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備 課 教 案 第 一 周 星期五 課 題 函數(shù) 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的幾何特性，為研究微分做好準(zhǔn)備。掌握基本初等函數(shù)的各種狀態(tài)，為研究更深一步的函數(shù)作準(zhǔn)備。 重 點(diǎn) 函數(shù)的概念，函數(shù)的幾何特性，各種基本初等函數(shù)的性態(tài)。 難 點(diǎn) 反函數(shù)的理解，分段函數(shù)的理解，復(fù)合函數(shù)的理解。 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 同學(xué)們就以前學(xué)過的函數(shù)的知識(shí)談?wù)勛约簩?duì)函數(shù)的理解。 三、講授新課 一、 函數(shù)的概念： 1、 函數(shù)的定義： 1） Def：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是給定的非空數(shù)集。若對(duì)于每一個(gè)數(shù)xD，按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則f，變量y總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x), xD。 Note：（1）x稱為自變量, y稱為因變量或函數(shù)； （2）D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D； （3）f稱為函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則； （4）集合{ y|y=f(x), xD}稱為值域。 當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)取定某確定值x0時(shí)，因變量y按照所給函數(shù)關(guān)系求出的對(duì)應(yīng)值y0叫做當(dāng)x= x0時(shí)的函數(shù)值，記作或f (x0) 例1：已知，求 解： 例2：求下列函數(shù)的定義域 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）在分式中，分母不能為零，所以，解得，且 即定義域?yàn)椤? （2）在偶次方根中，被開方式必須大于等于零，所以，解得即定義域?yàn)? （3）在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于零，所以，解得，即定義域?yàn)? （4）反正弦或反余弦中的式子的絕對(duì)值必須小于等于1，所以有，解得，即定義域?yàn)閇0，1] （5）該函數(shù)為（3）（4）兩例中函數(shù)的代數(shù)和，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（4）兩例中定義域的交集，即 小結(jié)：定義域的求解原則： （1） （2） （3） （4） （5）同時(shí)含有上述四種情況的人以兩種或兩種以上時(shí)，要求各部分都成立的交集。 2）鄰域： 設(shè)為兩個(gè)實(shí)數(shù)，，則稱滿足不等式即以為中心的開區(qū)間為點(diǎn)的鄰域。 點(diǎn)為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑。 四、練習(xí)： 求下列函數(shù)的定義域： （1） （2） （3） （4） （5） 五、歸納小結(jié) 本節(jié)主要復(fù)習(xí)了函數(shù)的定義及函數(shù)定義域值域的求法。這部分內(nèi)容的掌握將為我們以后的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。 課后作業(yè)： 1、求函數(shù)的定義域；2、作函數(shù)的圖像 反 思 錄： 備 課 教 案 第 二 周 星期三 課 題 函數(shù) 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 （1）理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念。 （2）掌握函數(shù)的特性。 重 點(diǎn) 函數(shù)特性的理解。 難 點(diǎn) 函數(shù)特性的理解。 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 1、什么叫做函數(shù)？ 2、求下列函數(shù)的定義域及值域。 （1） （2） 三、講授新課 分段函數(shù) 對(duì)于自變量的不同取值范圍，又不完全相同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。 例3：函數(shù). 這是一個(gè)分段函數(shù), 其定義域?yàn)镈=[0, 1](0, +)= [0, +). 當(dāng)0x1時(shí), ; 當(dāng)x>1時(shí), y=1+x. ; ; f(3)=1+3=4. Note：（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)； （2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。 3、顯函數(shù)和隱函數(shù) 若函數(shù)中的因變量y用自變量x的表達(dá)式直接表示出來，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)。 一般地，若兩個(gè)變量x,y的函數(shù)關(guān)系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函數(shù)關(guān)系隱藏在方程里，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù)。 例如： 有的隱函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，由隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)的過程叫做隱函數(shù)的顯化。 二、函數(shù)的幾種特性： 1、函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈, 數(shù)集XD. 如果存在數(shù)K1, 使對(duì)任一xX, 有f(x)K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界. 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對(duì)任一xX, 有f(x) K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對(duì)任一xX, 有| f(x) |M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無界, 就是說對(duì)任何M, 總存在x1X, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. 或者說它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無上界. 這是因?yàn)? 對(duì)于任一M>1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. 2、函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間I D. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1 f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(-, 0]上是單調(diào)增加的, 在區(qū)間[0, +)上是單調(diào)減少的, 在（-, +）上不是單調(diào)的. 3、函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若xD, 則-xD). 