20 s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)，在當(dāng)時(shí)氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.
圖1-3
(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km).
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432092】
[解] (1)由題意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
13、
PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．
所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km.
與三角形有關(guān)的綜合問題
[探究問題]
1．如圖1-4所示，向量與的夾角是∠B嗎？在△ABC中，兩向量·的數(shù)量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系？
圖1-4
提示：向量與的夾角是∠B的補(bǔ)
14、角，大小為180°－∠B，
由于·＝||·||cos A＝bccos A.
所以·＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有時(shí)直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題．
2．在解三角形的過程中，求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？
提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)直接判斷是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜．用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角，避免討論．
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
15、
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432093】
思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于a，c的方程組即可求解．
(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解] (1)由·＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因?yàn)閍＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因?yàn)閍＝b＞c，
16、所以C為銳角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“a>c，·＝2，cos B＝，b＝3”變?yōu)椤耙阎猄△ABC＝30且cos A＝”求·的值．
[解] 在△ABC中，cos A＝，
∴A為銳角且sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc·＝30.
∴bc＝156.
∴·＝||·||cos A
＝bccos A＝156×＝144.
2．(變條件，變結(jié)論)在“母題探究1”中再加上條件“c－b＝1”能否求a的值？
[解] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.
[規(guī)律方法] 正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題.
(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解.
(2)解三角形與其他知識(shí)的交匯問題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.
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2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5
