《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系.3.熟練掌握一元二次不等式的兩種解法.4.能從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式，并通過(guò)解一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)重點(diǎn)：1.一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關(guān)系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)難點(diǎn)：1.一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關(guān)系.2.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次不等式模型. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　　　一元二次不等式的概

2、念 一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0)的不等式都是一元二次不等式． 知識(shí)點(diǎn)二　　　二次函數(shù)的零點(diǎn) 一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)． 知識(shí)點(diǎn)三　　　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集． 知識(shí)點(diǎn)四　　　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)五　　　利用不等式解決實(shí)際問(wèn)

3、題的一般步驟 (1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)； (2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)； (3)求解所列出的不等式(組)； (4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案． 【新知拓展】 1．解一元二次不等式的方法與步驟 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟： (ⅰ)化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象簡(jiǎn)圖； (ⅲ)由圖象得出不等式的

4、解集． ②代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方法求解． 當(dāng)m0，則可得x>n或x0，a<0，a＝0. ②關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無(wú)根(Δ<0)． ③關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x

5、1

6、作出問(wèn)題結(jié)論：根據(jù)(3)中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問(wèn)題的結(jié)論． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)一元二次方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．(　　) (3)設(shè)二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩解為x1，x2(x10的解集不可能為{x|x1

7、＋3>0的解集為_(kāi)_______． (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集為_(kāi)_______． (3)當(dāng)a>0時(shí)，若ax2＋bx＋c>0的解集為R，則Δ應(yīng)滿(mǎn)足的條件為_(kāi)_______． (4)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|1

8、的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－≥0； (5)－x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)因?yàn)棣ぃ?2－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝－3，x2＝－，又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為. (2)因?yàn)棣ぃ?2－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝4－，x2＝4＋，又二次函數(shù)y＝－x2＋8x－3的圖象開(kāi)口向下，所以原不等式的解集為{x|4－

9、原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}． (4)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為. (5)原不等式可化為x2－6x＋10<0，因?yàn)棣ぃ?2－40＝－4<0，所以原不等式的解集為?. (6)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因?yàn)棣ぃ?－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集為R. 金版點(diǎn)睛 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 (1)通過(guò)對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正． (2)對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式． (3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根． (4

10、)根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖． (5)根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集． 　求下列不等式的解集： (1)x2－3x＋1≤0；(2)3x2＋5x－2>0； (3)－9x2＋6x－1<0；(4)x2－4x＋5>0； (5)2x2＋x＋1<0. 解　(1)因?yàn)棣ぃ?－4＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1＝，x2＝，所以原不等式的解集為≤x≤. (2)原不等式可化為(3x－1)(x＋2)>0，所以原不等式的解集為. (3)原不等式可化為(3x－1)2>0，所以原不等式的解集為. (4)因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集為R.

11、 (5)因?yàn)棣ぃ?2－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集為?. 題型二 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2　解關(guān)于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　(1)Δ＝a2－16，下面分情況討論： ①當(dāng)Δ<0，即－44或a<－4時(shí)，原不等式的解集為x<(－a－)或x>(－a＋)

12、； 當(dāng)a＝4時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠－1}． (2)若a＝0，原不等式為－x＋1<0，解得x>1； 若a<0，原不等式可化為(x－1)>0，解得x<或x>1； 若a>0，原不等式可化為(x－1)<0，(*) 其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故 ①當(dāng)a＝1時(shí)，由(*)式可得x∈?； ②當(dāng)a>1時(shí)，由(*)式可得1}；當(dāng)01時(shí)，解集為. 金版點(diǎn)睛 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 (1)討論二次

13、項(xiàng)系數(shù)：二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式． (2)判斷方程根的個(gè)數(shù)：討論判別式Δ與0的關(guān)系． (3)寫(xiě)出解集：確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集；確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式． 　解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解　原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的兩根為x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①當(dāng)a<0或a>1時(shí)，a2>a. 解原不等式得x>a2或xa或x

14、2. ③當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式為x2>0，∴x≠0. ④當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式為(x－1)2>0，∴x≠1. 綜上可知： 當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|xa2}； 當(dāng)0a}； 當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠0}； 當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠1}. 題型三 “三個(gè)二次”之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 例3　若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－30的解集為{x|－3

15、x＋c＝0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 即所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0， 即為－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0， 故所求的不等式的解集為{x|－34}，其他條件不變，則不等式的解集又如何？ 解　因?yàn)閍x2＋bx＋c>0的解集為{x|x<－3或x>4}，所以a>0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 即 所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即為－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15>0，解得x<－3或x>

16、5， 故所求不等式的解集為{x|x<－3或x>5}． 金版點(diǎn)睛 三個(gè)“二次”之間的關(guān)系 (1)三個(gè)“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來(lái)研究． (2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過(guò)一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，關(guān)系如下： 　(1)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，則ax2－bx＋c>0的解集為_(kāi)_______； (2)已知方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－和2，則不等式ax2＋bx－1>0的解集為_(kāi)_______． 答案　(1)　(2) 解析　