如果對(duì)于任一xD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果對(duì)于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). 例4： 判斷函數(shù)的奇偶性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)镈=,又因?yàn)? 所以函數(shù)是奇函數(shù). 4、函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)正數(shù)l , 使得對(duì)于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x) 則稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點(diǎn): 在函數(shù)的定義域內(nèi), 每個(gè)長度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 例如,的周期,的周期,正弦型曲線函數(shù)的周期為. 四、練習(xí) 已知函數(shù)，求f(0.04)和f(9)。 五、歸納小結(jié) 本節(jié)主要總結(jié)了函數(shù)的幾種特性，適當(dāng)時(shí)候可以結(jié)合圖像來分析理解。 課后作業(yè)： 求函數(shù) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 三 周 星期五 課 題 基本初等函數(shù) 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 （1）理解反函數(shù)，會(huì)求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。 （2）掌握五類基本初等函數(shù)。 重 點(diǎn) 掌握五類基本初等函數(shù)。 難 點(diǎn) 理解反函數(shù)，會(huì)求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 1、計(jì)算： ；；；；；； 2、怎樣畫函數(shù)的圖像？ 三、講授新課 一、初等函數(shù) 1、反函數(shù) 定義1.1 設(shè)函數(shù).若對(duì)于任意一個(gè),D中都有惟一的一個(gè),使得成立,這時(shí)是以Z為定義域的的函數(shù),稱它為的反函數(shù),記作. 在函數(shù)中, 是自變量,表示函數(shù).但按照習(xí)慣,我們需對(duì)調(diào)函數(shù)中的字母,,把它改寫成 . 今后凡不特別說明,函數(shù)的反函數(shù)都是這種改寫過的形式. 函數(shù)與互為反函數(shù),它們的定義域與值域互換. 在同一直角坐標(biāo)系下, 與互為反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱。 例如,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),其圖形如圖1.1所示,關(guān)于直線對(duì)稱. 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖形在同一坐標(biāo)系中是關(guān)于直線對(duì)稱的.如圖1.2所示. 1 -2 0 1 0 1 -2 　　　　　　　 圖　1.1 　 圖　1.2 定理１.１（反函數(shù)存在定理）　單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的. 求反函數(shù)可以按以下步驟進(jìn)行: (1) 從方程中解出惟一的,并寫成; (2) 將中的字母對(duì)調(diào),得到函數(shù),這就是所求的函數(shù)的反函數(shù). 2 . 復(fù)合函數(shù) 定義1.2 假設(shè)有兩個(gè)函數(shù),與對(duì)應(yīng)的值能使有定義,將代入,得到函數(shù).這個(gè)新函數(shù)就叫做是由和經(jīng)過復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),稱為中間變量. 例如,由可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù). 復(fù)合函數(shù)不僅可用兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成,也可以有多個(gè)函數(shù)相繼進(jìn)行復(fù)合而成.如由可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù). 需要指出,不是任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).由定義易知,只有當(dāng)?shù)闹涤蚺c的定義域的交集非空時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).例如函數(shù)和就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).因?yàn)?的值域?yàn)?而的定義域?yàn)?，顯然無意義. 3 . 基本初等函數(shù) 我們學(xué)過的五類函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 為了便于應(yīng)用,下面就其圖像和性質(zhì)作簡要的復(fù)習(xí).參看表1-1 . 表1-1 基本初等函數(shù)及圖像性質(zhì) 序號(hào) 函數(shù) 圖像 性質(zhì) 1 冪函數(shù) 　 　 (1,1) 0 　 在第一象限，時(shí)函數(shù)單增；時(shí)函數(shù)單減．都過點(diǎn)（1，1） 2 指數(shù)函數(shù) 　 1 0 時(shí)函數(shù)單增；時(shí)函數(shù)單減． 共性：過（0，1）點(diǎn)，以軸為漸近線 3 對(duì)數(shù)函數(shù) 0 　1 時(shí)函數(shù)單增；時(shí)函數(shù)單減． 共性：過（1，0）點(diǎn)，以軸為漸近線 4 三角函數(shù) 正弦函數(shù) 　 1 - 　 0 　 -1 奇函數(shù),周期T=2,有界 余弦函數(shù) 　 1 - 0 　 -1 偶函數(shù),周期T=2,有界 正切函數(shù) 　- 0　 奇函數(shù),周期T=,無界 余切函數(shù) 　　 - - 　0 奇函數(shù),周期T=,無界 5 反三角函數(shù) 反正弦函數(shù) 　 -1 0 　1 　 　- 奇函數(shù)，單調(diào)增加，有界 反余弦函數(shù) -1 0 1 ,單調(diào)減少，有界 反正切函數(shù) 0 奇函數(shù)，單調(diào)增加，有界，為兩條水平漸近線 反余切函數(shù) 0 單調(diào)減少，有界，為兩條水平漸近線 四、練習(xí) 1、基本初等函數(shù)有哪幾類？ 2、是不是所有函數(shù)都有反函數(shù)？ 五、歸納小結(jié) 這一節(jié)課我們復(fù)習(xí)了五類基本初等函數(shù)，它們的性質(zhì)可以結(jié)合圖像來理解和記憶。 課后作業(yè)： 指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）構(gòu)成？ (1) (2) (3) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 三 周 星期三 課 題 初等函數(shù) 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 理解初等函數(shù)的定義，并能把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)；也能把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。 重 點(diǎn) 把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)和把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。 