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1、 5. 6應(yīng)用一元一次方程--能追上小明嗎 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟． 2．能充分利用行程中的速度、路程、時(shí)間之間的關(guān)系列方程解應(yīng)用題． (二)能力訓(xùn)練要求 1．借助“線段圖”分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程，解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 2．進(jìn)一步體會(huì)方程模型的作用，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)． 3．培養(yǎng)學(xué)生文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言這三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換的能力． (三)情感與價(jià)值觀要求 通過(guò)開放性的問(wèn)題，為學(xué)生提供思維的空間，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，團(tuán)隊(duì)精神和克服困難的勇氣． ●教學(xué)重點(diǎn) 1．借助“線段圖”

2、分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系．從而建立方程，解決實(shí)際問(wèn)題． 用“線段圖”分析復(fù)雜問(wèn)題中的等量關(guān)系，從而建立方程． ●教學(xué)方法 教師啟發(fā)與學(xué)生自主探索相結(jié)合． 教師先從簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生用“線段圖”去尋找路程問(wèn)題中的等量關(guān)系，從而學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下自主探索復(fù)雜問(wèn)題的解決過(guò)程，建立數(shù)學(xué)模型． ●教具準(zhǔn)備 投影片三張 第一張：(記作§5．6A)填空 第二張：(記作§5．6B)想一想、試一試 第三張：(記作§5．6C)議一議 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ．提出問(wèn)題，引入新課 出示投影片(§5．6A) 做一做： 1．若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_____米． 2．小明用

3、4分鐘繞學(xué)校操場(chǎng)跑了兩圈(每圈400米)，那么他的速度為_____米/分． 3．小明家距離火車站1500米，他以4米/秒的速度騎車到達(dá)火車站需_____分鐘． ［師］上面3個(gè)小題都是關(guān)于路程、速度、時(shí)間的問(wèn)題，那么它們之間有何關(guān)系呢？ ［生］路程=速度×?xí)r間．知道這三個(gè)量中的兩個(gè)就可以求出另一個(gè)． ［師］很棒．那么我們就用這個(gè)同學(xué)所說(shuō)的關(guān)系來(lái)解答上面的三個(gè)小問(wèn)題． ［生］(1)已知速度、時(shí)間，求路程．所以小明5秒能跑4米/秒×5秒=20米． (2)已知時(shí)間、路程求速度．所以小明的速度為400米÷4分=100米/分． (3)已知路程、速度求時(shí)間．所以小明騎車到車站需要1500米÷

4、4米/秒=375秒=6．25分． ［師］下面我們就來(lái)根據(jù)路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系來(lái)討論幾個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題． Ⅱ．講授新課 出示投影片(§5．6B) 想一想，試一試 ［例1］小明和小彬每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米． (1)如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？ (2)如果小明站在百米跑道的起跑處，小彬站在他前面10米處，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小明能追上小彬？ ［師生共析］已知小彬和小明的速度分別為4米/秒，6米/秒． (1)兩人從百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，相遇時(shí)，兩人所跑的路程的和是100米．所以要解決這個(gè)問(wèn)題，必須抓住這個(gè)等量關(guān)

5、系．我們畫出線段圖，可以使他們的關(guān)系更加直觀，等量關(guān)系更加清晰．如下圖 所以等量關(guān)系為：小明所跑的路程+小彬所跑的路程=100米．接下來(lái)我們只要把這個(gè)等量關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)——方程表示出來(lái)即可．設(shè)兩人x秒后可相遇，則小明跑的路程就為6x米，小彬跑的路程為4x米，由此得到方程4x+6x=100． (2)如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，而小彬在他前面10米處，當(dāng)小明追上小彬時(shí)，小彬比小明少跑10米．在解決此問(wèn)題時(shí)，只要抓住這個(gè)等量關(guān)系便可．為了使問(wèn)題更直觀，我們不妨也用線段圖來(lái)表示，使等量關(guān)系更清晰．如下圖： 所 以等量關(guān)系為：小明跑的路程-小彬跑的路程=10米．如果設(shè)小明x秒可追上小

6、彬，則小明跑的路程為6x，小彬跑的路程為4x，則得到方程6x-4x=10． (由學(xué)生根據(jù)分析寫出解答過(guò)程) 解：(1)設(shè)小明和小彬x秒后相遇，根據(jù)題意得6x+4x=100， 解，得x=10 所以經(jīng)過(guò)10秒兩人相遇． (2)設(shè)小明x秒追上小彬，根據(jù)題意，得6x-4x=10 解，得x=5 所以小明5秒就追上了小彬． ［師］由例1我們可以看到，在審題的過(guò)程中，如果能把文字語(yǔ)言變成圖形語(yǔ)言——線段圖，可以使題中的等量關(guān)系“浮”出水面，最后我們只需設(shè)出未知數(shù)，把等量關(guān)系用符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)，便得到了方程． 在我們的生活中，一些同學(xué)養(yǎng)成一種很不好的習(xí)慣——丟三落四．常害得父母親操心．小明今

