《2018高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3-4節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 理 蘇教版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3-4節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 理 蘇教版選修2-2（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3—4節(jié)——導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 通過數(shù)形結(jié)合的方法直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 2. 結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的極大（?。┲?、最大（小）值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；會(huì)求簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)的極大（?。┲担约霸谥付▍^(qū)間上的最大（?。┲?。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求一些函數(shù)的極值與最值；函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系。 難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題時(shí)有關(guān)字母討論的問題。 三、考點(diǎn)分析： 1. 近幾年各地高考題一直保持對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的考查力度，體現(xiàn)了在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)出題的命題風(fēng)格，重

2、點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)概念、單調(diào)性、極值等傳統(tǒng)、常規(guī)問題，這三大塊內(nèi)容是本專題的主線，在學(xué)習(xí)中應(yīng)以此為基礎(chǔ)展開，利用問題鏈展示題目間的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)解題的通法通解，如利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性問題時(shí)，可設(shè)計(jì)這樣的問題鏈：已知函數(shù)求單調(diào)區(qū)間知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)若函數(shù)不單調(diào)如何求參數(shù)。 2. 導(dǎo)數(shù)內(nèi)容是新課標(biāo)新加知識(shí)，增添了更多的變量數(shù)學(xué)，拓展了學(xué)習(xí)和研究的領(lǐng)域，在學(xué)習(xí)中要明確導(dǎo)數(shù)作為一種工具在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等方面的作用，這種作用不僅體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為解決函數(shù)問題提供了有效途徑，還在于它使學(xué)生掌握了一種科學(xué)的語言和工具，能夠加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。 3. 要有意識(shí)地與解析幾何（特別是切線

3、、最值）、函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值極值，二次函數(shù)，方程，不等式，代數(shù)不等式的證明等進(jìn)行交匯，綜合運(yùn)用。特別是一些以導(dǎo)數(shù)為工具分析和解決一些函數(shù)問題、切線問題的典型問題，以及一些實(shí)際問題中的最大（?。┲祮栴}。 一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)： 1. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；如果，那么函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。 2. 用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟是： （1）一般方法： ①先求出定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)； ②求解不等式，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞增區(qū)間； 求解不等式，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞減區(qū)

4、間。 （2）利用數(shù)軸，采用“穿軸法”確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： ①確定的定義域； ②求的導(dǎo)數(shù)； ③求出在內(nèi)的所有實(shí)根，再把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即在定義域內(nèi)的無定義點(diǎn)）和各實(shí)數(shù)根按照從小到大的順序排列起來； ④在數(shù)軸上把的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間； ⑤利用“穿軸法”觀察在各小區(qū)間上的符號(hào)，從而判定在各個(gè)小區(qū)間上的增減性。 二、函數(shù)的極值 1. 函數(shù)極值的定義 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)。 如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0）

5、.就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 2. 判別f（x0）是極大、極小值的方法： 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值. 3. 求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟： （1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x） （2）求方程f′（x）＝0的根 （3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處

6、取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f（x）在這個(gè)根處無極值 三、函數(shù)的最大值與最小值 1. 函數(shù)的最大值與最小值： 在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值。 2. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：設(shè)函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下： （1）求在內(nèi)的極值； （2）將的各極值與、比較，得出函數(shù)在上的最值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。 知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 例1 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ）

7、 思路分析：由的圖象可觀察出在不同區(qū)間的符號(hào)，從而判斷出在不同區(qū)間的單調(diào)性，因此可以根據(jù)的圖象大致得到的圖象。 解題過程：如圖，A、B、C三個(gè)圖中兩條曲線可分別作為和的圖象，符合題意。對(duì)于D，若上一條曲線為的圖象，則為增函數(shù)，不符合；若下一條曲線為的圖象，則為減函數(shù)，也不符合。故選D。 解題后反思：（1）本題從直觀的角度考查了可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過對(duì)的圖象提煉函數(shù)的信息，考查數(shù)形結(jié)合思想和識(shí)圖、用圖的能力，以及分析問題、解決問題的能力。 （2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定原函數(shù)的大致圖象，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用性問題的常見題型，關(guān)鍵是把握原函數(shù)圖象在的圖象與軸交點(diǎn)處的切線的斜率為，由在不同區(qū)

8、間的符號(hào)能判斷出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 例2 已知向量若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍。 思路分析：已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在此區(qū)間上一定有恒成立，因此只需要用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為最值問題即可。 解題過程：依定義， 則. 若在上是增函數(shù)，則在上恒成立。 即在區(qū)間上恒成立。 令函數(shù)， 由于的圖象的對(duì)稱軸為，為開口向上的拋物線，故使在區(qū)間上恒成立，只須。 而當(dāng)時(shí)，在上滿足，即在上是增函數(shù)。 故的取值范圍是。 解題后反思：（1）本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍，平面向量運(yùn)算、不等式在區(qū)間上恒成立的方法，考查了對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和遷移能力。 （2）在已知函數(shù)是