難 點(diǎn) 把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)和把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 填空： 1、糾正作業(yè)。 2、畫出五種基本初等函數(shù)的草圖。 三、講授新課 定義1.3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所構(gòu)成的，并能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù). 【例1．4】 下列函數(shù)是由哪幾個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的. （1） （2） （3） 解 （1）令，則. 于是 是由，復(fù)合而成的. （2） 令，，則. 所以 是由，，復(fù)合而成的. （3） 令，，則. 所以 是由 ，，復(fù)合而成的. 本課程研究的函數(shù)，主要是初等函數(shù).凡不是初等函數(shù)的函數(shù)，皆稱為非初等函數(shù). 【例1．5】將下列幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合成一個(gè)初等函數(shù)。 （1） . （2） （3），， 四、練習(xí) 將下列幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合成一個(gè)初等函數(shù)。 （1） . （2） （3）， 五、歸納小結(jié) 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 注意：要掌握好將一個(gè)初等函數(shù)分解成較簡單函數(shù)，其步驟是自外層向內(nèi)層逐層分解，切忌漏層。 課后作業(yè)： 2、判定下列函數(shù)的奇偶性？ (1) (2) (3) 3、作下列函數(shù)的圖像？ (1) (2) (3) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 三 周 星期五 課 題 常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù) 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1、理解幾個(gè)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù) 2、會(huì)用函數(shù)的知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問題 重 點(diǎn) 理解經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義及應(yīng)用 難 點(diǎn) 運(yùn)用經(jīng)濟(jì)函數(shù)解決經(jīng)濟(jì)問題 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 函數(shù)是由 ， 這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。 三、講授新課 經(jīng)濟(jì)函數(shù)主要包括： 1、需求函數(shù)q(p) (p為價(jià)格) 2、成本函數(shù)C(q) 3、收入函數(shù)R(q) 4、利潤函數(shù)L(q) 1 需求函數(shù)與價(jià)格函數(shù) 1.1 線性需求函數(shù) 1.2 二次曲線需求函數(shù) 1.3 指數(shù)需求函數(shù) 注：一般地，需求量隨價(jià)格上漲而減少。因此，通常需求函數(shù)是價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)。 價(jià)格函數(shù)反映商品需求和價(jià)格的關(guān)系。 2 供給函數(shù) 一般地，商品供給量隨商品價(jià)格的上漲而增加。因此，商品供給函數(shù)是商品價(jià)格的單調(diào)增加函數(shù)。 3 總成本函數(shù)（單調(diào)增加函數(shù)） 注：生產(chǎn)成本包括固定成本和可變成本。 4 收入函數(shù)利潤函數(shù) 總收入和平均收入，其中是商品的價(jià)格函數(shù)，它們均是出售商品數(shù)量的函數(shù)。 總利潤和平均利潤，均是產(chǎn)量的函數(shù) 注：利潤函數(shù)出現(xiàn)的三種情況： （1） 有盈余生產(chǎn) （2） 虧損生產(chǎn) （3） 無盈虧生產(chǎn)，此時(shí)的產(chǎn)量稱為無盈虧點(diǎn)（保本點(diǎn)）。 經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用 例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬元，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元，若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元，試求： (1) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本； (2) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入； (3) 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？ 解：（1）生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本為： 平均成本為 （2）售出x件該種產(chǎn)品的總收入為 （3）生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤為 四、練習(xí) 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為3萬元，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為10元，若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為50元，試求： 1、生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本； 2、售出x件該種產(chǎn)品的總收入； 3、若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？ 五、歸納小結(jié) 本次課的重要性在于引導(dǎo)學(xué)生，在經(jīng)濟(jì)分析中使用數(shù)學(xué)方法往往能夠簡化實(shí)際問題，能夠更方便快捷的解決實(shí)際問題。 課后作業(yè)： 1、生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為5萬元，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為10元，若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元，試求： (4) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本； (5) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入； 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？ 2、預(yù)習(xí)第二章“極限” 反 思 錄： 備 課 教 案 第 四 周 星期三 課 題 極限的概念 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念。 2.熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件 3.理解無窮大、無窮小的概念， 4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會(huì)用無窮小量的性質(zhì)求極限 重 點(diǎn) 函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無窮大量與無窮小量的概念及性質(zhì). 難 點(diǎn) 1.函數(shù)極限的定義 2.