7、天就犯了這樣的錯(cuò)誤：小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分的速度出發(fā)．5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語(yǔ)文書．于是，小明的爸爸立即為180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．問(wèn)：(1)爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間？(2)追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？ 同學(xué)們可仿照例1的方法，畫出線段圖去分析題目中的等量關(guān)系． ［生］我認(rèn)為小明的爸爸追上小明時(shí)，他們父子二人所行駛的路程是相等的． ［師］你能到黑板上畫出這個(gè)問(wèn)題的線段圖嗎？ ［生］可以．如果設(shè)爸爸追上小明用了x分鐘，則可畫得線段圖：(黑板上板演) 所以，根據(jù)題意，小明5分鐘行駛的路程為：8

8、0×5米；爸爸開始追小明到追上，小明行駛的路程為80x米；小明的爸爸追上小明行駛的路程180x米．相等關(guān)系為：小明行駛的路程=爸爸行駛的路程即80×5+80x=180x． ［師］下面同學(xué)們?cè)谧约旱木毩?xí)本上完整地寫出解答過(guò)程． ［生］解：(1)設(shè)爸爸追上小明用了x分．根據(jù)題意，得180x=80x+80×5 化簡(jiǎn)，得100x=400 x=4 所以小明的爸爸用了4分鐘追上小明． (2)因?yàn)榘职肿飞闲∶餍旭偟穆烦虨?80×4=720米，1000-720=280米． 所以，追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有280米． ［師］通過(guò)做上面這個(gè)題，除了要學(xué)會(huì)用線段圖去尋找相等關(guān)系，從而建立模型——方程，

9、使問(wèn)題得到解決外．更重要的是有丟三落四的毛病的同學(xué)，要吸取小明的教訓(xùn)，自己的事自己處理好，免得父母操心． Ⅲ．議一議 出示投影片(§5．6C) 育紅學(xué)校七年級(jí)的學(xué)生步行到郊外旅行．(1)班的學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4千米/時(shí)，(2)班的學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6千米/時(shí)．前隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不斷地來(lái)回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12千米/時(shí)． 根據(jù)上面的事實(shí)提出問(wèn)題并嘗試解答． (這是一個(gè)開放性問(wèn)題，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生交流、討論，然后大膽地提出問(wèn)題，并試著利用方程去解決，并與同伴交流自己的問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程) ［生］我提出的問(wèn)題是：后隊(duì)用多長(zhǎng)時(shí)

10、間可以追上前隊(duì)？ ［生］這個(gè)問(wèn)題可用方程來(lái)解，只要找到這個(gè)問(wèn)題等量關(guān)系即可．根據(jù)題意畫線段圖如下： 如果設(shè)后隊(duì)x小時(shí)可追上前隊(duì)，那么后隊(duì)行駛的路程為6x千米，前隊(duì)行駛的路程為(4×1+4x)千米．根據(jù)線段圖可知：前隊(duì)行駛路程=后隊(duì)行駛的路程，由此可得方程6x=4×1+4x． ［師］這位同學(xué)分析得很到位．下面請(qǐng)一位同學(xué)完整地寫出過(guò)程． ［生］解：設(shè)前隊(duì)被后隊(duì)追上用了x小時(shí)，根據(jù)題意，得6x=4×1+4x 解，得x=2 所以前隊(duì)被后隊(duì)追上需2小時(shí)． ［生］后隊(duì)在追前隊(duì)時(shí)，后隊(duì)派了一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車不停地在兩隊(duì)之間來(lái)回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，那么這位聯(lián)絡(luò)員行了多少千米的路程． ［師］這個(gè)問(wèn)題提

