《數(shù)學(xué)第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 文（38頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例總綱目錄教材研讀1.平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積(1)向量向量a與與b的夾角的夾角:已知兩個(gè)非零向量a,b,過(guò)O點(diǎn)作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當(dāng)=90時(shí),a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時(shí),a與b同向;當(dāng)=180時(shí),a與b反向.(2)a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b

2、,它們的夾角為,則把數(shù)量|a|b|cos叫做a和bOAOB教材研讀教材研讀的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b|cos.(3)規(guī)定規(guī)定0a=0.(4)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影設(shè)是a與b的夾角,則|a|cos叫做a在b的方向上的投影,|b|cos叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是向量.(5)ab的幾何意義的幾何意義ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos.(2)ab

3、ab=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|.當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(4)cos=.(5)|ab|a|b|.| |a bab3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.(4)若a=(

4、x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則abx1x2+y1y2=0. 22xyAB222121()()xxyy1.(2016北京海淀二模)已知向量a=(1,2),b=(2,t),且ab=0,則|b|=()A.B.2C.2D.5525答案答案Aa=(1,2),b=(2,t)且ab=0,2+2t=0,t=-1.b=(2,-1).故|b|=.222( 1) 5A2.(2017北京西城二模)設(shè)向量a=(2,1),b=(0,-2),則與a+2b垂直的向量可以是()A.(3,2)B.(3,-2)C.(4,6)D.(4,-6)答案答案A由題意,可知a+2b=(2,-3).利用兩非零向量數(shù)量積為

5、0可推出兩向量垂直,檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng),只有A符合題意.A3.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)b=0,則a與b的夾角為()A.30B.60C.120D.150答案答案C設(shè)a與b的夾角為,(2a+b)b=0,2ab+b2=0,2|a|b|cos+b2=0,又|a|=|b|,2|a|2cos+|a|2=0,cos=-,又0180,=120.故選C.12C4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,如果小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,那么ab=.4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,如果小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,那么ab=.答案答案44解

6、析解析以a的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),a的方向?yàn)閤軸的正方向,建平面直角坐標(biāo)系,則a=(2,0),b=(2,-1),ab=4.5.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),則a與b夾角的大小為.33答案答案解析cos=,a與b夾角的大小為.6| |a bab133 12 23266考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)(2017北京朝陽(yáng)期中)已知三角形ABC外接圓的半徑為1(O為圓心),且+=0,|=2|,則等于()A.-B.-C.D.(2)(2017北京豐臺(tái)一模)如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=CD=

7、1,P是AB的中點(diǎn),則=.OBOCOAABCABC1543415434DPAB答案答案(1)A(2)-1解析解析(1)三角形ABC外接圓的半徑為1(O為圓心),且+=0,O為BC的中點(diǎn),BC為圓O的直徑,故ABC是直角三角形,BAC為直角,OA=OC=1.又|=2|,|=,|=2,|=,cosC=.=-=-|cosC=-2=-.故選A.(2)如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸建立平面直角OBOCOAABAB12BCAC1522222ACOCOAAC OC15415212154CABCACBCACBC152154154坐標(biāo)系.由題意知D(0,0),A(2,0),B(1,1)

8、,C(0,1).P是AB的中點(diǎn),P,=,=(-1,1).3 1,2 2DP3 1,2 2AB=-+=-1.DPAB3212方法技巧方法技巧(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算;利用數(shù)量積的幾何意義.(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí),可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)再運(yùn)算,但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).另外,解決此類問(wèn)題時(shí),可建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示求解.1-1(2016北京朝陽(yáng)期中)在ABC中,已知=4,|=3,M,N分別是BC邊上的三等分點(diǎn),則的值是()A.5B.C.6D.8ABACBCAMAN214C答案答案

9、C如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為O,連接AO.由=4,|=3,可得(+)(+)=(+)(-)=-=-=4,=.=(+)(+)=(+)(-)=-=-=6.ABACBCAOOBAOOCAOOBAOOB2AO2OB2AO2322AO254AMANAOOMAOONAOOMAOOM2AO2OM254212故選C.1-2(2016北京石景山一模)如圖所示,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā),按字母順序DABC沿線段DA,AB,BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),在此過(guò)程中,的最大值是()A.0B.C.1D.-1DECD12A答案答案A建系如圖.則B(0,0),C(1,0),D(1,1),A(0,1).設(shè)E(x,y)(0 x1

