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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 文(含解析)北師大版

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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 文(含解析)北師大版_第1頁(yè)
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1、第一節(jié) 函數(shù)及其表示 [考綱傳真] 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段). 1.函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A,B 設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集 設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合 對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B 如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x,在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng) 如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,B中總有唯一一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng) 名稱

2、 稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射 記法 函數(shù)y=f(x),x∈A 映射:f:A→B 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y=f(x),x∈A中,自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域;函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域. (2)函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域. (3)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù). (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法. 3.分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同

3、而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù). (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各段函數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù). 求函數(shù)定義域的依據(jù) (1)整式函數(shù)的定義域?yàn)镽; (2)分式的分母不為零; (3)偶次根式的被開方數(shù)不小于零; (4)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零; (5)正切函數(shù)y=tan x的定義域?yàn)椋? (6)x0中x≠0; (7)實(shí)際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外,還應(yīng)考慮實(shí)際問題本身的要求. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)是特殊

4、的映射. (  ) (2)函數(shù)y=1與y=x0是同一個(gè)函數(shù). (  ) (3)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn). (  ) (4)分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù). (  ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2.(教材改編)函數(shù)y=+的定義域?yàn)?  ) A.     B.(-∞,3)∪(3,+∞) C.∪(3,+∞) D.(3,+∞) C [由題意知解得x≥且x≠3.] 3.設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(3))等于(  ) A.  B.3 C.  D. D [f(3)=,f(f(3))=f =+1=,故選D.] 4.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x+1是相

5、等函數(shù)的是(  ) A.y=()2 B.y=+1 C.y=+1 D.y=+1 B [y=+1=x+1,且函數(shù)定義域?yàn)镽,故選B.] 5.已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=5,則實(shí)數(shù)a的值為________. 12 [由f(a)=5得=5,解得a=12.] 求函數(shù)的定義域 【例】 (1)(2019·黃山模擬)函數(shù)y=的定義域?yàn)?  ) A.(-2,1)     B.[-2,1] C.(0,1) D.(0,1] (2)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=的定義域是________. (3)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,],則函數(shù)y=f

6、(x)的定義域?yàn)開_______. (1)C (2)[0,1) (3)[-1,2] [(1)由題意得,解得0<x<1,故選C. (2)由0≤2x≤2,得0≤x≤1,又x-1≠0,即x≠1, 所以0≤x<1,即g(x)的定義域?yàn)閇0,1). (3)由函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,]得 -1≤x2-1≤2,即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,2].] [規(guī)律方法] 常見函數(shù)定義域的類型及求解策略 (1)已知函數(shù)解析式,構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解. (2)實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解. (3)抽象函數(shù): ①若已知函數(shù)f(x)的定義域

7、為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出; ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]時(shí)的值域; ③已知f[φ(x)]定義域?yàn)閇m,n],求f[h(x)]定義域,先求φ(x)值域[a,b],令a≤h(x)≤b,解出x即可. 易錯(cuò)警示:求定義域時(shí),對(duì)解析式不要化簡(jiǎn),求出定義域后一定要將其寫成集合或區(qū)間形式. (1)函數(shù)f(x)=+lg(3x+1)的定義域是(  ) A.     B. C. D. (2)已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],則f(x)的定義域?yàn)開_______. (1)A (

8、2) [(1)由題意可知解得∴-<x<1,故選A. (2)∵f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1], ∴≤2x≤2,即f(x)的定義域?yàn)?] 求函數(shù)的解析式 【例2】 (1)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,則f(x)=________. (2)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,則f(x)=________. (3)已知f(x)+2f=x(x≠0),則f(x)=________. (1)x2-x+2 (2)x2-5x+9 (3)- [(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x

9、+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即2ax+a+b=x-1, ∴即∴f(x)=x2-x+2. (2)法一(配湊法) f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4 =(2x+1)2-5(2x+1)+9, ∴f(x)=x2-5x+9. 法二(換元法) 令2x+1=t(t∈R),則x=, 所以f(t)=4-6×+5=t2-5t+9, 所以f(x)=x2-5x+9. (3)∵f(x)+2f =x,∴f +2f(x)=. 聯(lián)立方程組 解得f(x)=-(x≠0).] [規(guī)律方法] 求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系

