《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) [考綱傳真]　1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,10，的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)． 1．對(duì)數(shù)的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． 2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alog

2、aN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (2)換底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù) 圖象 a＞1 0＜a＜1 性質(zhì) 定義域：(0，＋∞) 值域：R 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1,0) 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0； 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0 當(dāng)

3、0＜x＜1時(shí)，y＞0； 當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0 在(0，＋∞)上為增函數(shù) 在(0，＋∞)上為減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． [常用結(jié)論] 1．換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)loga b＝；(2)logambn＝loga b. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R. 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大． [基礎(chǔ)

4、自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(　　) (4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(a,1)，，函數(shù)圖象不在第二、三象限．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(log29)·(log34)＝(　　) A.　　　 B. C．2 D．4 D　[原式＝·＝×＝4.] 3.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)

5、(a，c為常數(shù)，其中a＞0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D　[由圖可知0＜a＜1，又f(0)＝loga c＞0，∴0＜c＜1.] 4．函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) D　[由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間，即為y＝x2－4在{x|x＞2或x＜－2}上的單調(diào)遞減區(qū)間，故選D.] 5．若a

6、＝log4 3，則2a＋2－a＝________. 　[∵a＝log4 3，∴2a＝2log4 3＝2log2 ＝，∴2－a＝， ∴2a＋2－a＝＋＝.] 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 1．設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A.　　　 B．10 C．20 D．100 A　[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ∴m＝.] 2．化簡(jiǎn)下列各式： (1)lg ＋lg 70－lg 3－； (2)log3 ·log5[4log2 10－(3)－7log7 2]； (3)(log3 2＋log9

7、2)·(log4 3＋log8 3)． [解]　(1)原式＝lg － ＝lg 10－ ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝log3 ·log5[10－(3)－7log7 2] ＝(log3 3－1)·log5(10－3－2) ＝·log5 5 ＝－. (3)原式＝·＝·＝·＝. [規(guī)律方法]　在解決對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題時(shí)，(1)要理解并靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的換底公式.(2)注意化簡(jiǎn)過(guò)程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.(3)化異底為同底. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【例1】　(1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是(　

8、　) A　　 　B　　 　C　　　　D (2)當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D． (1)C　(2)C　[(1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域?yàn)?－∞，1)，排除A，B；函數(shù)y＝2log4(1－x)在定義域上單調(diào)遞減，排除D.故選C. (2)設(shè)f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在區(qū)間(1,2)上的圖象在f2(x)＝loga x的圖象的下方即可． 當(dāng)0＜a＜

9、1時(shí)，顯然不成立． 當(dāng)a＞1時(shí)，如圖所示，要使在區(qū)間(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝loga x的圖象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga 2，所以loga 2≥1，即1＜a≤2.] [規(guī)律方法]　利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類問(wèn)題 (1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解. (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解. (1)函數(shù)f(x)＝xa滿足f(2)＝4，那么函數(shù)g(x)＝|loga(x＋1)|

10、的圖象大致為(　　) A　　 　B　　 　 C　　D (2)已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)C　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2， ∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝ ∴當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，且g(0)＝0；當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減．故選C. 法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2， ∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函數(shù)g(x)是由函數(shù)y＝|log2x|向左平移一個(gè)單位得到的，只有C項(xiàng)符合，故選C. (2)如圖，在同一

11、坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng)a＞1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．] 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【例2】　(1)(2018·天津高考)已知a＝log2 e，b＝ln 2，c＝log ，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (2)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，4) B．(－4,4] C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4) (1

12、)D　(2)D　[因?yàn)閍＝log2 e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log ＝log2 3＞log2 e＞1，所以c＞a＞b，故選D. (2)由題意可知解得－4≤a＜4. 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－4,4)．] [規(guī)律方法]　(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意真數(shù)必須為正，明確底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響. (2)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問(wèn)題. (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是(　　) A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是

13、減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù) (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) (3)已知偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，a＝f，b＝f，c＝f(log32)，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a (1)A　(2)C　(3)D　[(1)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，且f(x)＝

14、ln ＝ln，易知y＝－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故選A. (2)由題意得或解得a＞1或－1＜a＜0.故選C. (3)log2 ＝－log2 3，而0＜log3 2＜1＜＝log2 ＜log2 ＝log2 3.∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(log3 2)＜f＜f(log2 3)＝f(－log23)＝f，∴c＜b＜a，故選D.] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a(chǎn)＋b＜ab＜0

15、　　 B．a(chǎn)b＜a＋b＜0 C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a＋b B　[由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0＜＋＜1，得0＜＜1.又a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0.] 2．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)若a>b>1,0

16、c，選項(xiàng)A不正確． ∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴當(dāng)a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0時(shí)， ac－1＜bc－1，即abc＞bac，選項(xiàng)B不正確． ∵a＞b＞1，∴l(xiāng)g a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0， ∴＞.又∵0＜c＜1，∴l(xiāng)g c＜0. ∴＜，∴alogbc＜blogac，選項(xiàng)C正確． 同理可證logac＞logbc，選項(xiàng)D不正確．] 3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________. －2　[由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.] - 8 -