《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第52講 拋物線學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第52講 拋物線學(xué)案（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第52講　拋物線 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 2．了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，了解拋物線的實(shí)際背景． 3．理解數(shù)形結(jié)合思想. 2017·全國卷Ⅰ，10 2017·全國卷Ⅱ，16 2017·北京卷，18 2016·浙江卷，9 1.求解與拋物線定義有關(guān)的問題，利用拋物線的定義求軌跡方程，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，求解與拋物線焦點(diǎn)有關(guān)的問題(如焦點(diǎn)弦、焦半徑等問題). 分值：5分 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)__距離相等__的點(diǎn)的軌跡叫做拋

2、物線．點(diǎn)F叫做拋物線的__焦點(diǎn)__，直線l叫做拋物線的__準(zhǔn)線__． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O__(0,0)__ 對(duì)稱軸 __y＝0__ __x＝0__ 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝__1__ 準(zhǔn)線 __x＝－__ __x＝__ __y＝－__ __y＝__ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

3、 開口方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑 (其中P(x0，y0)) ＝ __x0＋__ ＝ __－x0＋__ ＝ __y0＋__ ＝ __－y0＋__ 3．必會(huì)結(jié)論 拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p. 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條

4、定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　×　) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　×　) 解析 (1)錯(cuò)誤．當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線； (2)錯(cuò)誤．方程y＝ax2(a≠0)可化為x2＝y(tǒng)是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y＝－； (3)錯(cuò)誤．拋物線是只有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形． 2．拋物線y＝－2x2的準(zhǔn)線方程是(　D　) A．x＝　　 B．x＝　　 C．y＝　　 D．y＝ 解析 拋物

5、線方程為x2＝－y，∴p＝，準(zhǔn)線方程為y＝. 3．拋物線y2＝24ax(a＞0)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為(　A　) A．y2＝8x　　 B．y2＝12x　　 C．y2＝16x　　 D．y2＝20x 解析 準(zhǔn)線方程為l：x＝－6a，M到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離，則3＋6a＝5，a＝，拋物線方程為y2＝8x. 4．若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為(　D　) A．圓　　 B．橢圓　　 C．雙曲線　　 D．拋物線 解析 由題意知，點(diǎn)P到點(diǎn)(2,0)的距離與P到直線x＝－2的距離相等，由拋物線定義得點(diǎn)P的軌

6、跡是以(2,0)為焦點(diǎn)、以直線x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線． 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是__x＝－__. 解析 線段OA的中垂線方程為4x＋2y－5＝0， 令y＝0得x＝， ∴焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為x＝－. 一　拋物線的定義及應(yīng)用 拋物線中的最值問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化． (1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解． (2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離

7、，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決． 【例1】 (1)已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(　D　) A．　　 B．　　 C．1　　 D．2 (2)(2017·全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為(　A　) A．16　　 B．14　　 C．12　　 D．10 解析 (1)由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過點(diǎn)A作AA1⊥l垂足為點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作BB1⊥l垂足為點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M

8、作MM1⊥l交l于點(diǎn)M1，則|MM1|＝. 因?yàn)閨AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6， 所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3. 故點(diǎn)M到x軸的距離d≥2. (2)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB

9、|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)＝k2，即k＝±1時(shí)取等號(hào)，故|AB|＋|DE|的最小值為16，故選A． 二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì) (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可． (2)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程． (3)涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性． 【例2】 (1)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)

10、線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝(　C　) A．1　　 B．　　 C．2　　 D．3 (2)拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝__6__. 解析 (1)因?yàn)殡p曲線的離心率e＝＝2，所以b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，與拋物線的準(zhǔn)線x＝－相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，所以△AOB的面積為××p＝，又p＞0，所以p＝2. (2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，＝p，所以B.又因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線上，故－＝1，解得p＝6.　 三　直線與拋物線的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問題

11、 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系． (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式＝x1＋x2＋p；若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式． 【例3】 已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且＝8. (1)求拋物線C的方程； (2)設(shè)直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，點(diǎn)P為l上一點(diǎn)，求·的最小值． 解析 (1)由題意可知F，則該直線方程為y＝x－， 代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0， 設(shè)M(x1，y

