《2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質與一元二次不等式教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質與一元二次不等式教學案 文（含解析）北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第一節(jié)　不等式的性質與一元二次不等式 [考綱傳真]　1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式(組)的實際背景.2.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖． 1．兩個實數(shù)比較大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性質 (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c；(單向性) (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性) (4)加法法則：a>b，c>d?a＋c

2、>b＋d；(單向性) (5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；(單向性) a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd；(單向性) (7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(單向性) (8)開方法則：a>b>0?>(n≥2，n∈N)；(單向性) 3．一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的關系 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1

3、實根x1＝x2＝－ 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1b?ac2>bc2． (　　)

4、 (2)a>b>0，c>d>0?>． (　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0． (　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)下列四個結論，正確的是(　　) ①a>b，cb－d； ②a>b>0，cbd； ③a>b>0?>； ④a>b>0?>. A．①② B．②③　　C．①④　　D．①③ D　[利用不等式的同向可加性可知①正確；對于②，根據(jù)不等式的性質可知ac

5、，故②不正確；因為函數(shù)y＝x是遞增的，所以③正確；對于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正確．] 3．(教材改編)設a，b，c∈R，且a＞b，則(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3 D　[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故選D．] 4．(教材改編)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集為(　　) A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2} A　[方程(x＋1)(x＋2)＝0的兩根為x＝－2或x＝－1，則不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集為{x|－2＜

6、x＜－1}，故選A．] 5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－∞，－4]∪[4，＋∞)　[由題意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.] 不等式的性質及應用 1．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　) A．＞　　　 B．＜ C．＞ D．＜ B　[由c＜d＜0得＜＜0，則－＞－＞0， ∴－＞－， ∴＜，故選B．] 2．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，則(　　) A．－>0 B．sin x－sin y>0 C．－ <0 D．ln x＋ln y>0 C　[函數(shù)y＝在(0，＋∞

7、)上為減函數(shù)，∴當x>y>0時， <，即－ <0，故C正確；函數(shù)y＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，由x>y>0?y>0時，不能比較sin x與sin y的大小，故B錯誤；x>y>0?xy>0ln(xy)>0 ln x＋ln y＞0，故D錯誤．] 3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2，則(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a A　[因為a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin＜log21＝0，于是a＞b＞c.故選A．]

8、4．已知角α，β滿足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，則3α－β的范圍是________． (－π，2π)　[設3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，則 解得 從而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π， ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.] [規(guī)律方法]　利用不等式的性質判斷正誤及求代數(shù)式的范圍的方法 (1)利用不等式的范圍判斷正誤時，常用兩種方法： 一是直接使用不等式的性質逐個驗證；二是利用特殊值法排除錯誤答案． (2)比較大小常用的方法 ①作差(商)法：作差(商)?變形?判斷， ②構造函數(shù)法：利用函數(shù)的單調性比較大小， ③

9、中間量法：利用中間量法比較兩式大小，一般選取0或1作為中間量． (3)由a0的解集為________．(用區(qū)間表示) (1)　(2)(－4,1)　[(1)方程2x2－x－3＝0的兩根為x1＝－1，x2＝，則不等式

10、2x2－x－3＞0的解集為. (2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集為(－4,1)．] ?考法2　含參數(shù)的一元二次不等式 【例2】　(1)解關于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＜0. [解]　原不等式可化為(x－a)(x－1)＜0， 當a＞1時，原不等式的解集為(1，a)； 當a＝1時，原不等式的解集為?； 當a＜1時，原不等式的解集為(a,1)． (2)解關于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0. [解]　若a＝0，原不等式等價于－x＋1＜0，解得x＞1. 若a＜0，原不等式等價于(x－1)＞0，