17、(1)由題意－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a<0，故 解得a＝c，b＝c， 所以不等式ax2－bx＋c>0即為2x2－5x＋2<0，解得0可變?yōu)椋?x2＋3x－1>0， 即2x2－3x＋1<0，解得

18、輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速至少為多少？(精確到0.01 km/h，≈168.88) [解]　設(shè)這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速為x km/h， 根據(jù)題意，得x＋x2＞39.5. 移項(xiàng)整理，得x2＋9x－7110＞0. 顯然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 即x1≈－88.94，x2≈79.94. 然后，根據(jù)二次函數(shù)y＝x2＋9x－7110的圖象， 得不等式的解集為{x|x＜－88.94或x＞79.94}． 在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，x＞0，所以這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速至少為79.94 km/h. 金版點(diǎn)睛 一元二次不等式的應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時(shí)要審清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，再

19、利用一元二次不等式求解，確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”. 　汽車(chē)在行駛中，由于慣性作用，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”．剎車(chē)距離是分析事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速40 km/h以?xún)?nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)12 m，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10 m，又知甲、乙兩種車(chē)型的剎車(chē)距離s(m)與車(chē)速x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問(wèn)：超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰(shuí)？ 解　由題意知，對(duì)于甲車(chē)，有0.1x＋0.01x2>1

20、2，即x2＋10x－1200>0， 解得x>30或x<－40(不符合實(shí)際意義，舍去)， 這表明甲車(chē)的車(chē)速超過(guò)30 km/h.但根據(jù)題意剎車(chē)距離略超過(guò)12 m，由此估計(jì)甲車(chē)車(chē)速不會(huì)超過(guò)限速40 km/h. 對(duì)于乙車(chē)，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0， 解得x>40或x<－50(不符合實(shí)際意義，舍去)， 這表明乙車(chē)的車(chē)速超過(guò)40 km/h，即超過(guò)規(guī)定限速， 所以乙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任. 題型五 利用一元二次不等式解決利潤(rùn)問(wèn)題 例5　某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)

21、劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6x.設(shè)年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷(xiāo)售量． (1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式； (2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ [解]　(1)依題意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)． ∴所求關(guān)系式為y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(0＜x＜1)． (2)依題意，得

22、 1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000. 化簡(jiǎn)，得3x2－x＜0.解得0＜x＜. ∴投入成本增加的比例x的范圍是0

23、只能賺得5000元．為了使賺得的利潤(rùn)不少于8000元，只能漲價(jià)，但要適度，否則銷(xiāo)售量就少得太多．設(shè)該商品漲價(jià)x元，則該商品銷(xiāo)售時(shí)的單價(jià)是(50＋x)元，每個(gè)商品的利潤(rùn)是[(50＋x)－40]元，銷(xiāo)售量是(500－10x)個(gè)．由題意可列不等式為[(50＋x)－40](500－10x)≥8000. 整理，得x2－40x＋300≤0. 解這個(gè)一元二次不等式，得10≤x≤30. 故該商品銷(xiāo)售時(shí)的單價(jià)應(yīng)定在大于等于60小于等于80之間． 因?yàn)殇N(xiāo)售量和該商品漲價(jià)x元之間是一次函數(shù)關(guān)系，且 當(dāng)該商品銷(xiāo)售時(shí)的單價(jià)為60元時(shí)，其銷(xiāo)售量是500－10×10＝400(個(gè))； 當(dāng)該商品銷(xiāo)售時(shí)的單價(jià)為80元

24、時(shí)，其銷(xiāo)售量是500－10×30＝200(個(gè))． 故這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨的范圍為大于等于200小于等于400. 1．在下列不等式中，解集是?的是(　　) A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4≤0 C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0 答案　D 解析　A的解集為R；B的解集是{x|x＝－2}；C的解集為{x|x>－2＋2或x<－2－2}，用排除法應(yīng)選D. 2．在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿(mǎn)足x⊙(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(　　) A．01 D．－1

25、(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0， ∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0， 解得－22，則關(guān)于x的不等式(x－t)<0的解集為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵t>2，∴t>， ∴(x－t)<0，解得

26、．(60＋2x)(40＋x)＞2816 D．(60＋x)(40＋2x)＜2816 答案　A 解析　“不大于”就是“≤”，所以根據(jù)題意可列出不等式為(60＋2x)(40＋2x)≤2816. 5．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷(xiāo)售量x件與單價(jià)p元/件之間的關(guān)系為p＝160－2x，生產(chǎn)x件這種風(fēng)衣所需成本為c＝500＋30x元，假設(shè)所生產(chǎn)的這種風(fēng)衣能夠全部售出，問(wèn)：該廠日產(chǎn)量多大時(shí)，可使該廠日獲利不少于1300元？ 解　設(shè)該廠日產(chǎn)量為x件時(shí)，日獲利為y元， 則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500， 由題意可得－2x2＋130x－500≥1300. 解得20≤x≤45. ∴當(dāng)該廠日產(chǎn)量x滿(mǎn)足20≤x≤45時(shí)，可使該廠日獲利不少于1300元． - 11 -