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1、2022年高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題 含答案(III) 座位號 （考試時間：120分鐘 滿分：150分 ） 班級 姓名 班級學號 考試學號 題號 填空題 1～13 選擇題 14～18 解 答 題 總分 19題 20題 21題 22題 23題 應得分 39分 15分 6分 8分 10 6分 16分 100分 實得分 一、填空題（56分） 1. 若全集，集合，則 .答: 2．方程 的解

2、是 ． 3．函數(shù)的最小正周期 . 4. 滿足的銳角的集合為 . 5. 函數(shù)的反函數(shù)是 . 6. 滿足不等式的實數(shù)的集合為 . 7．在的二項展開式中，常數(shù)項等于 . 8. 函數(shù)的單調遞增區(qū)間為 . 9．設等比數(shù)列的公比,且 則 . 2 10. 若的函數(shù)值總為正實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為 . 11.函數(shù)的值域為 . 12.隨

3、機抽取9個同學中，至少有2個同學在同一月出生的概率是 （默認每月天數(shù)相同，結果精確到）. 答: 13.函數(shù)的最小值為 . 14． 設若時均有，則_______． 二、選擇題（20分） 15. 要得到函數(shù)的圖像，須把的圖像（ ） 向左平移個單位 向右平移個單位 向左平移個單位 向右平移個單位 16. 若函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當時，則當時，有（ ） 17. 對于任意實數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上的值出現(xiàn)的次數(shù)不小于次，又不多于次，則可以取……………………………（ B ） A. B.

4、 C. D. 18．對任意兩個非零的平面向量，定義,且和都在集合中.若平面向量滿足，與的夾角，則（ ） A． B． C． D． 三、解答題 19．（滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面， A B C D P E 是的中點，已知，，，求： （1）三角形的面積；（6分） （2）異面直線與所成的角的大小.（6分） [解]（1）因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD， 又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 從而

5、CD⊥PD. ……3分 因為PD=，CD=2， A B C D P E x y z 所以三角形PCD的面積為. ……6分 （2）[解法一]如圖所示，建立空間直角坐標系， 則B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. ……8分 設與的夾角為q，則 ，q=. 由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是 ……12分 A B C D P E F

6、 [解法二]取PB中點F，連接EF、AF，則 EF∥BC， 從而∠AEF（或其補角）是異面直線BC與AE所成的角 ……8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以∠AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是 ……12分 北 乙 甲 20. (滿分14分)如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，

7、此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？ 解法一：如圖，連結，………2分 由已知， ，……4分 ， 又， 北 甲 乙 是等邊三角形，………6分 ， 由已知，， ，………8分 在中，由余弦定理， ． ．………12分 因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）． 答：乙船每小時航行海里． ………14分 解法二：如圖，連結，………2分 由已知，，………4分 ， 北 乙 甲 ， ．………6分 在中，由余弦定理： ． ． ………8分 由正弦定理：， ，即， ………10

8、分 ． 在中，由已知，由余弦定理， ． ，………12分 乙船的速度的大小為海里/小時．………14分 答：乙船每小時航行海里． 21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分） 在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點． （1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么”是真命題； （2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由． [解]（1）設過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2). 當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,

9、 此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分 當直線的鈄率存在時,設直線的方程為，其中， 由得 ………6分 又 ∵ ， ∴，………8分 綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題； (2)逆命題是：設直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3, 那么該直線過點T(3,0). ………10分 該命題是假命題. ………12分 例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3, 直線AB的方程

10、為：，而T(3,0)不在直線AB上；……… 14分 說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=－6， 或y1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(－1,0),而不過點(3,0). 22. （本題滿分16分）第1小題滿分4分，第2小題滿分12分 設函數(shù)為實數(shù)). (1)若為偶函數(shù)，求實數(shù)的值； (2)設，求函數(shù)的最小值. 解：(1)由已知 ………2分 .……… 4分 (2)， ………6分 當時，， 由

11、得，從而， 故在時單調遞增，的最小值為；………10分 當時，， 故當時，單調遞增，當時，單調遞減， 則的最小值為；………14分 由，知的最小值為. ……… 16分 23. (本題滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分) 已知函數(shù)的定義域是 且,,當時,. (1)求證:是奇函數(shù); (2)求在區(qū)間)上的解析式; (3)是否存在正整數(shù)，使得當x∈時,不等式有解?證明你的結論. 23. （本題滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分） (1) 由得, -----------

12、-----------3分 由得, ----------------------4分 故是奇函數(shù). ----------------------5分 (2)當x∈時,，. ----------------------7分 而，. ----------------------9分 當x∈Z)時,， ， ----------------------11分 （3）因此. 不等式 即為， 即. ----------------------13分 令，對稱軸為， 因此函數(shù)在上單調遞增. ----------------------15分 因為， 又為正整數(shù)，所以， 因此在上恒成立，----------------------17分 因此不存在正整數(shù)使不等式有解. ----------------------18分