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1、2022年高中數(shù)學 1.1.1 任意角教案 新人教A版必修4 1.本章知識結構如下: 2.本章學習的內容主要是:三角函數(shù)的定義、圖象、性質及應用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他的函數(shù)相比,具有許多重要的特征:它以角為自變量,是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具,是高中階段學習的最后一個基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質的極好素材.本章的認知基礎主要是幾何中圓的性質、相似形的有關知識,特別強調了單位圓的直觀作用,借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù). 3.本章教學的重點是三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質.難點是弧度制和圖象變換的準

2、確理解和掌握.關鍵是學好三角函數(shù)定義.從實際教學情況來看,教學中應重視學生的畫圖.“五點畫圖”雖然簡單,但卻易學難掌握.在本章教學中,教師應根據(jù)學生的生活經驗和已有的數(shù)學知識,通過列舉熟知的實例,創(chuàng)設豐富的情境,使學生體會三角函數(shù)模型的意義.教學時,可結合本章引言的章頭圖,讓學生圍繞這些問題展開討論,通過思考,讓學生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律,從而激發(fā)學生的求知欲. 4.三角函數(shù)的內容一直是高考的重要內容,特別是三角函數(shù)的圖象和性質,及結合三角形的基礎知識為背景的三角函數(shù)知識,頻頻在各省高考試題中出現(xiàn),難度雖有降低,卻是經久不衰的高考考查內容. 5.本章教學時間約需16課時,具體

3、分配如下(僅供參考): 標 題 課 時 1.1任意角和弧度制 約2課時 1.2任意角的三角函數(shù) 約3課時 1.3三角函數(shù)的誘導公式 約2課時 1.4三角函數(shù)的圖象與性質 約4課時 1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 約2課時 1.6三角函數(shù)模型的簡單應用 約2課時 本章復習 約1課時 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整體設計 教學分析 教材首先通過實際問題的展示,引發(fā)學生的認知沖突,然后通過具體例子,將初中學過的角的概念推廣到任意角,在此基礎上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學生在已有經驗(生活經驗、數(shù)學學習經

4、驗)的基礎上,更好地認識任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學生體會到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結合角和平面直角坐標系的關系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個統(tǒng)一的載體.教學中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導學生善于利用數(shù)形結合的思想方法來認識問題、解決問題.讓學生初步學會在平面直角坐標系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個重要任務. 學生的活動過程決定著課堂教學的成敗,教學中應反復挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能,在這個過程上要不惜多花些時間,讓學生進行操作與思考,自然地、更好地歸納

5、出終邊相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含義.如能借助信息技術,則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉的過程,更有利于學生觀察角的變化與終邊位置的關系,讓學生在動態(tài)的過程中體會,既要知道旋轉量,又要知道旋轉方向,才能準確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義. 三維目標 1.通過實例的展示,使學生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運動變化的觀點,并由此深刻理解推廣之后的角的概念. 2.通過自主探究、合作學習,認識集合S中k、α的準確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊

6、相同的角有無限多個,它們相差360°的整數(shù)倍.這對學生的終身發(fā)展,形成科學的世界觀、價值觀具有重要意義. 3.通過類比正、負數(shù)的規(guī)定,讓學生認識正角、負角并體會類比、數(shù)形結合等思想方法的運用,為今后的學習與發(fā)展打下良好的基礎. 重點難點 教學重點:將0°—360°范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合. 教學難點:用集合來表示終邊相同的角. 課時安排 1課時 教學過程 導入新課 圖1 思路1.(情境導入)如圖1,在許多學校的門口都有擺設的一些游戲機,只要指針旋轉到陰影部分即可獲得高額獎品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉,旋轉多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運

7、動員旋轉的角度,自行車車輪旋轉的角度,螺絲扳手的旋轉角度,這些角度都怎樣解釋?在學生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣.進而引入角的概念的推廣的問題. 思路2.(復習導入)回憶初中我們是如何定義一個角的?所學的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉體一周的角度,應怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學生展開討論,進而引入角的概念的推廣問題. 推進新課 新知探究 提出問題 ①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調整準確?假如你的手表快了1.25小時,你應當怎樣將它調整準確?當時間調整準確后,分針轉過了多少度角? ②體操運動中有轉體兩周,在這個動作中