11、得非常好．如何解決呢？同學(xué)們可以先討論一下，也許解決起來(lái)不困難． ［生］我們認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題從整體上考慮較易．因?yàn)槁?lián)絡(luò)員的速度是12千米/時(shí)，而且聯(lián)絡(luò)員是后隊(duì)出發(fā)時(shí)，派他在兩隊(duì)之間不間斷地來(lái)回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，由此我們知道聯(lián)絡(luò)員用去的時(shí)間恰好就是后隊(duì)追上前隊(duì)的時(shí)間即2小時(shí)，所以聯(lián)絡(luò)員行駛的路程為12×2=24千米． ［師］你真棒！我們祝賀你，在困難面前，你是一個(gè)勝利者．大家應(yīng)該向你學(xué)習(xí)．老師相信，我們每一位同學(xué)在遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，一定能樹立信心，樹立克服困難的勇氣． ［生］我還可以提出一個(gè)問(wèn)題嗎？ ［師］完全可以．我們歡迎他提出問(wèn)題． ［生］當(dāng)聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)后，往回返，當(dāng)他和后隊(duì)相遇時(shí)，后

12、隊(duì)離出發(fā)地有多遠(yuǎn)？ ［師］同學(xué)們可以討論，并相互交流一下自己的想法． ［生］我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題要分兩步完成： 第一步：設(shè)聯(lián)絡(luò)員x小時(shí)后可追上前隊(duì)，畫線段圖如下： 根據(jù)題意，可得12x=4×1+4x 解，得x= 所以聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)用了小時(shí)． 第二步：這時(shí)，后隊(duì)離出發(fā)點(diǎn)6千米/時(shí)×小時(shí)=3千米．離前隊(duì)有(1+)×4-3=3千米．設(shè)y小時(shí)后，聯(lián)絡(luò)員又碰上了后隊(duì)，畫線段圖如下： 根據(jù)題意，可得6y+12y=4×(1+)-6× 解，得y=． 所以此時(shí)后隊(duì)離開出發(fā)點(diǎn)6×+6×=4千米． ［師］看來(lái)，同學(xué)們已能面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題．祝賀你們．關(guān)于這個(gè)題還能提出好多問(wèn)題，同學(xué)們?nèi)粲信d趣

13、，課余時(shí)間可繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，相信你們會(huì)有很大的收獲． Ⅳ．課時(shí)小結(jié) 我們這節(jié)課學(xué)會(huì)了用線段圖來(lái)形象直觀地表達(dá)題意，找到等量關(guān)系．更可喜的是，我們面對(duì)開放性的問(wèn)題，能夠積極思維，大膽創(chuàng)新，這節(jié)課將是一節(jié)很難忘的課． Ⅴ．課后作業(yè) 1．習(xí)題5．9． 2．繼續(xù)合作完成P173議一議，大膽嘗試著去提出問(wèn)題，解決問(wèn)題． Ⅵ．活動(dòng)與探究 8個(gè)人分別乘兩輛小汽車趕往火車站，其中一輛小汽車在距離火車站15千米的地方出了故障，此時(shí)離火車站停止檢票的時(shí)間還有42分鐘，這時(shí)惟一可以利用的交通工具只有一輛小汽車，連司機(jī)在內(nèi)限乘5人，這輛小汽車的平均速度為60千米/時(shí)．這8個(gè)人能趕上火車嗎？ 過(guò)程：這是開放性

14、的問(wèn)題，為學(xué)生提供了思維的空間．可以分多種情形討論． 第一種情形：小汽車分2批送8個(gè)人．如果第2批人在原地不動(dòng)． 第二種情形：如果在汽車送第一批人的同時(shí)，其他人先步行，可節(jié)省一點(diǎn)時(shí)間． 第三種情形：如果這輛汽車行駛到途中一定位置放下第一批人，然后掉頭再接另一批人使得兩批人同時(shí)到達(dá)火車站，比較省時(shí)． 結(jié)果：第一種情形：小汽車需來(lái)回走15×3=45(千米)，所需時(shí)間為45÷60= (小時(shí))=45分>42分．因此單靠汽車來(lái)回接送無(wú)法使8人趕上火車． 第二種情形：如果設(shè)這些步行的速度為5千米/時(shí)，汽車送完第1批人后，用了x小時(shí)與第二批人相遇，根據(jù)題意有：5x+60x=15-×5，解得x=，從

15、汽車出故障開始，第二批人到達(dá)火車站要用+2×=小時(shí)<42分．因此不計(jì)其他時(shí)間的話，這8人能趕上火車． 第三種情形：如果這輛汽車行駛到途中，一定位置放下第一批人，然后掉頭再接另一批人，使得兩批人同時(shí)到達(dá)火車站，那么比較省時(shí)，需要37分． ●板書設(shè)計(jì) 能追上小明嗎 一、問(wèn)題提出 三、議一議 距離=速度×?xí)r間 問(wèn)題一： 二、想一想、試一試 問(wèn)題二： (學(xué)生板演) 問(wèn)題三 ●備課資料 (一)學(xué)會(huì)解開放題 隨著素質(zhì)教育的不斷深入，考查學(xué)生靈活運(yùn)用的綜合能力成為熱點(diǎn)．而開放性問(wèn)題有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用能力和創(chuàng)造性思維能力． ［例1］按要求運(yùn)用數(shù)字13