10、數(shù)法; (2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍; (3)消去法:已知關(guān)于f(x)與f 或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式,通過解方程組求出f(x); (4)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),即得f(x)的表達(dá)式. (1)已知f(+1)=x+2,則f(x)=________. (2)已知f(x)是一次函數(shù),且2f(x-1)+f(x+1)=6x,則f(x)=________. (3)已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+2f(x)=2x,則f(x)=

11、________. (1)x2-1(x≥1) (2)2x+ (3) [(1)(換元法)設(shè)+1=t(t≥1),則=t-1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1). (配湊法)f(+1)=x+2=(+1)2-1, 又+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)∵f(x)是一次函數(shù), ∴設(shè)f(x)=kx+b(k≠0), 由2f(x-1)+f(x+1)=6x,得 2[k(x-1)+b]+k(x+1)+b=6x,即3kx-k+3b=6x, ∴ ∴k=2,b=,即f(x)=2x+. (3)由f(-x)+2f(x)=2x   

12、  ①, 得f(x)+2f(-x)=2-x ②, ①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x. 即f(x)=. ∴f(x)的解析式為f(x)=.] 分段函數(shù) ?考法1 求分段函數(shù)的函數(shù)值 【例3】 (1)若f(x)=,則f =(  ) A.-2  B.-3    C.9  D.-9 (2)已知函數(shù)f(x)=,則f 的值為(  ) A.-1 B.1 C. D. (1)C (2)B [(1)f =log3=-2, 則f =f(-2)=-2=9. (2)f =f +1=f +1+1=2cos-π+2=2×+2=1,故選B.] ?考法2 求參數(shù)或自變量的值

13、 【例4】 (1)已知f(x)=若f(a)=2,則實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.2 B.-1或2 C.±1或2 D.1或2 (2)設(shè)函數(shù)f(x)=若f =4,則b=(  ) A.1 B. C. D. (1)B (2)D [(1)由f(a)=2得 或 解得a=2或a=-1,故選B. (2)f =f =f . 當(dāng)-b<1,即b>時(shí),3×-b=4,解得b=(舍去).當(dāng)-b≥1,即b≤時(shí),2-b=4,解得b=.故選D.] ?考法3 解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式 【例5】 (1)(2019·青島模擬)設(shè)f(x)=若f(a)=f(a+1),則f=(  ) A.2 B.4 C

14、.6 D.8 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)+f >1的x的取值范圍是________. (1)C (2) [(1)法一:當(dāng)0<a<1時(shí),a+1>1, ∴f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 由f(a)=f(a+1)得=2a,∴a=. 此時(shí)f =f(4)=2×(4-1)=6. 當(dāng)a≥1時(shí),a+1>1, ∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,無解. 綜上,f =6,故選C. 法二:∵當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=,為增函數(shù), 當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=2(x-1),為

15、增函數(shù), 又f(a)=f(a+1), ∴=2(a+1-1), ∴a=. ∴f=f(4)=6. (2)當(dāng)x≤0時(shí),原不等式為x+1+x+>1,解得x>-, ∴-1,顯然成立. 當(dāng)x>時(shí),原不等式為2x+2x->1,顯然成立. 綜上可知,x的取值范圍是.] [規(guī)律方法] 1.求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個(gè)子集,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值. 2.已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時(shí),應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否

16、符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍. 易錯(cuò)警示:當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時(shí),應(yīng)分類討論. (1)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=(  ) A.3 B.6 C.9 D.12 (2)已知函數(shù)f(x)=若f(f(-1))=2,則實(shí)數(shù)m的值為(  ) A.1 B.1或-1 C. D.或- (3)設(shè)函數(shù)f(x)=則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________. (1)C (2)D (3)(-∞,8] [(1)∵-2<1, ∴f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3. ∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1==6.

17、 ∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故選C. (2)f(f(-1))=f(1+m2)=log2(1+m2)=2,m2=3,解得m=±,故選D. (3)當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,ex-10,所以2a-1=-1無解; ②若a>1,則-log2(a+1)=-3, 解得a+1=8,a=7, 所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-. 綜上所述,f(6-a)=-.故選A.] 2.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x的圖像過點(diǎn)(-1,4),則a=________. -2 [將已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a的值. ∵f(x)=ax3-2x的圖像過點(diǎn)(-1,4), ∴4=a×(-1)3-2×(-1),解得a=-2.] - 9 -

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