《2018高中數(shù)學 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程3 圓與圓的位置關系學案 蘇教版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018高中數(shù)學 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程3 圓與圓的位置關系學案 蘇教版必修2（3頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 圓與圓的位置關系 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 圓與圓的位置關系 1. 能根據兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系； 2. 能根據兩圓的位置關系求有關直線或圓的方程 選擇題 填空題 解答題 在學習過程中理解解析法在處理圓與圓位置關系問題中的優(yōu)越性，強化學生用坐標法解決幾何問題的意識 二、重難點提示 重點：掌握用幾何法和解析法判斷圓與圓的位置關系的方法；能用圓的方程解決一些簡單的實際問題。 難點：靈活地運用“數(shù)形結合”、解析法來解決圓與圓的相關問題。 考點一：圓與圓的位置關系及判斷方法 1. 圓與圓的位置關系 圓與圓的位置關系有五種

2、，分別為：外離、外切、相交、內切、內含。 2. 圓與圓的位置關系的判定 （1）幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2（r1≠r2），兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下： 外離 外切 相交 內切 內含 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|

3、交點在兩圓心所在直線上； 2. 兩圓外切時，有三條公切線，兩圓圓心的連線經過切點； 3. 兩圓相交時，有兩條公切線，兩圓圓心的連線垂直平分公共弦； 4. 兩圓內切時，有一條公切線，切點在兩圓圓心所在直線上； 5. 兩圓內含時，無公切線。 考點三：圓系方程 1. 具有某一共同性質的所有圓的集合叫作圓系，它的方程叫作圓系方程。 2. 常見的圓系方程 ①同心圓系：與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋A＝0； ②過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0；

4、③過兩圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1），此圓系內不含x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，當λ＝－1時，表示兩圓公共弦所在的直線方程。 【規(guī)律總結】兩圓相交公共弦長的求法： ①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點距離公式求弦長。 ②幾何法：求出公共弦所在直線的方程（即把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程），利用圓的半徑、半徑長、弦心距構成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長。 【特別提示】 ① 求

5、公共弦長時，幾何法比代數(shù)法簡單且易求； ② 兩圓的公共弦被兩圓圓心連線垂直平分。 例題1 （兩圓位置關系的判定） a為何值時，兩圓x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0（1）外切；（2）相交；（3）相離。 思路分析：兩圓的圓心和半徑→圓心距|C1C2|→r1＋r2與|r1－r2|→兩圓的位置關系。 答案：將兩圓方程寫成標準方程（x－a）2＋（y＋2）2＝9，（x＋1）2＋（y－a）2＝4。 設兩圓的圓心距為d，則d2＝（a＋1）2＋（－2－a）2＝2a2＋6a＋5。 （1）當d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－

6、5或2。 （2）當1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25時，兩圓相交， 此時－5＜a＜－2或－1＜a＜2。 （3）當d＞5，即2a2＋6a＋5＞25時，兩圓相離，此時a＞2或a＜－5。 技巧點撥：和判斷直線與圓的位置關系一樣，判斷兩圓的位置關系也可以用代數(shù)法求方程組解的個數(shù)，但由于解兩個二元二次方程組計算量較大，較為麻煩，而且當無解或是一解時往往還得重新用幾何法來討論，不如直接運用幾何法簡便。故求解此類問題的關鍵是利用圓心距與半徑和或差的關系列出關系式。 例題2 （兩圓公切線的求法） 已知圓：和圓：，求、的公切線方程。 思路分析：根據題意判斷兩圓外離，利用待定系數(shù)法列方程

7、解得。 答案：，；，。則。所以兩圓外離，有四條公切線。設切線方程為，即，則 ，兩式相除得，化簡得或 當時，代入得，解得或 則時，；時， 此時切線方程為或。 當時，代入得，解得。此時切線方程為。當斜率不存在時，直線與兩圓也相切。 綜上所述，所求公切線方程為或或或。 技巧點撥： 先判斷兩圓位置關系，從而判斷公切線條數(shù)，這樣不易丟解。除此，還需要注意斜率不存在的情況。 圓系方程的應用 【滿分訓練】求過直線2x＋y＋4＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點，且面積最小的圓的方程。 思路分析：本題求面積最小的圓即求以兩交點之間的距離為直徑的圓，可由過圓與直線交點

8、的圓系方程求解。 答案：設過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0與直線2x＋y＋4＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0， 整理得x2＋y2＋2（1＋λ）x－（4－λ）y＋1＋4λ＝0。 要使圓的面積最小，只需半徑長λ最小。 ∵r＝＝≥＝， ∴當λ＝時，半徑長r最小，此時圓的方程為x2＋y2＋x－y＋＝0， 即（x＋）2＋（y－）2＝。 技巧點撥：解答此類問題一般有如下兩種方法： （1）聯(lián)立方程組，求出交點坐標，再根據交點坐標求方程； （2）設圓系方程確定參數(shù)，一般地，過直線l：Ax＋By＋C＝0與圓O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）的交點的圓系方程可設為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0，但注意參數(shù)λ一定要寫在直線方程之前。 3