《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學案 文（含解析）北師大版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線方程 [考綱傳真]　1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行時，它的傾斜角為0°. (2)傾斜角的范圍為0°≤α＜180°. 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α≠90°，

2、則斜率k＝tan α，當α＝90°時，直線斜率不存在． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內(nèi)所有直線都適用 牢記傾斜角α與斜率k的關(guān)系 (1)當α∈且由0增大到時，k的值由0增大到＋∞.

3、 (2)當α∈時，k也是關(guān)于α的單調(diào)函數(shù)，當α在此區(qū)間內(nèi)由增大到π(α≠π)時，k的值由－∞趨近于0(k≠0)． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置． (　　) (2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率． (　　) (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大． (　　) (4)過定點P0(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． (　　) (5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2

4、－y1)表示． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(教材改編)若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A．1　　　　B．4　　　　C．1或3　　　　D．1或4 A　[由題意得＝1，解得m＝1.] 3．直線x－y＋a＝0的傾斜角為(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° B　[設(shè)直線的傾斜角為α，則tan α＝，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.] 4．(教材改編)經(jīng)過點M(1,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y＝1 C．x＝1或y

5、＝1 D．x＋y＝2或x＝y(tǒng) D　[若直線過原點，則直線為y＝x，符合題意，若直線不過原點，設(shè)直線為＋＝1，代入點(1,1)，解得m＝2，直線方程整理得x＋y－2＝0，故選D．] 5．如果A·C<0且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．] 直線的傾斜角和斜率 1．(2019·石家莊模擬)直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A.　　　　 B. C．∪

6、 D．∪ B　[由直線方程可得該直線的斜率為－，又－1≤－＜0，所以傾斜角的取值范圍是.] 2．若點A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點共線，則a的值為______． 4　[因為kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三點共線，所以a－3＝1，即a＝4.] 3．直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為__________． (－∞，－]∪[1，＋∞)　[如圖， ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．] [規(guī)律方法]　直線傾斜角的范圍是[0，π)，根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，

7、要分與兩種情況討論． 易錯警示：由直線的斜率k求傾斜角α的范圍時，要對應(yīng)正切函數(shù)的圖像來確定，要注意圖像的不連續(xù)性． 直線的方程 【例1】　根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12. [解]　(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式． 設(shè)傾斜角為α，則sin α＝(0≤α＜π)， 從而cos α＝±，則k＝tan α＝±. 故所求直線方程為y＝±(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設(shè)知橫截距與縱截距都不為0，設(shè)直線方程為＋＝1，又直

8、線過點(－3,4)，從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. [規(guī)律方法]　在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況． 一條直線經(jīng)過點A(－2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________． x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[設(shè)所求直線的方程為＋＝1. ∵A(－2,2)在直線上，∴－＋＝1. ① 又因直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，∴|a|·|b|＝1. ② 由①②可得(1)

9、或(2) 由(1)解得或方程組(2)無解． 故所求的直線方程為＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．] 直線方程的綜合應(yīng)用 【例2】　過點P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點． (1)當△AOB面積最小時，求直線l的方程； (2)當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程． [解]　設(shè)直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 因為直線l經(jīng)過點P(4,1)，所以＋＝1. (1)＋＝1≥2＝， 所以ab≥16，當且僅當a＝8，b＝2時等號成立， 所以當a＝8，b＝2時，△AOB的面積最小， 此時直線l

10、的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0. (2)因為＋＝1，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當a＝6，b＝3時等號成立， 所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0. [規(guī)律方法]　與直線方程有關(guān)的最值問題的解題思路 (1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y； (2)將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)； (3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值． 已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，求實數(shù)a的值． [解]　由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2， 所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2) ＝a2－a＋4＝＋， 當a＝時，四邊形的面積最小， 故實數(shù)a的值為. - 6 -