無窮大量與無窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 一、導(dǎo)入新課 1.寫出下列函數(shù)的復(fù)合過程 （1） （2） 思考：若，當(dāng)無限的靠近1時(shí)，值怎樣變化？ 二、講授新課 （一）函數(shù)的極限 （1）定義 函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x無限接近于某個(gè)目標(biāo)時(shí)（一個(gè)數(shù)x，或+或—），因變量y無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)以A為極限。 規(guī)定： x從x的左右兩側(cè)無限接近于x,記x x x從x的左兩側(cè)無限接近于x,記x x x從x的右兩側(cè)無限接近于x,記x x x無限增大時(shí)，用記號(hào)x + x無限減小時(shí)，用記號(hào)x — 無限增大時(shí)，用記號(hào)x （2）點(diǎn)x的鄰域 N(x，)=(x—，x+)，其中很小的正數(shù)， X的去心鄰域N(，)=. 1、 x x時(shí)函數(shù)的極限 舉例說明：x 1時(shí)，函數(shù)無限接近于多少？ 觀察：當(dāng)：x 1時(shí)，f(x)=x+1，無限接近2 當(dāng)：x 1時(shí)，g(x)=，無限接近2 f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義 定義1 如果當(dāng)x x時(shí),函數(shù)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù), 則稱為函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限,記作f(x)=A或 (當(dāng) x x時(shí)).此時(shí)也稱存在。如果當(dāng)x x時(shí), 函數(shù)不趨近于任何一個(gè)確定的常數(shù),則稱不存在。 如 ： ，又如= 2 注意 ： f(x)=在 處無定義, 但當(dāng) 時(shí),函數(shù)f(x)=無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)2,所以=2。 結(jié)論：函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限是否存在，與在點(diǎn)處是否有定義無關(guān). 如上舉例f(x)=在 處無定義, 但 = 2. 定義2 右極限 當(dāng)x x，有 定義3 左極限 當(dāng)x x，有 函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。 定理1 [極限存在的充分必要條件] 函數(shù) 當(dāng)時(shí)的極限存在的充分必要條件是，當(dāng)時(shí)的左右極限都存在并且相等.即 注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計(jì)算它在指定點(diǎn)的左極限和右極限是否存在并且是否相等。 例如：判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限 ⑴ （當(dāng)時(shí)） ⑵ （當(dāng)時(shí)） 解：⑴ ∵ ， ∴ 函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。 ⑵ ∵， ∴ 函數(shù)在指定點(diǎn)的極限=0 定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A （二）數(shù)列的極限 定義4 對(duì)于數(shù)列{}，如果當(dāng)n無限增大時(shí)，通項(xiàng)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列{}收斂于A，記為=A或A（n） 定理3 [單調(diào)數(shù)列極限存在定理] 單調(diào)增加(上升)數(shù)列： 單調(diào)減少(下降)數(shù)列： 單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。 [單調(diào)有界原理]：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 （三）極限的性質(zhì) 1、唯一性 若，，則 2、有界性 若，則存在的某一去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi)函數(shù)有界. 3、保號(hào)性 若且，則存在某個(gè)去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi) 4、夾逼準(zhǔn)則 這個(gè)定理稱為夾逼定理，它同樣適用于的情況 在這個(gè)公式里x趨近于哪個(gè)數(shù)是非常重要的，x趨近于不同的數(shù),極限是不同的。 （四）關(guān)于極限的幾點(diǎn)說明 1． 一個(gè)變量前加上記號(hào)“l(fā)im”后，是個(gè)確定值。 例：正n邊形面積，= 圓面積 2． 關(guān)于“x”的理解：只要求在的充分小鄰域有定義。與在點(diǎn)和遠(yuǎn)離點(diǎn)有無意義無關(guān)。 例：在求分段函數(shù)的極限時(shí)尤為重要。 3． 常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即：C=C （五）無窮小量與無窮大量 1、無窮小量概念 定義5 極限為0的量稱為無窮小量，簡稱無窮??； 注：1、無窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。 2、數(shù)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。 3、無窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。 2、 一個(gè)量無論多么小，都不能是無窮小，零唯一例外。 當(dāng)x→a（或∞）時(shí)，如果函數(shù)f(x)的極限為0，則稱當(dāng)x→a（或∞）時(shí)，f(x)是無窮小量。 若數(shù)列{}的極限為0，則{}是無窮小量。 例如：，所以，當(dāng)x→0時(shí)，sin x 是無窮小量。 同樣，當(dāng)x→0時(shí) (>0)，1-cosx，arcsinx 等都是無窮小量。 當(dāng)x→+∞時(shí)， ，所以{}是無窮小量. 定理4 極限與無窮小之間的關(guān)系： 無窮小量的性質(zhì) 定理5 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。 例如，當(dāng)x→0時(shí)，x+sinx也是無窮小量 定理6 無窮小量與有界量之積是無窮小量。 例如，當(dāng)x→0時(shí)，xsinx也是無窮小量。 推論1：任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。 例如，當(dāng)x→0時(shí)，3sinx也是無窮小量。 推論2：有限個(gè)無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個(gè)無窮小之商未必是無窮小） 2、無窮大量 當(dāng)x→（或∞）時(shí)，如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無限增大，則稱當(dāng)x→（或∞）時(shí)，f(x)是無窮大量。記作 f(x)=∞,或f(x)→∞。 定義6 若（或）,則稱為當(dāng)（或 ）時(shí)的無窮大量,簡稱無窮大。 如=，表示當(dāng) 時(shí), 為無窮大. 關(guān)于無窮大量幾點(diǎn)說明: 1.無窮大量不是一個(gè)很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無窮大量的實(shí)質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 . 3.若數(shù)列{}當(dāng)n→+∞時(shí)，它項(xiàng)的絕對(duì)值無限增大，則{}是無窮大量。 4.