《2019-2020學年高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入章末復習課學案 新人教B版選修1-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入章末復習課學案 新人教B版選修1-2（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第3章 數系的擴充與復數的引入 復數的概念及分類 1.復數a＋bi(a，b∈R) 2．復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部、虛部滿足的方程(或不等式)即可． 【例1】　當實數a為何值時，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i： (1)為實數； (2)為純虛數； (3)對應的點在第一象限內； (4)對應的點在直線x－y＝0上． [思路探究]　解答本題可根據復數的分類標準，列出方程(不等式)求解． [解]　(1)由z∈R，得a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2. (2)z為純虛數，

2、 即 故a＝0. (3)z對應的點在第一象限， 則 ∴ ∴a<0或a>2. ∴a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依題得(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. 1．當實數m為何值時，復數z＝＋(m2－2m)i為 (1)實數； (2)虛數； (3)純虛數． [解]　(1)當 即m＝2時，復數z是實數． (2)當 即m≠0且m≠2時，復數z是虛數． (3)當 即m＝－3時，復數z是純虛數． 復數的四則運算 復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子、分母同乘以分母的共軛復數，注意要把i的冪寫成最簡形式．

3、 【例2】　計算：＋. [思路探究]　先由－－i＝i，1－i＝(－2)，將原式化簡，再利用－＋i的特殊性進行求解． [解]　原式＝i12＋＝1×1＋ ＝1＋16＝－7＋8i. 2．計算：(1)； (2)－. [解]　(1)原式＝＝－·＝－·(－4)· ＝－1＋i. (2)原式＝－ ＝－ ＝－i＝i－i＝0. 共軛復數與復數的模 共軛復數與復數的模是復數中兩個重要的概念，在解決有關復數問題時，除用共軛復數定義與模的計算公式解題外，也常用下列結論簡化解題過程： (1)|z|＝1?z＝. (2)z∈R?＝z. (3)z≠0，z為純虛數?＝－z. 【例3】　設

4、z＝a＋bi(a，b∈R)，若∈R，則a，b應滿足什么條件？并說明理由． [思路探究]　解答本題可求出的代數形式，由其虛部為0可得a，b滿足的條件；也可利用共軛復數的性質求解． [解]　法一：＝ ＝ ＝∈R， ∴b(a2＋b2－1)＝0. ∴b＝0或a2＋b2＝1. 法二：∵∈R，∴＝＝＝， 即z(1＋2)－(1＋z2)＝0， ∴z＋|z|2·－－|z|2·z＝0， 即(z－)(1－|z|2)＝0， ∴z＝或1－|z|2＝0. 由z＝，得b＝0. 由1－|z|2＝0，得a2＋b2＝1. ∴b＝0或a2＋b2＝1. 3．已知為純虛數，且(z＋1)(＋1)＝|z|

5、2，求復數z. [解]　由(z＋1)(＋1)＝|z|2?z＋＝－1. ① 由為純虛數?＋＝0?z·－1＝0. ② 設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi， 代入①②， 得a＝－，a2＋b2＝1. ∴a＝－，b＝±. ∴z＝－±i. 復數的幾何意義 1.點Z(a，b)或向量稱為復數z＝a＋bi(a，b∈R)的幾何表示，因此復平面的點與復平面的向量是復數的兩個幾何形象． 2．復數形式的基本軌跡 (1)當|z－z1|＝r時，表示復數z對應的點的軌跡是以z1對應的點為圓心，半徑為r的圓；單位圓|z|＝1. (2)當|z－z1|＝|z－z2|時，表示以復數z1，z2的對應

6、點為端點的線段的垂直平分線． (3)|z1－z2|表示兩點間的距離，即表示復數z1與z2對應點間的距離． 【例4】　若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，則|z－2－2i|的最小值是(　　) A．2　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 [思路探究]　常規(guī)方法是運用復數的代數形式，把復數最值問題轉化為一般函數最值問題再解決，而運用|z－z0|的幾何意義解決更為簡便． [解析]　如圖，|z＋2－2i|＝1表示以C(－2,2)為圓心，1為半徑的圓，則|z－2－2i|的最小值是指點A(2,2)到圓的最短距離，顯然|AB|＝|AC|－1＝3，即為最小值，故選B. [答案]　B 4．

7、已知|z|＝2，則|z＋1＋i|的最大值和最小值分別為________． [解析]　設z＝x＋yi(x，y∈R)，則由|z|＝2知x2＋y2＝4， 故z對應的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上， 又|z＋1＋i|表示點(x，y)到點(－1，－)的距離． 又因為點(－1，－)在圓x2＋y2＝4上，所以圓上的點到點(－1，－)的距離的最小值為0，最大值為圓的直徑4， 即|z＋1＋i|的最大值和最小值分別為4和0. [答案]　4,0 1．(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i　　　 B．－3＋i C．3－i D．3＋i [解析]　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2

8、＝3＋i，故選D. [答案]　D 2．設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. [解析]　∵z＝＋2i＝＋2i ＝＋2i＝i. ∴|z|＝1，故選C. [答案]　C 3．若z＝4＋3i，則＝(　　) A．1　　　　　 B．－1 C.＋i D.－i [解析]　∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5， ∴＝＝－i. [答案]　D 4．設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 [解析]　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由題意知a－2＝1＋2a，

9、解得a＝－3，故選A. [答案]　A 5．設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ [解析]　|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圓及其內部，如圖所示．當|z|≤1時，y≥x表示的是圖中陰影部分，其面積為S＝π×12－×1×1＝.又圓的面積為π，根據幾何概型公式得概率P＝＝－. [答案]　D 6．設復數z滿足z2＝3＋4i(i是虛數單位)，則z的模為______． [解析]　∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5， ∴|z|＝. [答案]　 - 7 -