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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 函數(shù)圖象教案 新人教A版 一、高考要求 ①給出函數(shù)的解析式或由條件求出函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的圖象；②給出函數(shù)的圖象求解析式；③給出含有參數(shù)的解析式和圖象，求參數(shù)的值或范圍；④考查函數(shù)圖的平移、對(duì)稱和翻折；⑤和數(shù)形結(jié)合有關(guān)問題等．函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn),運(yùn)用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)非常方便．函數(shù)的圖象正成為高考命題的熱點(diǎn)之一． 二、兩點(diǎn)解讀 重點(diǎn)：①已知解析式判斷函數(shù)圖象或已知圖象判斷解析式中參數(shù)的范圍；②函數(shù)圖的平移、對(duì)稱和翻折；③從基本函數(shù)的圖象變換到復(fù)合函數(shù)的圖象等． 難點(diǎn)：①利用函數(shù)性質(zhì)識(shí)圖；②和數(shù)形結(jié)合有關(guān)問題． 二基礎(chǔ)知識(shí)

2、 （一）、函數(shù)圖象的三大基本問題 1．作圖：函數(shù)圖象是函數(shù)關(guān)系的直觀表達(dá)形式，是研究函數(shù)的重要工具，是解決很多函數(shù)問題的有力武器． 作函數(shù)圖象有兩種基本方法： ①描點(diǎn)法：其步驟是： 列表 (尤其注意特殊點(diǎn)，零點(diǎn)，最大值最小值，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))、 描點(diǎn)、 連線 ． ②圖象變換法． 作函數(shù)圖象的基本方法是： ① 討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性； ② 考慮是否可由基本初等函數(shù)的圖象變換作出圖象； ③ 準(zhǔn)確描出關(guān)鍵的點(diǎn)線(如圖象與x、y軸的交點(diǎn)，極值點(diǎn)(頂點(diǎn))，對(duì)稱軸，漸近線，等等). 作函數(shù)圖像的一般步驟是： （1）求出函數(shù)的定義域；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)式；（3）討論函

3、數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性）以及圖像上的特殊點(diǎn)、線（如極值點(diǎn)、漸近線、對(duì)稱軸等）；（4）利用基本函數(shù)的圖像畫出所給函數(shù)的圖像。 2．識(shí)圖：對(duì)于給定的函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系． 3．用圖：函數(shù)的圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法． （二）、圖象變換的四種形式 1．平移變換有： ①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向 左或右

4、 平移 a 個(gè)單位而得到． ②豎直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向 上或下 平移 b 個(gè)單位而得到 2．對(duì)稱變換主要有： ①y＝f(－x)與y＝f(x)，y＝－f(x)與y＝f(x)，y＝－f(－x)與y＝f(x)，y＝f－1(x)與y＝f(x)，每組中兩個(gè)函數(shù)圖象分別關(guān)于 y軸 、 x 軸 、 原點(diǎn)、 直線y=x 對(duì)稱； ②若對(duì)定義域內(nèi)的一切x均有f(x＋m)＝f(m－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于 直線x=m 對(duì)稱； y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)關(guān)于 點(diǎn)（a,b）成中心對(duì)稱． 3．伸縮變換主要有： ①

5、y＝af(x)(a>0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸(a>1時(shí))縮(a<1時(shí))到原來的 a 倍； ②y＝f(ax)(a>0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸(a<1時(shí))縮(a>1時(shí))到原來的 . 4．翻折變換主要有： ①y＝|f(x)|，作出y＝f(x)的圖象，將圖象位于 的部分以 為對(duì)稱軸翻折到 ； ②y＝f(|x|)，作出y＝f(x)在 右邊的部分圖象,以 為對(duì)稱軸將其翻折到左邊得y＝f(|x|)在 左邊的部分的圖象． （三）、圖象對(duì)稱性的證明及常見

6、結(jié)論 1．圖象對(duì)稱性的證明 ①證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性，歸結(jié)為任意點(diǎn)的對(duì)稱性證明.即證明其圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(或?qū)ΨQ軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上． ②證明曲線與的對(duì)稱性，即要證明上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(或?qū)ΨQ軸)的對(duì)稱點(diǎn)在上，反之亦然． ③．注意分清是一個(gè)函數(shù)自身是對(duì)稱圖形，還是兩個(gè)不同的函數(shù)圖象對(duì)稱. 2．有關(guān)結(jié)論 ①若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝ 成軸對(duì)稱圖形； ②函數(shù)y＝f(a＋x)與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝ (b－a)對(duì)稱； ③若函數(shù)f(x)關(guān)于x＝m及x＝n對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且