如果當(dāng)x→（或∞）時(shí)，函數(shù)f(x)是無窮大量，那么就是當(dāng)x→（或∞）時(shí)的無窮小量，反過來，如果當(dāng)x→（或∞）時(shí)，函數(shù)f(x)是非零無窮小量，那么就是當(dāng)x→（或∞）時(shí)的無窮大量。 即⑴無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。⑵無窮小量(非零)的倒數(shù)是無窮大量。(3)無窮大必?zé)o界，但反之不真。 因此，證明一個(gè)變量是無窮小量的方法就是證明它的極限為0， 證明一個(gè)變量是無窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無窮小量。 四、練習(xí) 判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限 ⑴ （當(dāng)時(shí)） ⑵ （當(dāng)時(shí)） 五、歸納小結(jié) 理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件，理解無窮大、無窮小的概念，掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會(huì)用無窮小量的性質(zhì)求極限. 課后作業(yè)： 反 思 錄： 備 課 教 案 第 四 周 星期五 課 題 極限的運(yùn)算（一） 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論，能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限 重 點(diǎn) 函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論 難 點(diǎn) 函數(shù)極限的運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 一、導(dǎo)入新課 1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？ 2、無窮小的性質(zhì)有哪些？ 二、講授新課 （一）極限的運(yùn)算法則 設(shè)在同一變化過程中（此處省略了自變量的變化趨勢(shì)，下同）及都存在，則有下列運(yùn)算法則： 法則1、[f(x)g(x)]= f(x) g(x) 法則2、[f(x) g(x)]= f(x) g(x) 法則3、=（g(x)0） 提示：法則的證明不作要求. (1)直接代入求值 例1 求(3x-4x+1) 解：(3x-4x+1)=32-42+1=5 例2 求 解：== - 例3 求 解：=== 小結(jié)：時(shí)，可直接代入（若代入后令分母為零?？上燃s分后再代入） 舉例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、 5、 6、 （2）型 例4 求 解：== 小結(jié)：時(shí)，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之 課堂練習(xí)1、計(jì)算 （3）-型，型， 例5 求下列函數(shù)極限 1、（-） 2、 3、 解：1、（-）= ===1 2、= === 3、==0 小結(jié)：1題可看成直接代值的特殊情況 2題是“型”經(jīng)常可通過分母、分子有理化解決 3題是無窮小與有界量的積為無窮小 四、練習(xí) 求下列極限 1、 2、 3、 五、歸納小結(jié) 掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論，能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限。特別情形：時(shí)，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之；型經(jīng)?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決；無窮小與有界量的積為無窮小. 課后作業(yè)： 求下列極限 (1) (2) (3) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 五 周 星期三 課 題 極限的運(yùn)算（二） 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1.掌握兩個(gè)重要極限，會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限 2.理解高階、低階、同階及等價(jià)無窮小量的定義 3.掌握判定等價(jià)無窮小量的充要條件及常用等價(jià)無窮小量 4.會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量求函數(shù)的極限 重 點(diǎn) 1.兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用 2.高階、低階、同階和等價(jià)無窮小的定義與判定及其應(yīng)用 難 點(diǎn) 1.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用 2.等價(jià)無窮小量的判定及其在極限運(yùn)算中的應(yīng)用 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 考察極限 觀察：當(dāng)x0時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì) x(弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 當(dāng)x取正值趨近于0時(shí)，1，即=1； 當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時(shí)，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是 ． 三、講授新課 （二）兩個(gè)重要極限 1 =1 特點(diǎn)：①它是“”型 ② （三角形代表同一變量） 思考：嗎？ 例1 求 解： ==2 注：1 ==0 例2 求 解： ==1 例3 求 解： =[]= （復(fù)習(xí)二倍角） ==2=1-2 = = 例4 求 解：原式==[]=[]= 注：1、乘積的極限寫成極限的乘積時(shí)，必須每個(gè)乘積的極限存在。 2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù) 課堂練習(xí)（一）求下列極限 1、 2、 3、 4、 5、 6、 考察極限（1+） 觀察：當(dāng)x+時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì) x 1 2 10 1000 10000 100000 100000 ... 2 2.25 2.594 2.717 2.7181 2.7182 2.71828 ... 當(dāng)x取正值并無限增大時(shí)，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會(huì)超過3．實(shí)際上如果繼續(xù)增大x．即當(dāng)x+時(shí)，可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無理數(shù)e＝2.718281828...． 當(dāng)x-時(shí)，函數(shù)有類似的變化趨勢(shì)，只是它是逐漸減小而趨向于e． 2 （1+） = e 特點(diǎn)：（１） (1+無窮小) ，即1型； （２）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)， 推廣：① ② 例5 （1+） 解：原式=[]= 例6 （1+） 解：原式=[（1+）（1+）]=（1+）（1+）= 例7 （1+） 解：原式=（1+）= 例8 （1） 解：原式=[1+（）]= [1+]= 例9 （） 解：原式=（）=(1)=(1+) =(1+)(1+)= e 課堂練習(xí)（二） 習(xí)作題1（4）—（8） （三）無窮小的比較 例：當(dāng)x0時(shí)，=3x，=x， = 但=0 = = 為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階 定義：設(shè)某一極限過程中，與都是無窮小，且 = C （1）若C=0，則稱是比高階的無窮小，記成=0（） 也稱是比低階的無窮小。