16、5和25%編一道應(yīng)用題，要求：(1)要聯(lián)系市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，其解符合實(shí)際．(2)數(shù)25%要用兩次．(3)列出的方程是一元一次方程，寫出這道應(yīng)用題的整個(gè)解的過(guò)程． 解：依據(jù)題目要求可編出應(yīng)用題： 某個(gè)體商店同時(shí)出售兩件衣服，每件售價(jià)都是135元，按進(jìn)價(jià)核算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%．試問(wèn)在這次銷售中，商店是虧還是賺？ 解這道應(yīng)用題，設(shè)其中一件進(jìn)價(jià)x元，另一件進(jìn)價(jià)y元，由題意，得 x(1+25%)=135，則x=108； y(1-25%)=135，則y=180． ∴2×135-(x+y)=-18 因此是虧，虧了18元． 根據(jù)題目要求還可編出一道應(yīng)用題： 某商店降價(jià)25%后，又

17、提價(jià)25%，該商品現(xiàn)價(jià)為135元，問(wèn)該商品原價(jià)多少元？ 解：設(shè)該商品原價(jià)x元，則 (1-25%)(1+25)x=135． 解，得x=144 所以該商品原價(jià)是144元． ［例2］下面是工廠各部門提供的信息： 人事部：明年生產(chǎn)工人不多于800人，每年每人工時(shí)按2400工時(shí)計(jì)算； 市場(chǎng)部：預(yù)測(cè)明年的產(chǎn)品銷量是10000~12000件； 技術(shù)部：該產(chǎn)品平均每件需用120工時(shí)，每件需要裝4個(gè)某種主要部件； 供應(yīng)部：今年年終庫(kù)存某種主要部件6000個(gè)，明年可采購(gòu)到這種部件60000個(gè)． 請(qǐng)判斷：(1)工廠明年的生產(chǎn)量至多為多少件？(2)為減少積壓，至多裁減多少人用于開發(fā)其他新產(chǎn)品．

18、解：(1)據(jù)人事部、技術(shù)部、供應(yīng)部的信息，明年生產(chǎn)量為x件，則 4x=6000+60000，解得x=16500 120x=800×2400，解得x=16000 受工時(shí)限制x應(yīng)取16000． (2)據(jù)市場(chǎng)部信息，設(shè)應(yīng)裁減y人，則 2400(800-y)=12000×120 解，得y=200．應(yīng)裁減200人． (二)參考練習(xí) 列方程解應(yīng)用題 1．甲、乙兩人騎自行車，同時(shí)從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為17．5千米/時(shí)，乙的速度為15千米/時(shí)，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩人相距32．5千米？ 2．在一直的長(zhǎng)河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時(shí)由A地順流而下，乙船到B地時(shí)接到通知需立即返回到C地執(zhí)行任

19、務(wù)，甲船繼續(xù)順流航行，已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時(shí)7．5千米，水流速度為每小時(shí)2．5千米，A、C兩地間的距離為10千米．如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用了4小時(shí)，問(wèn)乙船從B地到達(dá)C地時(shí)，甲船駛離B地有多遠(yuǎn)？ 答案：1．解：(1)相遇前經(jīng)過(guò)x小時(shí)，甲、乙二人相距32．5千米，根據(jù)題意，得： (17．5+15)x+32．5=65 x=1 (2)相遇后甲乙繼續(xù)前進(jìn)，設(shè)從出發(fā)到相遇后經(jīng)過(guò)x小時(shí)相距32．5千米，根據(jù)題意，得 (17．5+15)x-32．5=65 x=3 所以經(jīng)過(guò)1小時(shí)或3小時(shí)甲、乙兩人相距32．5千米． 2．解：設(shè)乙船由B地航行到C地用了x小時(shí)，那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了(4-x)小時(shí)． (1)若C地在A、B兩地之間，有 (4-x)(7．5+2．5)-x(7．5-2．5)=10 解，得x=2 10×2=20千米 (2)若C地不在A、B兩地之間，有 x(7．5-2．5)-(4-x)(7．5+2．5)=10 解，得x= 10×＝千米． 所以乙船從B地到達(dá)C地時(shí)甲船駛離B地有20千米或千米．