12、1)，N(x2，y2)， ∵＝8，∴x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵直線l為拋物線C的切線，∴Δ＝16(1－b)＝0，解得b＝1， ∴直線l的方程為y＝x＋1.由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1， 設(shè)P(m，m＋1)，則＝(x1－m，y1－(m＋1))， ＝(x2－m，y2－(m＋1))， ∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)] ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋

13、(m＋1)2. ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. ∵y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4·＝4. ∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝ 2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14. 當(dāng)且僅當(dāng)m＝2時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，·取最小值為－14. 1．若動(dòng)圓的圓心在拋物線y＝x2上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點(diǎn)(　C　) A．(0,2)　　 B．(0，－3)　　　　 C．(0,3)　　 D．(0,6) 解析 直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知拋物線上

14、的點(diǎn)到直線y＝－3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(diǎn)(0,3)． 2．已知點(diǎn)P是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則＋的最小值為(　C　) A．7　　 B．8　　　　 C．9　　 D．10 解析 拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，＝＝＋1. ∴＋＝＋－1＝＋－1≥－1＝－1＝10－1＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，則＋的最小值為9. 3．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若＋＝12，則拋

15、物線的準(zhǔn)線方程為__x＝－2__. 解析 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得－＝1，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－2a，聯(lián)立解得x＝3a，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由，得＝6－a， ∴＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2. 4．(2017·北京卷)已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)． (1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)． 解析 (1)由拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)，得p＝.所以拋物線C的方程為y2＝x.

16、 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.準(zhǔn)線方程為x＝－. (2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)． 直線ON的方程為y＝x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)閥1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1.故A為線段BM的中點(diǎn)． 易錯(cuò)點(diǎn)　對(duì)直線與拋物線的公共點(diǎn)認(rèn)識(shí)不清 錯(cuò)因分析：只考慮直線斜率k存在的情況而忽略k不存在以及直線l平行于拋物線對(duì)稱軸時(shí)的兩種

17、情形． 【例1】 過點(diǎn)(0,3)的直線l與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程． 解析 當(dāng)斜率k存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，將其代入y2＝4x，整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，則由Δ＝0解得k＝；當(dāng)k＝0時(shí)，直線l的方程為y＝3，此時(shí)l平行于對(duì)稱軸，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k不存在時(shí)，直線l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)l的方程為x＝0.綜上，過點(diǎn)(0,3)且與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為y＝x＋3；y＝3；x＝0. 【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)M(p,0)作直線l.證明：l與C至少有一個(gè)交點(diǎn)． 證明

18、(1)當(dāng)直線與y軸不垂直時(shí)，設(shè)l：x＝my＋p，聯(lián)立C與l的方程，得則y2－2pmy－2p2＝0. Δ＝(2pm)2＋4·2p2＝4p2(m2＋2)>0恒成立． 故此時(shí)C與l有2個(gè)交點(diǎn)． (2)當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，l：x＝0，C與l有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)． 綜上(1)，(2)知，C與l至少有一個(gè)交點(diǎn)． 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第52講 [解密考綱]對(duì)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的考查是常數(shù)，通常在選擇題、填空題中單獨(dú)考查或在解答題中與圓錐曲線綜合考查． 一、選擇題 1．(2018·寧夏銀川九中月考)已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上點(diǎn)P(－3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方

19、程為(　B　) A．y2＝8x　　 B．y2＝－8x C．y2＝4x　　 D．y2＝－4x 解析 設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則－(－3)＝5， ∴p＝4，∴拋物線方程為y2＝－8x.故選B． 2．(2018·江西九江第一次統(tǒng)考)已知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，過拋物線上一點(diǎn)M(p，p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF|∶|FM|＝(　C　) A．1∶　　 B．1∶　　 C．1∶2　　 D．1∶3 解析 由題意知直線l的方程為y＝2， 聯(lián)立方程得N. 所以|NF|＝＋＝p，|MF|＝p＋＝p， 所以|NF|∶|FM|＝1∶2，故選