（2）若C0，則稱與是同階無窮小。 特別：若C=1，則稱與是等價(jià)無窮小，記為～ 等價(jià)無窮小在求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)有重要作用。 常用的幾個(gè)等價(jià)無窮小代換： 當(dāng)時(shí)，有～ x tanx～x arcsinx～x arctanx～x cosx～ ln(1+x) ～x ～x ～ 例10 求 解：== 例11 求 解：== 例12 求 解：== 例13 解：=== 注：1用等價(jià)代換時(shí)，必須對(duì)分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替換） 2分子或分母中若有“+”“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。 四、練習(xí) 求下列式子的極限： （1+） （1+） 五、歸納小結(jié) 掌握兩個(gè)重要極限，會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價(jià)無窮小量的定義，掌握判定等價(jià)無窮小量的充要條件及常用等價(jià)無窮小量，會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量求函數(shù)的極限。特別地，用等價(jià)代換時(shí)，必須對(duì)分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替換），分子或分母中若有“+”“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。 課后作業(yè)： 求下列極限 (1) (2) (3) (4) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 五 周 星期五 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。 2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性， 3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。 重 點(diǎn) 1.函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用 2.間斷點(diǎn)及其分類 難 點(diǎn) 1．點(diǎn)連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用 2．函數(shù)的連續(xù)性的判定 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 微積分學(xué)中研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動(dòng)等等。 三、講授新課 （一）函數(shù)連續(xù)性的定義 1、點(diǎn)連續(xù) 定義1 設(shè)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域上有定義，如果自變量的增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 則稱f(x)在點(diǎn)是連續(xù)的。 易知：0 即，于是有 定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，f(x)在點(diǎn)連續(xù)，必須滿足三個(gè)條件： （1） f(x)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義 （2） 存在 （3） 上述極限值等于函數(shù)值 只有一個(gè)條件不滿足，則點(diǎn)就是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。 2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是右連續(xù)。 定義3（間斷點(diǎn)的分類）：設(shè)是的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果： （1）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點(diǎn)，當(dāng) ，則稱為的跳躍間斷點(diǎn) （2）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點(diǎn)，當(dāng)存在，但不等于，則稱為的可去間斷點(diǎn) （3）除（1）（2）以外的，稱為的第二類間斷點(diǎn)，當(dāng)=，稱為的無窮間斷點(diǎn)。 例1 設(shè)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性 解：f(1)=1 f(x)= =1 f(x)= (x+1)=2 即f(x)不存在 x=1是第一類間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn)。 例2 設(shè)，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。 解：f(0)=1 x=0是第一類間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn)。 例3 在x=1是什么間斷點(diǎn)。 解：函數(shù)在x=1處沒有定義，且= 則x=1為f(x)的無窮間斷點(diǎn)。 注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。 （二）初等函數(shù)的連續(xù)性 1、初等函數(shù)的連續(xù)性 1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。 2）分段函數(shù)，討論分段點(diǎn) 2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 若f(x)在點(diǎn)連續(xù)，則 即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)值. 例4 求極限] 解：在處連續(xù) =ln(sin)=ln1=0 注：基本初等函數(shù)均連續(xù) 3、復(fù)合函數(shù)求極限的方法 定理1 設(shè)有復(fù)合函數(shù)，若=a，而函數(shù)f(u)在u=點(diǎn)連續(xù)，則= 例5 求極限 解：=，復(fù)合函數(shù)是由lnu和u=組成，又=e，在u=e點(diǎn)lnu連續(xù)。 = =-2 ， x=1為可去間斷點(diǎn)。 =（不存在） x=2為無窮間斷點(diǎn)。 （2），x=0 不存在，為第二類間斷點(diǎn) （3），x=1 =2 為第一類間斷點(diǎn)，為跳躍間斷點(diǎn)。 2、復(fù)合函數(shù)求極限（利用函數(shù)的連續(xù)性求極限） 1） 2） 3） 3、根存在 1）證明方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。 設(shè)f(x)= ，在（）連續(xù) 又f(1)=1-3-1=-3<0 f(2)=2 根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得）=0 顯然即為方程的根。 四、練習(xí) 1．設(shè)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性 ２．設(shè)，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。 五、歸納小結(jié) 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。 課后作業(yè)： 求下列極限 (1) (2) (3) （4） （5） （6） 反 思 錄： 備 課 教 案 第 六 周 星期三 課 題 導(dǎo)數(shù)的概念（一） 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1.