《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-2（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2章 推理與證明 歸納推理 1.歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題(猜想)． 2．在應(yīng)用歸納推理時，首先要觀察部分對象的整體特征，然后分析所觀察對象中哪些元素是不變的，哪些元素是變化的，并將變化的量的變化規(guī)律表達出來． 【例1】　如圖，一個樹形圖依據(jù)下列規(guī)律不斷生長：1個空心圓點到下一行僅生長出1個實心圓點，1個實心圓點到下一行生長出1個實心圓點和1個空心圓點．則第11行的實心圓點的個數(shù)是________． [思路探究]　列出每行實心圓點的個數(shù)，從中歸納出變化規(guī)律，然后運用此規(guī)律求第

2、11行實心圓點的個數(shù)． [解]　前6行中實心圓點的個數(shù)依次為：0,1,1,2,3,5，據(jù)此猜想這個數(shù)列的規(guī)律為：從第3項起，每一項都等于它前面兩項的和，故續(xù)寫這個數(shù)列到第11行如下：8,13,21,34,55，所以第11行的實心圓點的個數(shù)是55. [答案]　55 1．記Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk， 當k＝1,2,3，…時，觀察下列等式： S1＝n2＋n， S2＝n3＋n2＋n， S3＝n4＋n3＋n2， S4＝n5＋n4＋n3－n， S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，… 可以推測，A－B＝________. [解析]　由S1，S2，S3，S4各項系數(shù)知， A＝

3、，A＋＋＋B＝1， 于是B＝－， 所以A－B＝＋＝. [答案]　 類比推理 1.類比推理的基本原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇適當?shù)念惐葘ο?，可以從幾何元素的?shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論． 2．平面圖形與空間圖形類比． 平面圖形 空間圖形 點 線 線 面 邊長 面積 面積 體積 線線角 二面角 三角形 四面體 【例2】　已知圖①有面積關(guān)系：＝. (1)試用類比的思想寫出由圖②所得的體積關(guān)系＝______________________. (2)證明你的結(jié)論是正確的． [思路探究]　由面積關(guān)系

4、，類比推測＝，然后由體積公式證明． [解]　(1)＝. (2)過A作AO⊥平面PBC于O，連接PO(圖略)，則A′在平面PBC內(nèi)的射影O′落在PO上， 從而＝ ＝ ＝， ∵＝， ∴＝. 2．在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，則＝＋.在四面體A-BCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H，則類似的結(jié)論是什么？并說明理由． [解]　類似的結(jié)論是：如圖，在四面體A-BCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H，則 ＝＋＋. 證明如下： 連接BH并延長交CD于E，連接AE.∵AB，AC，AD兩兩垂直， ∴AB⊥平面A

5、CD.又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE. 在Rt△ABE中，有＝＋. ① 又易證CD⊥AE， 在Rt△ACD中，＝＋. ② 將②代入①得＝＋＋. 演繹推理 演繹推理是由一般到特殊的推理，一般模式為三段論． 演繹推理只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得的結(jié)論就一定正確． 【例3】　已知平面α∥平面β，直線l⊥α，l∩α＝A，如圖所示，求證：l⊥β. [思路探究]　分別確定大前提、小前提，利用演繹推理的方法證明． [解]　在平面β內(nèi)任取一條直線b，平面γ是經(jīng)過點A與直線b的平面．設(shè)γ∩α＝a. ①如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行，(大前提

6、) α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，(小前提) 所以a∥b.(結(jié)論) ②如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，(大前提) 且l⊥α，a?α，(小前提) 所以l⊥a.(結(jié)論) ③如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它也與另一條垂直，(大前提) a∥b，且l⊥a，(小前提) 所以l⊥b.(結(jié)論) ④如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直，(大前提) 因為l⊥b，且直線b是平面β內(nèi)的任意一條直線，(小前提) 所以l⊥β.(結(jié)論) 3．如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD的中點．

7、 求證：MN∥平面BCD(寫出大前提，小前提，結(jié)論) [證明]?、偃切沃形痪€平行于底邊，(大前提) ∵M，N分別為AB與AD的中點， ∴MN為△ABD的中位線．(小前提) ∴MN∥BD.(結(jié)論) ②平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線與這個平面平行，(大前提) ∵MN平面BCD，BD?平面BCD，MN∥BD，(小前提) ∴MN∥平面BCD.(結(jié)論) 直接證明 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式．如果從解題的切入點的角度細分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題

8、時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應(yīng)當把分析法和綜合法結(jié)合起來使用． 【例4】　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．求證：f為偶函數(shù)． [思路探究]　解答本題可先分析f為偶函數(shù)的條件，再利用已知推出滿足的條件或?qū)ふ医Y(jié)論成立的條件． [解]　要證f為偶函數(shù)， 只需證f的對稱軸為x＝0， 只需證－－＝0， 只需證a＝－b. 因為函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱， 即x＝－－1與x＝－關(guān)于y軸對稱， 即－－1－＝0， 整理得－＝1， 即a＝－b成立， 故原命題得證

9、． 4．當a≥2時，求證：－<－. [證明]　要證－<－， 只需證＋<＋， 只需證(＋)2<(＋)2， 只需證a＋1＋a－2＋2

10、]　直接證明直線與平面相交比較困難，故考慮用反證法． [解]　不妨設(shè)直線a與平面α相交，b與a平行，從而證b也與平面α相交．假設(shè)直線b不與平面α相交，則b?α或b∥平面α. ①若b?α，由a∥b，aα，得a∥α，這與“a與平面α相交”矛盾． ②若b∥α，則平面α內(nèi)有直線b′，使b′∥b.而a∥b，故a∥b′， 因為aα，所以a∥α，這與“a與平面α相交”矛盾． 綜上所述，假設(shè)不成立，則直線b與平面α只能相交． 5．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． [證明]　假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)， 因為a＋b＝c＋

11、d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1， 這與已知ac＋bd>1矛盾， 所以a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 1．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 [解析]　由甲說：“我還是不知道我的成績”可推

12、知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績． [答案]　D 2．(2019·全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是≈0.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，

13、則其身高可能是(　　) A．165 cm　　B．175 cm　　C．185 cm　　D．190 cm 解析：頭頂至脖子下端的長度為26 cm，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26 cm， 由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚臍的長度小于≈42 cm， 由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是， 可得肚臍至足底的長度小于≈110， 即有該人的身高小于110＋68＝178 cm， 又肚臍至足底的長度大于105 cm， 可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.618≈65 cm， 即該人的身高大于65＋105＝170 cm. 答案：B 3．有三張卡片，

14、分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． [解析]　根據(jù)丙的說法及乙看了丙的卡片后的說法進行推理．由丙說“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，可推知丙的卡片上的數(shù)字是1和2或1和3.又根據(jù)乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的數(shù)字為2和3.再根據(jù)甲的說法“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”可知，甲的卡片上的數(shù)字是1和3. [答案]　1和3

15、 4．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2 014(x)的表達式為________． [解析]　f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，由數(shù)學(xué)歸納法得f2 014(x)＝. [答案]　f2 014(x)＝ 5．觀察下列等式： ＋＝×1×2； ＋＋＋＝×2×3； ＋＋＋…＋＝×3×4； ＋＋＋…＋＝×4×5； …… 照此規(guī)律， ＋＋＋…＋＝________. [解析]　通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數(shù)，后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半，后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為×n×(n＋1)，即n(n＋1)． [答案]　n(n＋1) - 9 -