7、 是它的一個(gè)周期； ④若f(x＋a)＝ 對(duì)x∈R恒成立，則f(x)是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期． 三易錯(cuò)知識(shí) （一）、函數(shù)的平移變換 1．把y＝f(3x)的圖象向_____平移______個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(3x－1)圖象． 答案：右　 （二）、函數(shù)的伸縮變換 2．將函數(shù)y＝log3(x－1)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的 ，再向右平移半個(gè)單位，所得圖象的解析式為________． 答案：y＝－log3(2x－2) （三）、函數(shù)的對(duì)稱變換 對(duì)于函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)一定要區(qū)分開來，前者將y＝f(x)處于x軸下方的圖象，翻折到x軸上

8、方，后者將y＝f(x)圖象y軸左側(cè)圖象去掉作右側(cè)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖，后者是偶函數(shù)而前者y≥0.比如y＝|sinx|與y＝sin|x|. （四）、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性易混 若函數(shù)y＝f(x)滿足下列條件，則函數(shù)具有的性質(zhì)為： ①f(x)＝f(a－x) ，則y＝f(x)關(guān)于x＝對(duì)稱； ②f(x)＝f(a＋x) ，則y＝f(x)以 為周期； ③f(x)＝－f(a－x) ，則y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)( )對(duì)稱； ④f(x)＝－f(a＋x) ，則y＝f(x)以 為周期． 3．設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于 (　　

9、) A．直線y＝0對(duì)稱　　 B．直線x＝0對(duì)稱 C．直線y＝1對(duì)稱 D．直線x＝1對(duì)稱 解析：作為一選擇題可采用如下兩種解法：常規(guī)求解法和特殊函數(shù)法． 常規(guī)求解法：因?yàn)閥＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的圖象是f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的圖象是f(－x)的圖象也向右平移1個(gè)單位而得到的，因f(x)與f(－x)的圖象是關(guān)于y軸(即直線x＝0)對(duì)稱，因此，f(x－1)與f[－(x－1)]的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故選D. 特殊函數(shù)法：令f(x)＝x，則f(x－1)＝x－1，f(1－x)＝1－x，兩者圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，故否定A、B

10、、C，選D. 錯(cuò)誤警示：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上且f(x－1)＝f(1－x)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，選B. 這里的錯(cuò)誤主要是把兩個(gè)不同的對(duì)稱問題混為一談，即對(duì)稱問題中有一結(jié)論：設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，且f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．這個(gè)結(jié)論只對(duì)于一個(gè)函數(shù)而言，而本題是關(guān)于兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱問題，若套用這一結(jié)論，必然會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的答案． 答案：D 四回歸教材 1．函數(shù)y＝1－ 的圖象是(　　) 答案：B 2．把函數(shù)y＝lnx的圖象按向量a＝(－2,3)平移得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，則f(x)＝ (　　) A．l

11、n(x＋2)－3　　　 B．ln(x－2)＋3 C．ln(x＋2)＋3 D．ln(x－2)－3 3．為了得到函數(shù)y＝lg的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點(diǎn) (　　) A．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度D．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度 解析：由y＝lg 得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lgx圖象上所有的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位，得y＝lg(x＋3)的圖象，再向下平移1個(gè)單位得y＝lg(x＋3)－1的圖象．故選C. 答案：C 4．函數(shù)f(

12、x)＝ －x的圖象關(guān)于 (　　) A．y軸對(duì)稱 B．直線y＝－x對(duì)稱 C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱 解析：∵f(x)＝ －x， ∴f(－x)＝－＋x＝－(－x)＝－f(x)． ∴f(x)是一個(gè)奇函數(shù)．∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．答案：C 5．已知，則函數(shù)的大致圖象是 (　　) 五典例分析 題型1 作圖 【例1】　作出下列函數(shù)的大致圖象： (1)y＝ ； (2) y＝ ； (3)y＝|log2x－1|；(4)y＝2|x－1|. [思路點(diǎn)撥]　首先將簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)化歸為基本的初等函數(shù)，然后由基本初等函數(shù)圖

13、象變換得到． [解析]　(1)y＝ ，利用二次函數(shù)的圖象作出其圖象，如圖①. (2)因y＝1＋ ，先作出y＝的圖象，將其圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，即得y＝的圖象，如圖②. (3)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個(gè)單位，保留x軸上及x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖③. (4)先作出y＝2x的圖象，再將其圖象在y軸左邊的部分去掉，并作出y軸右邊的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，即得y＝2|x|的圖象，再將y＝2|x|的圖象向右平移一個(gè)單位，即得y＝2|x－1|的圖象，如圖④. [方法技巧]　已知函數(shù)解