理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義。 2.理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。 3.了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：存在 重 點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 難 點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 （一）兩個(gè)實(shí)例 1． 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng),所經(jīng)過的路程是時(shí)間的函數(shù). 如果質(zhì)點(diǎn)是作勻速直線運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度等于路程與時(shí)間之比,即 如果質(zhì)點(diǎn)是作變速直線運(yùn)動(dòng),它的速度隨時(shí)間變化而變化.現(xiàn)討論質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻時(shí)的速度,即瞬時(shí)速度． 質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻到這段時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)從位置移動(dòng)到,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為: 質(zhì)點(diǎn)的平均速度為： . 當(dāng)較小時(shí),平均速度可近似地表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度.且越小,這種近似程度也越好. 令,如果存在,則稱平均速度的極限為質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即. 2. 切線問題 切線的一般定義：設(shè)有曲線:及上的一點(diǎn)（圖3－１）,在點(diǎn) 外另取上一點(diǎn),作割線,當(dāng)點(diǎn)沿曲線逐漸趨于點(diǎn)時(shí),割線繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn),而逐漸趨于極限位置,直線就稱為曲線在點(diǎn)處的切線．這 里極限位置的含義：只要弦長趨于零,也趨于零． 圖3-1 圖3-2 設(shè)是曲線上的一點(diǎn)（圖3－２）,則．在點(diǎn)外另取上 一點(diǎn),割線的斜率為: 其中為割線的傾角，當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，，如果存在,則此極限就是切線的斜率,其中是切線的傾角． 上面兩個(gè)實(shí)際問題,雖然其實(shí)際意義不同,但解決問題的方法相同.都?xì)w結(jié)為求函數(shù)增量與自變量增量之比的極限: 或 , 其中 ,稱為自變量增量, ,稱為相應(yīng)于自變量增量的函數(shù)增量. 在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域中,還有許多實(shí)際問題,如線密度、 電流、反應(yīng)速度等,都可歸結(jié)為函數(shù)對(duì)于自變量的變化率即函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 三、講授新課 1、導(dǎo)數(shù)的概念 （1）函數(shù) 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在點(diǎn)處有增量,仍在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)有增量， 若 極限 存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)，記為，也可記為，，即 若極限不存在，則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)。 （2）函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上可導(dǎo)，這時(shí)，都對(duì)應(yīng)f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就成了一個(gè)新的函數(shù)成為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作 ,,, 或.顯然，y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，即= 2、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) （1）函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù) （2）函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù) 定理 y=在點(diǎn)可導(dǎo) 例1 求函數(shù)在任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，并求 解：在x處給自變量一個(gè)增量，相應(yīng)函數(shù)增量為, 于是 ， ；即； 則 一般地，（為任意實(shí)數(shù)） 注：求得先求，再將x用代替。 3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)（，）處切線的斜率。 （1）若存在，則曲線在點(diǎn)（，）切線方程為 當(dāng)時(shí)，則過（）的法線方程為： 當(dāng) 時(shí)，法線方程 （2）若，則切線垂直于 軸，切線方程： 例2 求拋物線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程和法線方程。 解： 切線斜率 切線方程：即 法線方程：即 4、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系：可導(dǎo)連續(xù) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，有 又 即 故 所以。 即 在可導(dǎo)，那么在處必連續(xù)，但反過來不一定成立，即在處 連續(xù)的函數(shù)未必在可導(dǎo)。 例3 ，雖然在=0處連續(xù)，但在該點(diǎn)不可導(dǎo)。 例4 討論 在點(diǎn)=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 解： 即 又 當(dāng) 四、練習(xí) 討論 在點(diǎn)=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 五、歸納小結(jié) 理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要面非充分條件，了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：存在 課后作業(yè)： 1、設(shè) A 。 A、左右導(dǎo)數(shù)都存在 B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在 C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在 D、都不存在 2、若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確。[全部] （1）在點(diǎn) 處可導(dǎo)； （2）在點(diǎn) 處連續(xù)； （3）= ； 反 思 錄： 備 課 教 案 第 六 周 星期五 課 題 導(dǎo)數(shù)的概念（二） 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1.掌握用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三步曲，會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2.