10、,0y1).=(x-1,y-1),=(0,1),=y-1(0y1).當(dāng)y=1時(shí),有最大值,為0.DECDDECDDECD典例典例2(1)已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為,那么|4a-b|=()A.2B.6C.2D.12(2)(2015北京西城一模)已知平面向量a,b滿足a=(1,-1),(a+b)(a-b),那么|b|=.33考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題角度一模的問(wèn)題命題角度一模的問(wèn)題答案答案(1)C(2)2解析解析(1)|4a-b|2=16a2+b2-8ab=161+4-812cos=12,|4a-b|=2.(2)(a+b)(a-b),(a+b)(a-b

11、)=0,即a2-b2=0,所以|b|=|a|=.332命題角度二垂直問(wèn)題命題角度二垂直問(wèn)題典例典例3(2016北京朝陽(yáng)二模)已知向量a=(1,2),向量b=(2,m),若a+b與a垂直,則實(shí)數(shù)m的值為.答案答案-72-72解析解析a=(1,2),b=(2,m),a+b=(3,2+m).a+b與a垂直,(a+b)a=0.3+2(2+m)=0.m=-.72典例典例4(1)(2016課標(biāo)全國(guó),3,5分)已知向量=,=,則ABC=()A.30B.45C.60D.120(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夾角為,則實(shí)數(shù)m=()A.2B.C.0D.-(3)(2017北京朝陽(yáng)二模)已知

12、平面向量a,b滿足(a+b)(2a-b)=-4,且|a|=2,|b|=4,則a與b的夾角等于.BA13,22BC3 1,2236333命題角度三夾角問(wèn)題命題角度三夾角問(wèn)題答案答案(1)A(2)B(3)3解析解析(1)cosABC=,所以ABC=30,故選A.(2)a=(1,),b=(3,m),|a|=2,|b|=,ab=3+m,又a,b的夾角為,=cos,即=,+m=,解得m=.(3)(a+b)(2a-b)=2|a|2+ab-|b|2=-4,| |BA BCBABC32329m36| |a bab62332 9mm32329m3則ab=-4-2|a|2+|b|2=4.設(shè)a與b的夾角為,0,co

13、s=.=.| |a bab123方法技巧方法技巧平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的夾角:cos=,要注意0,.(2)兩向量垂直的應(yīng)用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),則|a|=.| |a baba a2()ab222aa bb 22xy2-1(2015北京西城期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,3),B(-2,k),若向量,則實(shí)數(shù)k=()A.4B.3C.2D.1OAAB2-1(2015北京西城期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,3),B(-2,k),若向量

14、,則實(shí)數(shù)k=()A.4B.3C.2D.1OAAB解析解析A易知=(1,3),=(-3,k-3),=0,即1(-3)+3(k-3)=0,解得k=4.故選A.OAABOAABOAABA2-2(2015北京朝陽(yáng)一模)已知和是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量,它們的夾角為60,則2-與的夾角是()A.30B.60C.90D.120ABACABACCA答案答案C設(shè)2-與的夾角為,則cos=,因?yàn)榕c是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量,所以|=1,|=1,則(2-)=-(2-)=-2+=-2|cos60+|2=0,所以cos=0,又0180,所以=90,故選C.ABACCA(2)|2| |ABACCAABACCAABACABACA

15、BACCAABACACABAC2ACABACACC2-3(2015北京海淀一模)已知單位向量a與向量b=(1,-1)的夾角為,則|a-b|=.4答案答案1解析解析b=(1,-1),|b|=.又|a|=1,a與b的夾角為,|a-b|=1.242()ab222aa bb 22212 12( 2)2 1典例典例5(2015北京石景山期末)已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),xR,函數(shù)f(x)=a(b-c).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f=,求sin的值.222考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的

16、綜合問(wèn)題解析解析(1)因?yàn)閎=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),則f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.則當(dāng)2k+2x-2k+,kZ,即k+xk+,kZ時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,kZ.224x2432387837,88kk(2)由(1)知f(x)=sin,因?yàn)閒=,所以sin=,sin=.因?yàn)閟in2+cos2=1

17、,所以cos=.sin=sin=sincos+cossin.所以當(dāng)cos=時(shí),sin=+=;當(dāng)cos=-時(shí),224x22224224124443244444443212223222624432sin=+=.12223222264方法技巧方法技巧平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式時(shí),先運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解.(2)當(dāng)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式時(shí),其解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等.3-1已知向量a=,b=,且x.(1)求ab及|

18、a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.33cos,sin22xxcos, sin22xx,3 4 解析解析(1)ab=coscos-sinsin=cos2x.a+b=,|a+b|=2|cosx|.x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2-.32x2x32x2x33coscos,sinsin2222xxxx2233coscossinsin2222xxxx22cos2x,3 4 21cos2x32x,cosx1,當(dāng)cosx=時(shí),f(x)取得最小值-;當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)取得最大值-1.,3 4 121232