《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案 理 北師大版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四節(jié)　數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義． (對應(yīng)學(xué)生用書第77頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛

2、?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b) 平面向量＝(a，b)． 3．復(fù)數(shù)的運算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c

3、＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　　) (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小．(　　) (4)在復(fù)平面內(nèi)，原點是實軸與虛軸的交點．(　　) (5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．(　　) [

4、答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2. (教材改編)如圖4-4-1，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是(　　) 圖4-4-1 A．A　　　　　　 B．B C．C D．D B　[共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱．] 3．(2017·全國卷Ⅲ)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復(fù)數(shù)z＝－1－2i所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點為Z(－1，－2)，位于第三象限． 故選C．] 4．(2017·全國卷Ⅱ)＝(　　) A．1＋2i

5、 B．1－2i C．2＋i D．2－i D　[＝＝＝2－i. 故選D．] 5．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(2＋ai)i的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)a的值為________． 2　[因為(2＋ai)i＝－a＋2i，又其實部與虛部互為相反數(shù)，所以－a＋2＝0，即a＝2.] (對應(yīng)學(xué)生用書第77頁) 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 　(1)(2018·合肥一檢)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝的虛部是(　　) A．　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 (2)(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個命題： p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：

6、若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 (1)B　(2)B　[(1)復(fù)數(shù)z＝＝＝－i，則z的虛部為－，故選B． (2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題． 對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0. 當(dāng)a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題． 對于

7、p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題． 對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B．] [規(guī)律方法]　與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的求解方法 (1)復(fù)數(shù)的概念問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. (2)解決復(fù)數(shù)模的問題可以根據(jù)模的性

8、質(zhì)把積、商的模轉(zhuǎn)化為模的積、商. 易錯警示：解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2016·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i (2)(2018·長沙模擬(二))已知a是實數(shù)，是純虛數(shù)，則a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 (1)C　(2)A　[(1)因為z＝1＋2i，則＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則＝＝i.故選C． (2)復(fù)數(shù)＝＝－i是純虛數(shù)，則＝0且－≠0，解得a＝，故選A．] 復(fù)數(shù)的幾何意義 　(1)(2018·石家莊質(zhì)檢(

9、二))在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140161】 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2016·全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) (1)D　(2)A　[(1)復(fù)數(shù)＝＝＝－i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故選D． (2)由題意知即－3＜m＜1.故實數(shù)m的取值范圍為(－3,1)．] [規(guī)律方法]　對復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用,(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋b

10、i(a，b∈R)?Z(a，b)?.,(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)若復(fù)數(shù)z＝(a－1)＋3i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y＝x＋2上，則a的值等于(　　) A．1　　 B．2　　　　C．5　　　　D．6 (2)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i (1)B　(2)A　[(1)復(fù)數(shù)z＝(a－1)＋3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(a－1,3)在直線y＝x＋2上，

11、3＝a－1＋2，a＝2，故選B． (2)∵z1＝2＋i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(2,1)，又z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，則z2的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(－2,1)即z2＝－2＋i， ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.] 復(fù)數(shù)的代數(shù)運算 　(1)(2018·廣州綜合測試(二))若復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i－z)i＝2＋i，則z＝(　　) A．4＋6i B．4＋2i C．－4－2i D．2＋6i (2)(2018·石家莊一模)若z是復(fù)數(shù)，z＝，則z·＝(　　) A． B． C．1 D． (1)D　(2)D　[(1)由題意得3＋4i－z＝＝＝1－2

12、i，所以z＝2＋6i，故選D． (2)因為z＝＝＝－－i，所以＝－＋i，所以z·＝＝，故選D．] [規(guī)律方法]　復(fù)數(shù)代數(shù)運算問題的求解方法 (1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式. (2)記住以下結(jié)論，可提高運算速度 ①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1； i4n＋3＝－i(n∈N). [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知i是虛數(shù)單位，＋＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140162】 (2)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則的值為________． (1)1＋i　(2)2　[(1)原式＝＋ ＝i8＋＝i8＋i1 009 ＝1＋i4×252＋1＝1＋i. (2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R， ∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.] 6