理解導(dǎo)數(shù)的變化率的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實(shí)際問題 3.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的觀念 重 點(diǎn) 用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 難 點(diǎn) 用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實(shí)際問題 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 1.如何定義函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)？ 2.函數(shù)可導(dǎo)的幾何意義是什么？ 三、講授新課 1、變化率模型 科學(xué)技術(shù)中常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率。 因此，對(duì)于一個(gè)未賦予具體含義的一般函來說，通常把 稱 在上平均變化率。 平均變化率當(dāng)時(shí)的極限 或 稱在處的變化率。它反映了函數(shù)隨著自變量的變化而變化的快慢程度。 切線的斜率是曲線上的縱坐標(biāo)對(duì)橫坐標(biāo)的變化率。 例1（電流模型）設(shè)在[ 0,]這段時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電荷為，求 時(shí)刻的電流. 解：（1）若電流恒定 （2）若電流不恒定，平均電流 故 時(shí)刻電流 例2（細(xì)桿的線密度模型）設(shè)一質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿放在上，在[0，] 上的質(zhì)量是的函數(shù) ，求桿上的線密度。 解：如果細(xì)桿質(zhì)量分布是均勻的，則長度為的一段的質(zhì)量為，那么它的線密度為 反之，不能直接用此公式. 利用導(dǎo)數(shù)定義的思想來求細(xì)桿的平均線密度，則 平均線密度 故 細(xì)桿在處的線密度，即 例3（邊際成本模型）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本。 解：設(shè)一產(chǎn)品產(chǎn)量為單位時(shí)，總成本為C=C（x），稱C（x）為總成本函數(shù)，簡稱為總成本函數(shù)。當(dāng)產(chǎn)量由x變?yōu)?時(shí)，總成本函數(shù)改變量為 這時(shí)，總成本的平均變化率為 它表示產(chǎn)量由x變到時(shí)，在平均意義下的邊際成本。 當(dāng)總成本函數(shù)C（x）可導(dǎo)時(shí)，其變化率 表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本，即邊際成本是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。 例4（化學(xué)反應(yīng)速度模型）在化學(xué)反應(yīng)中一物質(zhì)的濃度N和時(shí)間t的關(guān)系為N=N（t）， 求：在t時(shí)刻物質(zhì)的瞬時(shí)反應(yīng)速度。 解：當(dāng)時(shí)間以 變到時(shí)，濃度的平均變化率為 令時(shí)，該物質(zhì)在時(shí)刻的瞬時(shí)反應(yīng)速度為： 2、求導(dǎo)舉例 求導(dǎo)三步曲：（1）求增量 （2）算比值 （3）定極限： 例5 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（c為常數(shù)） 解：（1） （2） （3） 即 即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。 例6 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：（1） （2） （3） 即 類似可得 例7 求函數(shù) 解：(1) (3) = 即 特別 四、練習(xí) 1. 五、歸納小結(jié) 掌握用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三步曲，會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的變化率的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實(shí)際問題. 課后作業(yè)： 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) 2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 七 周 星期三 課 題 求導(dǎo)法則（一） 所需課時(shí) 2 教學(xué)目的 1.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 2.掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 重 點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 難 點(diǎn) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 教學(xué)過程： 一、組織教學(xué) 點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律 二、復(fù)習(xí)引入 1.函數(shù)可導(dǎo)是怎樣定義的？ 2.極限的四則運(yùn)算法則是什么？ 思考：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有相同的運(yùn)算法則呢？ 三、講授新課 1、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)的法則 定理1 設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則u(x)v(x),u(x)v(x),也在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有以下法則： （1）= (2) =+u(x),特別= (c為常數(shù)) (3) 特別，當(dāng)u(x)=c (c為常數(shù))時(shí)， 有 例1 設(shè)y=求 解： = = 例2 求y=tanx的導(dǎo)數(shù)。 小結(jié)：非弦函數(shù)先化弦 類似可得： 例3 已知y=sec x，求. 解:(非弦函數(shù)化成弦函數(shù)) 類似可得: 例4 設(shè)f(x)=,求 . 解: 2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則: 思考：設(shè)y=，如何求？ ① y=可看成由復(fù)合而成。 又 ② 綜上所述，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 定理 如果在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)也在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有或 證 設(shè)自變量x有增量，則相應(yīng)的中間變量有增量，從而有增量（） 在x處可導(dǎo) 在x處連續(xù)，可知時(shí)，必有又已知， 則有 即 或 以上法則也可用于多次復(fù)合的情形。 例如：設(shè)都可導(dǎo)，則或記為 例5 的導(dǎo)數(shù)。 分析：可看作復(fù)合而成 解： 例6 求的導(dǎo)數(shù)。 分析：此函數(shù)可看作由與復(fù)合而成 解： 四、練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1） （2）y= （3） （4） （5） 五、歸納小結(jié) 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。求復(fù)合函數(shù)求