9、增函數(shù)（或減函數(shù)），求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令（）恒成立，應(yīng)用不等式恒成立的理論知識(shí)解決參數(shù)的取值范圍。然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使恒等于，如果恒等于，則在該點(diǎn)處參數(shù)的值必須舍去。 知識(shí)點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值 例3 已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（ ） A. 13萬件 B. 11萬件 C. 9萬件 D. 7萬件 思路分析：由題意，先對(duì)函數(shù)y進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，把極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)值代入已知函數(shù)，比較函數(shù)值的大小，求出的最大值即為最大年利潤的年產(chǎn)量。 解題過程

10、：， 令解得（舍去）。 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 則當(dāng)時(shí)，取得最大值， 故選C。 解題后反思：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值問題及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，運(yùn)算能力是非常重要的。 例4 已知函數(shù)其中。 （1）當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。 思路分析：（1）把代入到中化簡(jiǎn)得到的解析式，求出，因?yàn)榍€的切點(diǎn)為（1，f（1）），所以把x＝1代入中求出切線的斜率； （2）令＝0，求出的x的值為x＝－2a和x＝a－2，分兩種情況討論：①當(dāng)＜時(shí)和②當(dāng)＞時(shí)，討論的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最值。

11、 解題過程：（1）當(dāng)時(shí)，，，故。 所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為。 （2）。 令，解得或。由知，。 以下分兩種情況討論。 ①＞，則＜。當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： ＋ 0 — 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)。 函數(shù)在處取得極大值，且。 函數(shù)在處取得極小值，且。 ②＜，則＞，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： ＋ 0 — 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)。 函數(shù)在處取得極大值，且。 函數(shù)在處取

12、得極小值，且。 解題后反思：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。 例5 已知a為實(shí)數(shù)， （1）若，求在[－2，2]上的最大值和最小值； （2）若在（—∞，—2]和[2，＋∞）上都是遞增的，求a的取值范圍。 思路分析：（1）按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟去求解。（2）當(dāng)函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間上遞增時(shí)，則在該區(qū)間上恒有，從而得到關(guān)于a的不等式。 解題過程：（1）由原式得 ∴。 由得，此時(shí)有。 由得或x＝－1， 當(dāng)上變化時(shí)，的變化如下表 －

13、 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以f（x）在[－2，2]上的最大值為最小值為。 （2）方法一：的圖象為開口向上且過點(diǎn)（0，－4）的拋物線，由條件得 即 ∴－2≤a≤2. 所以a的取值范圍為[－2，2]. 方法二：令即 由求根公式得： 所以在和上非負(fù)。 由題意可知，當(dāng)x≤－2或x≥2時(shí)，≥0， 從而x1≥－2，x2≤2， 即 解不等式組得：－2≤a≤2。 ∴a的取值范圍是[－2，2]。 解題后反思：（1）極大值，極小值是否就是最大值，最小值，要與區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，才能下結(jié)論。（

14、2）在已知函數(shù)f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f’（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若f’（x）不恒為0，則由，x恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定。 （北京高考）已知函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若對(duì)于任意的，都有≤，求的取值范圍。 思路分析：（1）求導(dǎo)，對(duì)k分類討論，解得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）不等式≤恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題。 解答過程： （1），令， 當(dāng)時(shí)，的情況如下表： 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是， 當(dāng)時(shí)，與的情況如下表： 所以，的單調(diào)遞減區(qū)

15、間是和；單調(diào)遞增區(qū)間是。 （2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不?huì)有。 當(dāng)時(shí)，由（1）知在上的最大值是 所以等價(jià)于，解得。 故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是[，0）。 解題后反思：利用求導(dǎo)對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)求最值的時(shí)候，應(yīng)注意參數(shù)對(duì)最值的影響，一定要分類討論，對(duì)于不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為最值問題。 已知f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a≠0）在x＝±1時(shí)取得極值，且f（1）＝－1。 （1）試求常數(shù)a、b、c的值； （2）試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由。 錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用f′（±1）＝0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙。 思路分析：考查

16、函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x＝±1所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求值。 解：（1）f′（x）＝3ax2＋2bx＋c ∵x＝±1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)， ∴x＝±1是方程f′（x）＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根。 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③ 由①②③式解得a＝， （2）f（x）＝x3－x， ∴f′（x）＝x2－＝（x－1）（x＋1） 當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0 當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0 ∴函數(shù)f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上是增函

17、數(shù)，在（－1，1）上是減函數(shù)。 ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（－1）＝1， 當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1）＝－1。 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中較為重要的知識(shí)，由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決所學(xué)過的有關(guān)函數(shù)問題提供了一般性方法，是解決實(shí)際問題強(qiáng)有力的工具。導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考重點(diǎn)考查的對(duì)象。要牢記導(dǎo)數(shù)公式，熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握求導(dǎo)數(shù)的方法。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，題型既有靈活多變的客觀性試題，又有具有一定能力要求的主觀性試題，這要求我們學(xué)習(xí)時(shí)要掌握基本題型的解法，樹立利用導(dǎo)數(shù)處理問題的意識(shí)。 所以在學(xué)習(xí)中要重點(diǎn)把握以下幾點(diǎn)：一是導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，這是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。考查方式以客觀題為主，主要考查導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；二是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，特別是利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題、證明不等式以及討論方程的根等，已成為高考熱點(diǎn)問題。三是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題。 下節(jié)課老師將和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)定積分的有關(guān)內(nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們先閱讀課本，思考：定積分的主要思想是什么？如何求定積分？ 8