11、解得x＜或x＞1. 若a＞0，原不等式等價于(x－1)＜0. ①當a＝1時，＝1，(x－1)＜0無解； ②當a＞1時，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1； ③當0＜a＜1時，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜. 綜上所述，當a＜0時，解集為； 當a＝0時，解集為{x|x＞1}； 當0＜a＜1時，解集為； 當a＝1時，解集為?； 當a＞1時，解集為. [規(guī)律方法]　1.解一元二次不等式的步驟： (1)使一端為0且把二次項系數(shù)化為正數(shù)； (2)先考慮因式分解法，再考慮求根公式法或配方法或判別式法； (3)寫出不等式的解集． 2．解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟： (1)

12、二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式； (2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關系； (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式． (1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，則不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　) A．{x|20的解集是x

13、解得x≤2或x≥3.] (2)解不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)． [解]　Δ＝a2－4. ①當Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2時，原不等式無解． ②當Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2時，方程x2＋ax＋1＝0的兩根為x1＝，x2＝， 則原不等式的解集為. 綜上所述，當－2≤a≤2時，原不等式無解． 當a＞2或a＜－2時，原不等式的解集為 . 一元二次不等式恒成立問題 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1. (1)若對于x∈R，f(x)＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若對于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

14、[解]　(1)當m＝0時，f(x)＝－1＜0恒成立． 當m≠0時，則即－4＜m＜0. 綜上，－4＜m≤0，故m的取值范圍是(－4,0]． (2)不等式f(x)＜5－m，即(x2－x＋1)m＜6， ∵x2－x＋1＞0，∴m＜對于x∈[1,3]恒成立，只需求的最小值， 記g(x)＝，x∈[1,3]， 記h(x)＝x2－x＋1＝2＋， h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù)，則g(x)在[1,3]上為減函數(shù)， ∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m＜. 所以m的取值范圍是. [規(guī)律方法]　與二次函數(shù)有關的不等式恒成立的條件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是 (2

15、)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的條件是 (1)若不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(　　) A．(－3,0) B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] (2)若不等式x2＋mx－1＜0對于任意x∈[m，m＋1]都成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． (1) D　(2)　[(1)當k＝0時，顯然成立； 當k≠0時，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數(shù)x都成立． 則解得－3＜k＜0. 綜上，滿足不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是(－3,0]． (2)由題意得，函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1

16、在[m，m＋1]上的最大值小于0，又拋物線f(x)＝x2＋mx－1開口向上，所以只需 即解得－＜m＜0.] 一元二次不等式的應用 【例4】　甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品(生產條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是100·元． (1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3 000元，求x的取值范圍； (2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求最大利潤． [解]　(1)根據(jù)題意，得200≥3 000， 整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. 即要使生產該產品2小時

17、獲得的利潤不低于3 000元，x的取值范圍是[3,10]． (2)設利潤為y元，則 y＝·100 ＝9×104 ＝9×104， 故當x＝6時，ymax＝457 500元． 即甲廠以6千克/小時的生產速度生產900千克該產品時獲得的利潤最大，最大利潤為457 500元． [規(guī)律方法]　求解不等式應用題的四個步驟： (1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系； (2)引進數(shù)學符號，將文字信息轉化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數(shù)學模型； (3)解不等式，得出數(shù)學結論，要注意數(shù)學模型中自變量的實際意義； (4)回歸實際問題，將數(shù)學結論還原為實際問題的

18、結果． 汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素． 在一個限速為40 km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？ [解]　由題意知，對于甲車， 有0.1x＋0.01x2＞12， 即x2＋10x－1 200＞0， 解得x＞30或x＜－40(不合實際意義，舍去)， 這表明甲車的車速超過30 km/h. 但根據(jù)題意剎車距離略超過12 m， 由此估計甲車車速不會超過限速40 km/h. 對于乙車，有0.05x＋0.005x2＞10， 即x2＋10x－2 000＞0， 解得x＞40或x＜－50(不合實際意義，舍去)， 這表明乙車的車速超過40 km/h，超過規(guī)定限速． - 10 -