《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 文(含解析)北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 文(含解析)北師大版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一節(jié) 函數(shù)及其表示
[考綱傳真] 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).
1.函數(shù)與映射的概念
函數(shù)
映射
兩集合A,B
設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集
設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合
對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B
如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x,在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)
如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,B中總有唯一一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)
名稱
2、
稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射
記法
函數(shù)y=f(x),x∈A
映射:f:A→B
2.函數(shù)的有關(guān)概念
(1)函數(shù)的定義域、值域
在函數(shù)y=f(x),x∈A中,自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域;函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
(2)函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.
(3)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).
(4)函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.
3.分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同
3、而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各段函數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù).
求函數(shù)定義域的依據(jù)
(1)整式函數(shù)的定義域?yàn)镽;
(2)分式的分母不為零;
(3)偶次根式的被開方數(shù)不小于零;
(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
(5)正切函數(shù)y=tan x的定義域?yàn)椋?
(6)x0中x≠0;
(7)實(shí)際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外,還應(yīng)考慮實(shí)際問題本身的要求.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)是特殊
4、的映射. ( )
(2)函數(shù)y=1與y=x0是同一個(gè)函數(shù). ( )
(3)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn). ( )
(4)分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù). ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.(教材改編)函數(shù)y=+的定義域?yàn)? )
A. B.(-∞,3)∪(3,+∞)
C.∪(3,+∞) D.(3,+∞)
C [由題意知解得x≥且x≠3.]
3.設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(3))等于( )
A. B.3
C. D.
D [f(3)=,f(f(3))=f =+1=,故選D.]
4.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x+1是相
5、等函數(shù)的是( )
A.y=()2 B.y=+1
C.y=+1 D.y=+1
B [y=+1=x+1,且函數(shù)定義域?yàn)镽,故選B.]
5.已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=5,則實(shí)數(shù)a的值為________.
12 [由f(a)=5得=5,解得a=12.]
求函數(shù)的定義域
【例】 (1)(2019·黃山模擬)函數(shù)y=的定義域?yàn)? )
A.(-2,1) B.[-2,1]
C.(0,1) D.(0,1]
(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=的定義域是________.
(3)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,],則函數(shù)y=f
6、(x)的定義域?yàn)開_______.
(1)C (2)[0,1) (3)[-1,2] [(1)由題意得,解得0<x<1,故選C.
(2)由0≤2x≤2,得0≤x≤1,又x-1≠0,即x≠1,
所以0≤x<1,即g(x)的定義域?yàn)閇0,1).
(3)由函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,]得
-1≤x2-1≤2,即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,2].]
[規(guī)律方法] 常見函數(shù)定義域的類型及求解策略
(1)已知函數(shù)解析式,構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.
(2)實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.
(3)抽象函數(shù):
①若已知函數(shù)f(x)的定義域
7、為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出;
②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]時(shí)的值域;
③已知f[φ(x)]定義域?yàn)閇m,n],求f[h(x)]定義域,先求φ(x)值域[a,b],令a≤h(x)≤b,解出x即可.
易錯(cuò)警示:求定義域時(shí),對(duì)解析式不要化簡(jiǎn),求出定義域后一定要將其寫成集合或區(qū)間形式.
(1)函數(shù)f(x)=+lg(3x+1)的定義域是( )
A. B.
C. D.
(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],則f(x)的定義域?yàn)開_______.
(1)A (
8、2) [(1)由題意可知解得∴-<x<1,故選A.
(2)∵f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],
∴≤2x≤2,即f(x)的定義域?yàn)?]
求函數(shù)的解析式
【例2】 (1)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,則f(x)=________.
(2)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,則f(x)=________.
(3)已知f(x)+2f=x(x≠0),則f(x)=________.
(1)x2-x+2 (2)x2-5x+9 (3)- [(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x
9、+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即2ax+a+b=x-1,
∴即∴f(x)=x2-x+2.
(2)法一(配湊法)
f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4
=(2x+1)2-5(2x+1)+9,
∴f(x)=x2-5x+9.
法二(換元法)
令2x+1=t(t∈R),則x=,
所以f(t)=4-6×+5=t2-5t+9,
所以f(x)=x2-5x+9.
(3)∵f(x)+2f =x,∴f +2f(x)=.
