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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習 第三周規(guī)范練 理 [題目15]　在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C；且b＝4，A＝，面積S＝2. (1)求a的值； (2)設(shè)f(x)＝2(cos Csin x－cos Acos x)，將f(x)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)得到g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)增區(qū)間． xx年____月____日(周一) [題目16]　已知函數(shù)f(x)＝. (1)若f(x)>k的解集為{x|x<－3，或x>－2}，求k的值； (2)對任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范圍． xx年____月____日(周二)

2、 [題目17]　已知函數(shù)y＝3x＋的圖象上有一點列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，其中數(shù)列{xn}為等差數(shù)列，滿足x2＝－，x5＝－. (1)求點Pn的坐標； (2)若拋物線列C1，C2，…，Cn分別以點P1，P2，…，Pn為頂點，且任意一條的對稱軸均平行于y軸，Cn與y軸的交點為An(0，n2＋1)，記與拋物線Cn相切于點An的直線的斜率為kn，求數(shù)列前n項的和Sn. xx年____月____日(周三) [題目18]　如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1

3、的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)當λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由． xx年____月____日(周四) [題目19]　橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點A，離心率為，左、右焦點分別為F1、F2，過點F1的直線l交橢圓于A、B兩點． (1)求橢圓C的方程； (2)當△F2AB的面積為時，求l的方程． xx年____月____日(周五) [題目20]　已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝ln x＋a(

4、x－1)2(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)在點P(1，0)處的切線方程； (2)若函數(shù)f(x)有極小值，試求a的取值范圍； (3)若在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)不出現(xiàn)在直線y＝x－1的上方，試求a的最大值． xx年____月____日(周六) [題目21]　一個袋中有4個大小質(zhì)地都相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取一個． (1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率； (2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，求連續(xù)取兩次分數(shù)之和大于1分的概率． xx年____月____日(周日)

5、 [題目15]　解　(1)在△ABC中，b＝4，A＝，S＝2， ∴S＝bcsin A＝×4c×＝2，則c＝2， 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A ＝16＋4－2×4×2cos＝12， ∴a＝＝2. (2)由正弦定理，得＝. ∴sin C＝＝＝. 又由c

6、>k?kx2－2x＋6k<0. 由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的兩根是－3，－2. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－. (2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝，當且僅當x＝時取等號．由已知f(x)≤t對任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范圍是. [題目17]　解　(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公差為d，則x5－x2＝3d， ∴－－＝3d，則d＝－1，x1＝－. 故xn＝－＋(n－1)×(－1)＝－n－， yn＝3xn＋＝－3n－. 因此點Pn的坐標為Pn. (2)由題意，設(shè)Cn的方程為y＝a－. 將An(0，n2＋1)代入上式，整

7、理得(a－1)＝0， ∴a＝1.∴Cn的方程為：y＝x2＋(2n＋3)x＋n2＋1. 所以y′＝2x＋2n＋3， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，kn＝y(tǒng)′|x＝0＝2n＋3. 因此＝＝ ∴＋＋…＋ ＝ ＝＝. [題目18]　解　以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P(0，0，λ)． BC＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)． (1)證明　當λ＝1時，＝(－1，0，1)， 因為BC＝(－2，0，2)，所以BC＝2，即B

8、C1∥FP. 而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直線BC1∥平面EFPQ. (2)解　設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，則 由可得 于是可取n＝(λ，－λ，1)． 同理可得平面MNPQ的一個法向量為m＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角， 則m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0， 解得λ＝1±. 故存在λ＝1±，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角． [題目19]　解　(1)∵e＝＝， ∴a＝2c，則b2＝a2－c2＝3c2，

9、則橢圓C的方程為＋＝1. 又橢圓C過點A， ∴＋＝1，c2＝1，c＝1， 則a＝2，b＝.橢圓C的方程為＋＝1. (2) 由(1)知F1(－1，0)，①當l的傾斜角是時，l的方程為x＝－1， 交點A，B，此時S△ABF2＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠，不合題意． ②當l的傾斜角不是時，設(shè)l的斜率為k，則其直線方程為y＝k(x＋1)， 由消去y得：(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴S△F2AB＝S△F1F2B＋S△F1F2A＝|F1F1|(|y1|＋|y2|) ＝×2|y1－y2

10、|＝|k(x1＋1)－k(x2＋1)| ＝|k|＝|k| ＝|k|＝， 又已知S△F2AB＝，∴＝?17k4＋k2－18＝0?(k2－1)(17k2＋18)＝0?k2－1＝0解得k＝±1， 故直線l的方程為y＝±1(x＋1)，即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. [題目20]　解　(1)易知，f′(x)＝＋2a(x－1)，x>0. ∴f′(1)＝1，且f(1)＝0. 所以f(x)在點P(1，0)處的切線方程為y＝x－1. (2)f′(x)＝，x>0. 令g(x)＝2ax2－2ax＋1(x>0)． ①當a＝0時，f′(x)＝0無實根，f(x)無極小值， ②當a<0時，g(0)

11、＝1，則g(x)＝0有唯一正實根，設(shè)為x0. 當00，f′(x)>0；x>x0時，g(x)<0，f′(x)<0. 此時f(x)沒有極小值． ③當a>0時，g(0)＝1>0.且函數(shù)g(x)圖象關(guān)于x＝對稱． 要使函數(shù)f(x)有極小值， 則Δ＝4a2－8a>0，∴a>2. 此時g(x)＝0有兩解x1，x2(不妨設(shè)x1x2時，g(x)>0，f′(x)>0. ∴f(x)有極小值f(x2)． 綜合①②③知，實數(shù)a的取值范圍為(2，＋∞)． (3)依題意，當x≥1時，f(x)≤x－1，即ln x

12、＋a(x－1)2≤x－1. 下面證明：ln x≤x－1(x≥1)． 設(shè)h(x)＝ln x－(x－1)＝ln x－x＋1(x≥1)． 則h′(x)＝－1＝而h′(x)≤0，h(x)在[1，＋∞)上遞減． 故h(x)≤h(1)＝0，即ln x≤x－1. ①當a≤0時，a(x－1)2≤0，則f(x)≤ln x≤x－1. ②當a>0時，取x>1＋， 則f(x)＝ln x＋a(x－1)2>ln＋a(x－1)>ln 1＋x－1＝x－1，與題設(shè)矛盾． 因此a≤0，故a的最大值為0. [題目21]　解　(1)設(shè)2個白球分別為白1、白2，則有放回地連續(xù)取兩次所包含的基本事件有(紅，紅)，(紅，

13、白1)，(紅，白2)，(紅，黑)，(白1，紅)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的總數(shù)為16. 設(shè)事件A為“連續(xù)取兩次都是白球”，則事件A所包含的基本事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4種，所以， P(A)＝＝. (2)法一　由(1)知，連續(xù)取兩次的事件總數(shù)為16， 設(shè)事件B為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和為0分”．則P(B)＝， 設(shè)事件C為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和為1分”． 則P(C)＝＝，設(shè)事件D為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和大于1分”，則P(D)＝1－P(B)－P(C)＝. 法二　設(shè)事件B為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和為2分”，則P(B)＝； 設(shè)事件C為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和為3分”，則P(C)＝；設(shè)事件D為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和為4分”，則P(D)＝； 設(shè)事件E為“連續(xù)取兩次分數(shù)之和大于1分”， 則P(E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝.