《2019-2020學年高中數學 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年高中數學 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、一　二維形式的柯西不等式 學習目標：1.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．(難點)2.通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題．(重點) 教材整理　二維形式的柯西不等式 閱讀教材P31～P36，完成下列問題． 內容 等號成立的條件 代數 形式 若a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 當且僅當ad＝bc時，等號成立 向量 形式 設α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β| 當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號成立 三角 形式 設x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 當且僅當P1(x1，y1)，

2、P2(x2，y2)，O(0,0)三點共線且P1，P2在點O兩旁時，等號成立 已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. B　[2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥ ＝(x＋y)2＝.] 二維柯西不等式的向量形式及應用 【例1】　已知p，q均為正數，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2. [精彩點撥]　為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構造兩個向量． ＝·＝. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， ∴≤p2＋q2≤， ∴≤·，則(p＋q)4≤8(p＋q)． 又p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故p＋q

3、≤2. 使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關鍵是合理構造出兩個向量．同時，要注意向量模的計算公式|a|＝對數學式子變形的影響． 1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試判斷結論是否仍然成立？ [解]　設m＝(p，q)，n＝(1,1)， 則p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤·＝2. 故仍有結論p＋q≤2成立. 運用柯西不等式求最值 【例2】　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． [精彩點撥]　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯系柯西不等式，可以通過構造(12

4、＋12)作為一個因式而解決問題． [自主解答]　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. ∴4x2＋9y2≥， 當且僅當2x×1＝3y×1， 即x＝，y＝時取等號． ∴4x2＋9y2的最小值為. 1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于配湊，保證出現常數結果． 2．常用的配湊的技巧有：①巧拆常數；②重新安排某些項的次序；③適當添項；④適當改變結構，從而達到運用柯西不等式求最值的目的． 2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點． [解]　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得2

5、5(x2＋y2)≥4. 所以x2＋y2≥， 當且僅當＝時，“＝”成立．為求最小值點，需解方程組∴ 因此，當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為. 二維柯西不等式代數形式的應用 [探究問題] 在二維形式的柯西不等式中，取等號的條件可以寫成＝嗎？ [提示]　不可以．當b·d＝0時，柯西不等式成立，但＝不成立． 【例3】　已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1. [精彩點撥]　探求已知條件與待證不等式之間的關系，設法構造柯西不等式進行證明． [自主解答]　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥. 又因為

6、|3x＋4y|＝5， 所以＝1， 即x2＋y2≥1. 1．利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結構特征，必要時，需要將數學表達式適當變形． 2．變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發(fā)現問題的本質，找到突破口． 3．設a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：＋≥2. [證明]　根據柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)] ＝[()2＋()2]＋ ≥ ＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2， 當且僅當·＝·， 即a＝b＝1時等號成立． ∴＋≥2. 1

7、．設x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為(　　) A.　　　　　　　　 B．169 C．13 D．0 C　[(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13.] 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D．12 D　[(＋)2 ＝(1×＋1×)2 ≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 當且僅當＝， 即a＝b＝時等號成立．故選D.] 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝________. [解析]　|a|＝＝5，且 |b|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|， 因此，b與a共線，且方向相同，∴b＝. [答案]　 4．已知x，y＞0，的最小值為4，則xy＝________. [解析]　∵≥ ＝， ∴＝4. 又＞0， ∴＝1，∴xy＝1. [答案]　1 5．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值． [解]　構造兩組實數，；，. ∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1， ∴x＋y＝[()2＋()2]＋≥(＋)2， 當且僅當∶＝∶，即＝時取等號，∴(x＋y)min＝(＋)2. - 6 -