《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案 理（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第4講　數(shù)列求和 題型1　數(shù)列中an與Sn的關(guān)系 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第11頁) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1．?dāng)?shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系： an＝ 2．求數(shù)列{an}通項(xiàng)的方法： (1)疊加法 形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的數(shù)列應(yīng)用疊加法求通項(xiàng)公式，an＝a1＋f(k)(和可求)． (2)疊乘法 形如＝f(n)(n≥2)的數(shù)列應(yīng)用疊乘法求通項(xiàng)公式，an＝a1···…·(積可求)． (3)待定系數(shù)法 形如an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的數(shù)列應(yīng)用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式，an＋＝λ． ■典題試解

2、尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求Sn)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2.若首項(xiàng)a1＝2，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. [解析]　因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1. Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n)－n＝－n＝－n， 所以Sn＝－n＝. [答案]　 【典題2】　(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求

3、an)數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝1， 所以＝1， 即＝1，所以－＝. 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)＝， 即Sn＝. 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 因此an＝ [類題通法] 給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2

4、)求通項(xiàng)公式時(shí)，務(wù)必驗(yàn)證n＝1時(shí)的情形 ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 018＝(　　) A．－1　 B． C．1 D．2 D　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…， 于是歸納可得a3n－2＝，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此a2 018＝a3×672＋2＝2.故選D.] 2．已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－2n ，則Sn＝__________. n·2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2；當(dāng)n≥2

5、時(shí)，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12) 題型2　裂項(xiàng)相消法求和(答題模板) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁) 裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列與式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．(2017·全國Ⅱ卷T15、2015·全國Ⅰ卷T17、2

6、015·全國Ⅱ卷T16) ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題】　(本小題滿分12分)(2015·全國Ⅰ卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an＞0，.① (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，②求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804027】 [審題指導(dǎo)] 題眼 挖掘關(guān)鍵信息 ① 看到a＋2an＝4Sn＋3， 想到a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，兩式作差，求{an}. ② 看到bn＝， 想到先求bn，想到能否裂項(xiàng). [規(guī)范解答]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知.③ 1分 兩式相減可得a－a＋2(an

7、＋1－an)＝4an＋1， 2分 即.④ 由于⑤，所以an＋1－an＝2. 4分 又由a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 5分 所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. 6分 (2)由an＝2n＋1可知bn＝＝.⑥ 8分 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝. 12分 [閱卷者說] 易錯(cuò)點(diǎn) 防范措施 ③忽視an與Sn的關(guān)系導(dǎo)致思路不清. an＝Sn－Sn－1(n≥2)是聯(lián)系an與Sn的橋梁，常借助其實(shí)現(xiàn)互化關(guān)系. ④忽視化簡、因式分解致誤. 當(dāng)?shù)仁街谐霈F(xiàn)二元二次方程時(shí)，?？紤]因式分

8、解. ⑤忽視題設(shè)條件an＞0，導(dǎo)致增解. 對(duì)題設(shè)條件可適當(dāng)標(biāo)注，以引起注意，同時(shí)解題后要反思總結(jié). ⑥忽視裂項(xiàng)或裂項(xiàng)后與原式不等價(jià). 形如的數(shù)列常用裂項(xiàng)相消法求和，裂項(xiàng)后要注意系數(shù)的變化. [類題通法] 裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常見的裂項(xiàng)方式有： 提醒：在裂項(xiàng)變形時(shí)，務(wù)必注意裂項(xiàng)前的系數(shù). ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· (2017·鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－2，且滿足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的

9、通項(xiàng)公式； (2)若bn＝log3(－an＋1)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn＜. [解]　(1)由Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)，得Sn－1＝an＋n(n≥2，n∈N*)， 兩式相減，并化簡，得an＋1＝3an－2， 即an＋1－1＝3(an－1)，又a1－1＝－2－1＝－3≠0， 所以{an－1}是以－3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， 所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n. 故an＝－3n＋1. (2)證明：由bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，得＝＝， Tn＝＝＝－＜. ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………·

10、(見專題限時(shí)集訓(xùn)T6、T9、T13) 題型3　錯(cuò)位相減法求和 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第13頁) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 錯(cuò)位相減法：用于等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}構(gòu)成的數(shù)列{anbn}，乘公比q作差． ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題】　設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804028】 [解]　(1)因?yàn)閍1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝

11、，① 所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② 由①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)． 在①中，令n＝1，得a1＝，適合an＝， 所以an＝(n∈N*)． (2)證明：由(1)可得bn＝＝n×3n， Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③ 3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④ 由③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1， 故Sn＝＋. [類題通法]　 　 　 　 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意： (1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形. (2)在寫

12、出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式. (3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，這在以前的高考中經(jīng)常考查. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)S2＝2a2－2①，S3＝a4－2②， ②－①得a3＝a4－2a2，則q2－q－2＝0， 又

13、∵q＞0，∴q＝2. ∵S2＝2a2－2， ∴a1＋a2＝2a2－2， ∴a1＋a1q＝2a1q－2， ∴a1＝2. ∴an＝2n. (2)由(1)知bn＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋＋， Tn＝＋＋＋…＋＋. 錯(cuò)位相減得 Tn＝＋＋＋＋…＋－， 可得Tn＝2－. ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時(shí)集訓(xùn)T14) 三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁) 1．(2017·全國Ⅰ卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激

14、活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是(　　) A．440　 B．330 C．220 D．110 A　[設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為. 由題意知，N>100，令＞100?n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后． 第n組的各項(xiàng)和為＝2n－1，前n組所有項(xiàng)的和為－n＝

15、2n＋1－2－n. 設(shè)N是第n＋1組的第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則N－項(xiàng)的和即第n＋1組的前k項(xiàng)的和2k－1應(yīng)與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小為29，此時(shí)k＝5，則N＝＋5＝440.故選A.] 2．(2017·全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804029】 　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由得 ∴Sn＝n×1＋×1＝， ＝＝2. ∴＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.] 3．(2015·全國Ⅱ卷)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且

16、a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 4.(2016·全國Ⅱ卷)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和． [解]　(1)設(shè){an}的公差為d，據(jù)已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. (2)因?yàn)閎n＝ 所以數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和為1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 8