聯(lián)立方程組
解得f(x)=-(x≠0).]
[規(guī)律方法] 求函數(shù)解析式的常用方法
(1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系
10、數(shù)法;
(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍;
(3)消去法:已知關(guān)于f(x)與f 或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式,通過解方程組求出f(x);
(4)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),即得f(x)的表達(dá)式.
(1)已知f(+1)=x+2,則f(x)=________.
(2)已知f(x)是一次函數(shù),且2f(x-1)+f(x+1)=6x,則f(x)=________.
(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+2f(x)=2x,則f(x)=
11、________.
(1)x2-1(x≥1) (2)2x+ (3) [(1)(換元法)設(shè)+1=t(t≥1),則=t-1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).
(配湊法)f(+1)=x+2=(+1)2-1,
又+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
(2)∵f(x)是一次函數(shù),
∴設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),
由2f(x-1)+f(x+1)=6x,得
2[k(x-1)+b]+k(x+1)+b=6x,即3kx-k+3b=6x,
∴
∴k=2,b=,即f(x)=2x+.
(3)由f(-x)+2f(x)=2x
12、 ①,
得f(x)+2f(-x)=2-x ②,
①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x.
即f(x)=.
∴f(x)的解析式為f(x)=.]
分段函數(shù)
?考法1 求分段函數(shù)的函數(shù)值
【例3】 (1)若f(x)=,則f =( )
A.-2 B.-3
C.9 D.-9
(2)已知函數(shù)f(x)=,則f 的值為( )
A.-1 B.1
C. D.
(1)C (2)B [(1)f =log3=-2,
則f =f(-2)=-2=9.
(2)f =f +1=f +1+1=2cos-π+2=2×+2=1,故選B.]
?考法2 求參數(shù)或自變量的值
13、
【例4】 (1)已知f(x)=若f(a)=2,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.2 B.-1或2
C.±1或2 D.1或2
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=若f =4,則b=( )
A.1 B.
C. D.
(1)B (2)D [(1)由f(a)=2得
或
解得a=2或a=-1,故選B.
(2)f =f =f .
當(dāng)-b<1,即b>時(shí),3×-b=4,解得b=(舍去).當(dāng)-b≥1,即b≤時(shí),2-b=4,解得b=.故選D.]
?考法3 解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式
【例5】 (1)(2019·青島模擬)設(shè)f(x)=若f(a)=f(a+1),則f=( )
A.2 B.4
C
14、.6 D.8
(2)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)+f >1的x的取值范圍是________.
(1)C (2) [(1)法一:當(dāng)0<a<1時(shí),a+1>1,
∴f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得=2a,∴a=.
此時(shí)f =f(4)=2×(4-1)=6.
當(dāng)a≥1時(shí),a+1>1,
∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,無解.
綜上,f =6,故選C.
法二:∵當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=,為增函數(shù),
當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=2(x-1),為
15、增函數(shù),
又f(a)=f(a+1),
∴=2(a+1-1),
∴a=.
∴f=f(4)=6.
(2)當(dāng)x≤0時(shí),原不等式為x+1+x+>1,解得x>-,
∴-1,顯然成立.
當(dāng)x>時(shí),原不等式為2x+2x->1,顯然成立.
綜上可知,x的取值范圍是.]
[規(guī)律方法] 1.求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個(gè)子集,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.
2.已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時(shí),應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否
16、符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
易錯(cuò)警示:當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時(shí),應(yīng)分類討論.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
(2)已知函數(shù)f(x)=若f(f(-1))=2,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.1 B.1或-1
C. D.或-
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________.
(1)C (2)D (3)(-∞,8] [(1)∵-2<1,
∴f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.
∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1==6.
17、
∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故選C.
(2)f(f(-1))=f(1+m2)=log2(1+m2)=2,m2=3,解得m=±,故選D.
(3)當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,ex-10,所以2a-1=-1無解;
②若a>1,則-log2(a+1)=-3,
解得a+1=8,a=7,
所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.
綜上所述,f(6-a)=-.故選A.]
2.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x的圖像過點(diǎn)(-1,4),則a=________.
-2 [將已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a的值.
∵f(x)=ax3-2x的圖像過點(diǎn)(-1,4),
∴4=a×(-1)3-2×(-1),解得a=-2.]
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