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1、2022年高一數(shù)學 函數(shù)的應用舉例 第八課時 第二章 ●課 題 §2.9.1 函數(shù)的應用舉例（一） ●教學目標 （一）教學知識點 1.數(shù)學模型. 2.數(shù)學建模. 3.數(shù)學應用題的能力要求. 4.解答應用題的基本步驟. （二）能力訓練要求 1.了解數(shù)學建模. 2.掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關系式. 3.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力. 4.培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識. （三）德育滲透目標 1.認識事物之間的相互聯(lián)系. 2.了解數(shù)學在實際中的應用. ●教學重點 根據(jù)已知條件建立函數(shù)關系式 ●教學難點 數(shù)學建模意識 ●教學方法 讀議講練法 首先要求學生通

2、過閱讀課本來了解數(shù)學模型的概念及數(shù)學建模的思想方法，然后通過討論與學生一起分析得出數(shù)學應用題的解決應達到哪些能力要求，再通過講解例題與大家一起總結解答應用題的基本步驟，最后通過相應的課堂練習使學生鞏固對數(shù)學應用題的認識，同時加強對相關知識點的熟悉程度. ●教具準備 幻燈片 第一張：例1（記作§2.9.1 A） 第二張：例2（記作§2.9.1 B） 第三張：數(shù)學應用題能力要求及解答步驟（記作§2.9.1 C） ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］前面，我們已經(jīng)學習了函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，并要求大家在課前對本章作系統(tǒng)地歸納整理，接下來，用已學過的知識舉例說明函數(shù)

3、的應用. Ⅱ.講授新課 ［師］大家首先閱讀課本P91～P92，來了解一下數(shù)學建模的有關知識. 1.數(shù)學模型與數(shù)學建模 簡單地說，數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的數(shù)學描述. 數(shù)學模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學方法. 2.例題講解 ［例1］用長為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2x，求此框架的面積y與x的函數(shù)式，并寫出它的定義域. 分析：所求框架面積由矩形和半圓組成，數(shù)量關系較為明確，而且題中已設出變量，所以屬于函

4、數(shù)關系的簡單應用. 解：如圖，設AB=2x，則CD弧長=πx,于是AD= 因此y=2x·+,即y=－x2+mx 再由, 解之得0＜x＜, 即函數(shù)式是y=－·x2+mx 定義域是：（0，） 評述：此題雖為函數(shù)關系的簡單應用，但應讓學生通過此題明確應用題的能力要求及求解應用題的基本步驟. （1）數(shù)學應用題的能力要求 ①閱讀理解能力；②抽象概括能力；③數(shù)學語言的運用能力；④分析、解決數(shù)學問題的能力； （2）解答應用題的基本步驟 ①合理、恰當假設；②抽象概括數(shù)量關系，并能用數(shù)學語言表示；③分析、解決數(shù)學問題；④數(shù)學問題的解向?qū)嶋H問題的還原. ［師］有了上述說明，我們在看例2

5、時就應有所注意. ［例2］如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)式，并求出它的定義域. 分析：要用腰長表示周長的關系式，應該知道等腰梯形各邊的長，下底長已知為2R，兩腰長為2x,因此，只須用已知量（半徑R）和腰長x把上底表示出來，即可寫出周長y與腰長x的函數(shù)式. 解：如圖所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上 設腰長AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足為E，連結BD，那么∠ADB直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD. ∴AD2=AE·AB，即AE= ∴CD=AB

6、－2AE=2R－ 所以，y=2R+2x+(2R－),即y=－+2x+4R 再由, 解得0＜x＜ ∴周長y與腰長x的函數(shù)式為：y=－ (x2+2x+4R),定義域為：（0，） 評述：例2是實際應用問題.解題過程是從問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系式，再研究函數(shù)關系式的定義域，并結合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數(shù)學模型的一種最簡單的情形. Ⅲ.課堂練習 課本P89練習 1.將一個底面圓的直徑為d的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，若這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為d，截面的面積為A，求面積A以x為自變量的函數(shù)式，并寫出它的定義域. 解：如圖，截面的一條邊

7、為x，對角線AC=d,另一條邊BC=,所以S=x,定義域為：{x|0＜x＜d 2.如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并討論這個函數(shù)的定義域. 解：∵底面邊長為a－2x,∴底面積為(a－2x)2 又長方體高為x, ∴長方體體積V=x(a－2x)2 由a－2x＞0,得x＜ 又x＞0,∴函數(shù)定義域為{x|0＜x＜} Ⅳ.課時小結 ［師］通過本節(jié)學習，大家應對數(shù)學建模有所了解，并能根據(jù)已知條件建立函數(shù)關系式，逐步掌握解決實際問題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P89習題2.9 1.建

8、筑一個容積為8000 m3，深為6 m的長方體蓄水池，池壁的造價為a元/m2,池底的造價為2a元/m2,把總造價y(元)表示為底的一邊長為x(m)的函數(shù). 解：設底面的另一邊長為z(m)，則根據(jù)題意有6xz=8000,z= 池壁造價為a·(2x+2z)·6=12a(x+) 池底造價為2a·=a 所以，總造價：y=[12a(x+)+a](元) 2.如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2 m，邊坡的傾角為45°，水深h m，求橫斷面中有水面積A（m2）與水深h(m)的函數(shù)關系式. 解：如圖，作AC⊥CE，BD⊥CE， ∴Rt△BDE面積：h2，矩形面積：2h ∴A=S矩+2SRt△BDE=2h+2×h2=h2+2h(m2) （二）1.預習內(nèi)容：課本P86例1 2.預習提綱： （1）例2的數(shù)學模型和哪種函數(shù)有關？ （2）試列舉有關平均增長率的實際問題. ●板書設計 §2.9.1 函數(shù)的應用舉例 1.應用題能力要求： （1）閱讀理解能力； （2）抽象概括能力； （3）數(shù)學語言運用能力； （4）分析、解決數(shù)學問題的能力. 2.解答基本步驟： （1）合理、恰當假設； （2）抽象數(shù)量關系； （3）分析解決問題； （4）數(shù)學問題的解向?qū)嶋H問題還原. 例1 例2 學生練習