20、C． 3．已知拋物線C：y2＝4x，頂點(diǎn)為O，動(dòng)直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則·＝(　A　) A．5　　 B．－5　　 C．4　　 D．－4 解析 設(shè)A，B，由已知得直線l過定點(diǎn)E(－1,0)，因?yàn)镋，A，B三點(diǎn)共線，所以y2＝y(tǒng)1， 即(y1－y2)＝y(tǒng)1－y2，因?yàn)閥1≠y2，所以y1y2＝4， 所以·＝＋y1y2＝5. 4．(2018·吉林長(zhǎng)春一模)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則＝(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l：x＝－，|FB|

21、＝m，|FA|＝n， 過A，B兩點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線AC，BD， 由拋物線定義知|AC|＝|FA|＝n，|BD|＝|FB|＝m， 過B作BE⊥AC，E為垂足， 則|AE|＝|CE|－|AC|＝|BD|－|AC|＝m－n， |AB|＝|FA|＋|FB|＝n＋m. 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，cos 60°＝＝＝， 即m＝3n.故＝＝＝. 5．已知點(diǎn)A(2,1)，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，若拋物線上存在一點(diǎn)P，使得|PA|＋|PF|最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　D　) A．(2,1)　　 B．(1,1) C．　　 D． 解析 由拋物線定義知，|PF|等于P到準(zhǔn)線x＝－1的距離

22、，當(dāng)PA與準(zhǔn)線垂直時(shí)|PA|＋|PF|最小，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入方程得x＝. 6．已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(　D　) A．　　 B． C．1　　 D．2 解析 由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過點(diǎn)A作AA1⊥l于點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作BB1⊥l于點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作MM1⊥l于點(diǎn)M1，則|MM1|＝. 因?yàn)?＝|AB|≤|AF|＋|BF|， 所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3， 故點(diǎn)M到x軸的距離d≥2，故選D． 二、填空題 7．(2018·福建福州質(zhì)檢)過拋物線y2＝2px(

23、p>0)的焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，分別過P，Q兩點(diǎn)作PP1，QQ1垂直于拋物線的準(zhǔn)線于P1，Q1，若|PQ|＝2，則四邊形PP1Q1Q的面積是__1__. 解析 由題意得四邊形PP1Q1Q為直角梯形，|PP1|＋|QQ1|＝|PQ|＝2，|P1Q1|＝|PQ|sin 30°＝1，∴S＝·|P1Q1|＝1. 8．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬__2__米． 解析 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)． 由題意將點(diǎn)A(2，－2)代入x2＝－2py， 得p＝1，故x2＝－2

24、y.設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米． 9．(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝__6__. 解析 依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x＝－2，因?yàn)辄c(diǎn)N在y軸上，M為FN的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1， 所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6. 三、解答題 10．已知拋物線y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，圓W：(x＋p)2＋y2＝p2的圓心到過點(diǎn)F的直線l的距離為p. (1)求直線l的斜率； (2)若直線l與拋物線交于A，B兩

25、點(diǎn)，△WAB的面積為8，求拋物線的方程． 解析 (1)易知拋物線y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F(p,0)，依題意設(shè)直線l的方程為x＝my＋p，因?yàn)閃(－p,0)，所以點(diǎn)W到直線l的距離為＝p，解得m＝±，所以直線l的斜率為±. (2)由(1)知直線l的方程為x＝±y＋p，由于兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取x＝y(tǒng)＋p，代入y2＝4px中， 得y2－4py－4p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2， 所以|AB|＝·＝16p， 因?yàn)椤鱓AB的面積為8，所以p×16p＝8，得p＝1， 所以拋物線的方程為y2＝4x. 11．已知拋物線y

26、2＝2px(p>0)，過點(diǎn)C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程． 解析 (1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px中， 得y2－2pmy＋4p＝0.(*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，所以x1x2＝＝4. 因?yàn)椤ぃ?2，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12， 得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x. (2)(1)中(*)式可化為y2－4my＋8＝0. y1＋y2＝4m，y1y2＝8.設(shè)AB的中點(diǎn)為M， 則|

27、AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝|y1－y2|＝，② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±. 所以直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 12．(2017·全國卷Ⅲ)已知拋物線：C：y2＝2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． 解析 (1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，

28、x2＝，故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0， 即(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0， 圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝. 13