8、,運動員轉體多少度? ③請兩名男生(或女生、或多名男女學生)起立,做由“面向黑板轉體背向黑板”的動作.在這個過程中,他們各轉體了多少度? 活動:讓學生到講臺利用準備好的教具——鐘表,實地演示撥表的過程.讓學生站立原地做轉體動作.教師強調學生觀察旋轉方向和旋轉量,并思考怎樣表示旋轉方向.對回答正確的學生及時給予鼓勵、表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路. 角可以看作是平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形,設一條射線的端點是O,它從起始位置OA按逆時針方向旋轉到終止位置OB,則形成了一個角α,點O是角的頂點,射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊.

9、 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.鐘表的時針和分針在旋轉過程中所形成的角總是負角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記作“α”. 如果一條射線沒有作任何旋轉,我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果α是零角,那么α=0°. 討論結果:①順時針方向旋轉了30°;逆時針方向旋轉了450°. ②順時針方向旋轉了720°或逆時針方向旋轉了720°. ③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°…… 提出問題 ①能否以同一條射線為始邊作出下列角:21

10、0°,-45°,-150°. ②如何在坐標系中作出這些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思? 活動:先讓學生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點撥,并對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生,教師提示、引導考慮問題的思路.學生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學生:如果將角放到平面直角坐標系中,問題會怎樣呢?并讓學生思考討論在直角坐標系內討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復始”的現(xiàn)象. 今后我們在坐標系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點與坐標原點重合,

11、角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調角與直角坐標系的關系——角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合. 討論結果:①能. ②使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣: 210°角是第三象限角; -45°角是第四象限角; -150°角是第三象限角. 特別地,終邊落在坐標軸上的角不屬于任何一個象限,比如0°角. 可以借此進一步設問: 銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何? 將角按照上述方法放在直角坐標系中,給定一個角,就

12、有唯一一條終邊與之對應,反之,對于直角坐標系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關系? 提出問題 ①在直角坐標系中標出210°,-150°的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關系是怎樣的?終邊相同的角有什么關系? ②所有與α終邊相同的角,連同角α在內,怎樣用一個式子表示出來? 活動:讓學生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關系,再用所準備的教具或是多媒體給學生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時地引導:終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關系,從而為終邊相同的角的

13、表示作好準備. 為了使學生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個32°角,放在直角坐標系內,使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,形成-32°角后提問學生這是第幾象限角?是多少度角?學生對后者的回答是多種多樣的. 至此,教師因勢利導,予以啟發(fā),學生對問題探究的結果已經水到渠成,本節(jié)難點得以突破.同時學生也在這一學習過程中,體會到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學習熱情,這是比學習知識本身更重要的. 討論結果:①210°與-150°角的終邊相同;328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍. 設S={β｜β=-32°+

14、k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時k=0).因此,所有與-32°角的終邊相同的角,連同-32°在內,都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個元素顯然與-32°角終邊相同. ②所有與α終邊相同的角,連同角α在內,可以構成一個集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}. 即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成α與整數(shù)個周角的和. 適時引導學生認識:①k∈Z;②α是任意角;③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍. 應用示例 例1 在0°—360°范圍內,找出與-950°12′角終邊相同的角,并

15、判定它是第幾象限角. 解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內,與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角. 點評:教師可引導學生先估計-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解. 例2 寫出終邊在y軸上的角的集合. 活動:終邊落在y軸上,應分y軸的正方向與y軸的負方向兩個. 學生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構成集合,這時應啟發(fā)引導學生進一步思考:能否化簡這兩個式子,用一個式子表示出來. 讓學生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強調數(shù)學的簡捷性.

