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1、2022年高三數學總復習 冪函數教案 理 教材分析 冪函數是基本初等函數之一，是在學生系統(tǒng)學習了函數概念與函數性質之后，全面掌握有理指數冪和根式的基礎上來研究的一種特殊函數，是對函數概念及性質的應用．從教材的整體安排看，學習了解冪函數是為了讓學生進一步獲得比較系統(tǒng)的函數知識和研究函數的方法，為今后學習三角函數等其他函數打下良好的基礎．在初中曾經研究過y＝x，y＝x2，y＝x－1三種冪函數，這節(jié)內容，是對初中有關內容的進一步的概括、歸納與發(fā)展，是與冪有關知識的高度升華．知識的安排環(huán)環(huán)緊扣，非常緊湊，充分體現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程．對冪函數進行系統(tǒng)的理論研究，在研究過程中得出相應的結論固然重要

2、，但更為重要的是，要讓學生了解系統(tǒng)研究一類函數的方法．這節(jié)課要特別讓學生去體會研究的方法，以便能將該方法遷移到對其他函數的研究． 教學目標 1. 通過對冪函數概念的學習以及對冪函數圖像和性質的歸納與概括，讓學生體驗數學概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力． 2. 使學生理解并掌握冪函數的圖像與性質，并能初步運用所學知識解決有關問題，培養(yǎng)學生的靈活思維能力． 任務分析 學生對抽象的冪函數及其圖像缺乏感性認識，不能夠在理解的基礎上來運用冪函數的性質．為此，在教學過程中讓學生自己去感受冪函數的圖像和性質是這一堂課的突破口．因此，這節(jié)課的難點是冪函數圖像和性質的發(fā)現(xiàn)過程，教學重點是冪函數的

3、性質及運用．首先，從學生已經掌握的最簡單的冪函數y＝x，y＝x2和y＝x-1的知識出發(fā)，利用實例，由師生共同歸納、總結出冪函數的定義，認清冪函數的特點，深刻理解其定義域．其次，舉出幾個簡單的冪函數引導學生從定義出發(fā)研究其定義域、值域、奇偶性、單調性、是否過公共定點這幾個性質，讓學生自己去探究，把主動權交給學生．然后，再由學生自己結合性質去畫冪函數的圖像，讓學生在獲得一定的感性認識的基礎上，通過歸納、比較上升為理性認識，從而形成對概念與性質的完整認識．最后通過例題3與練習，讓學生利用圖像與性質，比較兩個數的大小，從而提高學生獲取知識的能力． 教學設計 一、問題情景 下列問題中的函數各有什么

4、共同特征？ （1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她應支付p＝w元．這里p是w的函數． （2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積為S＝a2．這里S是a的函數． （3）如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積為V＝a3．這里V是a的函數． （4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長為a＝．這里a是S的函數． （5）如果某人t（s）內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度為v＝t-1（km／s）．這里v是t的函數． 由學生討論，總結，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自變量的若干次冪的形式． 教師指出：我們把這樣的都是自變量的若干次冪的形式

5、的函數稱為冪函數． 二、建立模型 定義：一般地，函數y＝xa叫作冪函數，其中x是自變量，a是實常數． 教師指出：由于無理指數冪的意義我們還沒學到，因此目前只討論a是有理數的情況． 思考討論：在冪函數y＝xn中，當n＝0時，其表達式怎樣？定義域、值域、圖像如何？ 教師指出：此時y＝x0＝1；定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），特別強調，當x為任何非零實數時，函數的值均為1，圖像是從點（0，1）出發(fā)，平行于x軸的兩條射線，但點（0，1）要除外． 三、解釋應用 ［例題一］ 1. 求下列函數的定義域． 解：（1）R．?。?）R．　（3）｛x｜x≥0｝．?。?）｛x｜x∈R且x≠0

6、）．（5）｛x｜x＞0｝． 2. 求下列函數的定義域，并判斷函數的奇偶性． 解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函數．（2）R，非奇非偶函數．（3）R，奇函數．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函數． ［問題探究］ 1. 對于冪函數y＝xa，討論當a＝1，2，3，，－1時的函數性質． 表13-1 以上問題給學生留出充分時間去探究，教師引導學生從函數解析式出發(fā)來研究函數性質． 2. 在同一坐標系中，畫出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像，并歸納出它們具有的共同性質． 教師講評：冪函數的性質． （1）所有的冪函數在（0，＋∞）上都有定義，并且圖像都過點（1，

7、1）． （2）如果a＞0，則冪函數的圖像通過原點，并在區(qū)間［0，＋∞）上是增函數． （3）如果a＜0，則冪函數在（0，＋∞）上是減函數，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方無限地趨近y軸；當ｘ趨向于＋∞時，圖像在x軸上方無限地趨近ｘ軸． 思考討論：（1）在冪函數y＝xa中，當a是正偶數時，這一類函數有哪種重要性質？ （2）在冪函數y＝xa中，當a是正奇數時，這一類函數有哪種重要性質？ 教師講評：（1）在冪函數y＝xa中，當a是正偶數時，函數都是偶函數，在第一象限內是增函數． （2）在冪函數y＝xa中，當a是正奇數時，函數是奇函數，在第一象限內是增函數． ［例題二］

8、 比較下列各題中兩個值的大小． 解：（1）∵冪函數y＝x1.5是增函數，又0.7＞0.6，∴0.71.5＞0.61.5． （2）∵冪函數y＝是減函數，又2.2＞1.8，∴ 注意：由于學生對冪函數還不是很熟悉，所以在講評中要刻意體現(xiàn)出冪函數y＝x1.5與y＝的圖像的畫法，即再一次讓學生體會根據解析式來畫圖像解題這一基本思路． ［練　習］ 比較下列各題中兩個值的大?。? 四、拓展延伸 1. 如果把函數圖像向上凸的函數稱為凸函數，把函數圖像向下凸的函數稱為凹函數，對于冪函數y＝xa，x∈［0，＋∞），當a＞0且a≠1時，研究其凸凹性． 2. 研究冪指數與冪函數奇偶性的關系．

9、 3. 研究冪指數與冪函數單調性的關系． （以上問題的探究可以借助計算機來完成） 點　評 這篇案例的突出特點是，緊緊圍繞教學目標，遵循直觀式、啟發(fā)式原則而展開．在這節(jié)課中，教師放手讓學生去探索與研究，并在一旁適時地引導學生根據幾個實例函數的公共特點歸納、總結冪函數的定義，對幾個特殊冪函數的性質先進行初步探索，再根據研究的結果結合描點作圖畫出冪函數的圖像，讓學生觀察和分析所作的圖像，歸納得出圖像特征，并由圖像特征得到相應的函數性質，讓學生充分體會系統(tǒng)研究函數的方法．整個教學過程的絕大部分時間都給了學生，讓學生動腦動手．通過對同類舊知識的回憶，充分引導學生利用數形結合，找出與新知識的連接點，并在對照、類比分析中找出規(guī)律．這些均提高了學生學習的積極性和自學能力，培養(yǎng)了他們的科學精神和創(chuàng)新思維習慣．最后“拓展延伸”的設計又把學生的思維推向了更廣闊的空間．