16、在數(shù)學表達式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式. 圖2 解:在0°—360°范圍內,終邊在y軸上的角有兩個, 即90°和270°角,如圖2. 因此,所有與90°的終邊相同的角構成集合 S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}. 而所有與270°角的終邊相同的角構成集合 S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}. 于是,終邊在y軸上的角的集合 S=S1∪S2 ={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k

17、∈Z} ={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}. 點評:本例是讓學生理解終邊在坐標軸上的角的表示.教學中,應引導學生體會用集合表示終邊相同的角時,表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式. 變式訓練 ①寫出終邊在x軸上的角的集合. ②寫出終邊在坐標軸上的角的集合. 答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}. ②S={β｜β=n·90°,n∈Z}. 例3 寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來. 圖3 解:如圖3,在直角坐標系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內,

18、終邊在直線y=x上的角有兩個:45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合 S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}. S中適合-360°≤β<720°的元素是: 45°-2×180°=-315°, 45°-1×180°=-135°, 45°+0×180°=45°, 45°+1×180°=225°, 45°+2×180°=405°, 45°+3×180°=585°. 點評:本例是讓學生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應訓練學生掌握這一方法. 例4 寫出在下列象限的角的集合

19、: ①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限. 活動:本題關鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導學生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進而引導學生寫出所有終邊相同的角. 解:①終邊在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β

20、360°+180°<β

21、以再進一步啟發(fā)設問: 銳角一定小于90°嗎?小于90°的角一定是銳角嗎? 鈍角一定大于90°嗎?大于90°的角一定是鈍角嗎? 答案當然是:不一定. 讓學生展開討論,在爭論中,將對問題的認識進一步升華,并牢牢的記憶這些基礎知識. 2.三、三、五. 點評:本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應用到其他周期性問題上.題目聯(lián)系實際,把教科書中除數(shù)360換成每個星期的天數(shù)7,利用了“同余”來確定7k天后、7k天前也是星期三,這樣的練習難度不大,可以口答. 3.(1)第一象限角. (2)第四象限角. (3)第二象限角. (4)第三象限角. 點評:能作出給定的角,并判斷

22、是第幾象限的角. 4.(1)305°42′,第四象限角. (2)35°8′,第一象限角. (3)249°30′,第三象限角. 點評:能在給定的范圍內找出與指定角終邊相同的角,并判斷是第幾象限的角. 5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′. (2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°. 點評:用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合,并在給定的范圍內找出與指定的角的終邊相同的角. 課堂小結 以提問的方式與學生一起回顧本節(jié)所學內容并簡要總

23、結: 讓學生自己回憶:本節(jié)課都學習了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你從本節(jié)課上都學到了哪些數(shù)學方法?讓學生自己得到以下結論: 本節(jié)課推廣了角的概念,學習了正角、負角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉.一個角是第幾象限的角,關鍵是看這個角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內容:(1)與角α終邊相同的角,這些角的集合為S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°內找與已知角終邊相同的角α,其方法是用所給的角除以360°,所得的商為k,余數(shù)為α(α必須是正數(shù)),α即為所找的角. 數(shù)形結合思想、運動變化觀點都是

24、學習本課內容的重要思想方法. 作業(yè) ①課本習題1.1 A組1、3、5. ②預習下一節(jié):弧度制. 設計感想 1.本節(jié)課設計的容量較大,學生的活動量也較大,若用信息技術輔助教學效果會很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學生;有條件的學校,可以讓學生利用計算機或計算器進行探究,讓學生在動態(tài)中掌握知識、提煉方法. 2.本節(jié)設計的指導思想是加強直觀.利用幾何直觀有利于對抽象概念的理解.在學生得出象限角的概念后,可以充分讓學生討論在直角坐標系中研究角的好處.前瞻性地引導學生體會:在直角坐標系中角的“周而復始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎. 3.幾點說明: (1)列舉不在0°—360°的角時,應注意所有的角在同一個平面內,且終邊在旋轉的過程中,角的頂點不動. (2)在研究終邊相同的兩個角的關系時,k的正確取值是關鍵,應讓學生獨立思考領悟. (3)在寫出終邊相同的角的集合時,可根據(jù)具體問題,對相應的集合內容進行復習.