14、析式研究函數(shù)圖象問題，主要是將解析式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)幕?jiǎn)，然后與一些熟知函數(shù)的圖象相聯(lián)系，通過各種圖象變換得到要求的函數(shù)圖象，此過程中，要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性等)，并用于作圖中． [溫馨提示]　本題(2)、(3)、(4)在作平移變換時(shí)易在平移的方向上出錯(cuò)． 變式探究① 作出下列函數(shù)的大致圖象： (1)； （2） （3） 解析：(1)作函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象得到的圖象，再將圖象向上平移2個(gè)單位，可得的圖象．如圖1； (2)因?yàn)閥＝[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1. 所以可以先將函數(shù)y＝log3x的圖象向左平移2個(gè)單

15、位，可得y＝log3(x＋2)的圖象，再作圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象，得y＝－log3(x＋2)的圖象，最后將圖象向下平移1個(gè)單位，得y＝－log3(x＋2)－1的圖象，即為y＝ [3(x＋2)]的圖象．如圖2； (3)作y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，得y＝的圖象，再把x軸下方的部分翻折到x軸上方，可得到y(tǒng)＝|l|的圖象，如圖3. 題型2 識(shí)圖 【例2】　函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象如圖． 則函數(shù)y＝f(x)g(x)的圖象可能是 (　　) [解析]　從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除B. 又x＜0時(shí)，g(x)

16、為增函數(shù)且為正值，f(x)也是增函數(shù)，故f(x)g(x)為增函數(shù)，且正負(fù)取決于f(x)的正負(fù)， 注意到x＝－時(shí)，f(x)＝0，則f(－ )g(－)必等于0，排除C、D.或注意到x→0－(從小于0趨向于0)，f(x)g(x)→＋∞，也可排除C、D. [答案]　A [反思?xì)w納]　要敏銳地從所給圖象中找出諸如對(duì)稱性、零點(diǎn)、升降趨勢(shì)等決定函數(shù)走勢(shì)的因素，進(jìn)而結(jié)合選擇填空題，作出合理取舍． 變式探究② （1）下列四個(gè)函數(shù)中，圖象如下圖所示的只能是 (　　) A．y＝x＋lgx　　　　　 B．y＝x－lgx C．y＝－x＋lgx D．y＝－x－lgx 解析：特殊值法：當(dāng)

17、x＝1時(shí)，由圖象知y>0，而C、D中y<0，故排除C、D，又當(dāng)x＝ 時(shí)，由圖象知y>0，而A中y＝＋lg＝－ <0，排除A，故選B. （2）設(shè)ab時(shí)，y>0.由數(shù)軸穿根法，從右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正確．答案：③ 2 1 O y x （3）已知函數(shù)的圖象如右圖所示,則 A B C D 題型3 函數(shù)的圖像的對(duì)稱變換 【例3】　(1)函數(shù)的圖象與函數(shù)(其中a>0且a≠1)的圖象關(guān)于(　　) A．直線y＝x對(duì)稱　 B．直線y＝x－1對(duì)稱

18、C．直線y＝x＋1對(duì)稱 D．直線y＝－x＋1對(duì)稱 [解析]　∵y＝ax與y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．又∵y與分別是由與的圖象向左平移1個(gè)單位而得到，∴與y＝loga(x＋1)的圖象關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱．故選C. (2)如果函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y＝f(2x)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線 (　　) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－ D．x＝ [解析]　y＝f(x＋1)右移一個(gè)單位得y＝f(x)的圖象． 因此，y＝f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱，y＝f(x)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的 ，得y＝f(2x)的圖象

19、，因此對(duì)稱軸為x＝ ，故選D. [答案]　D 變式探究③ 將函數(shù)的圖象按向量a平移得到函數(shù)的圖象，則 (　　) A．a(chǎn)＝(－1，－1) B．a(chǎn)＝(1，－1) C．a(chǎn)＝(1,1) D．a(chǎn)＝(－1,1) 解析：向下平移1個(gè)單位，得，由向左平移1個(gè)單位得. 故向量a＝(－1，－1)．答案：A 變式探究④ 設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則a的值為 (　　) A．3　　　　B．2 C．1　　　　D．－1 解析：方法1：由題意可得對(duì)于x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)恒成立， 即|x＋2|＋|x＋1－a|＝|－x＋2|

20、＋|－x＋1－a|， |x＋2|＋|x＋1－a|＝|x－2|＋|x－1＋a|， ∴1－a＝－2，得a＝3.故選A. 方法2：利用絕對(duì)值的幾何意義，知f(x)是點(diǎn)x到－1、a的距離之和，由于關(guān)于x＝1對(duì)稱，因此，－1與a關(guān)于x＝1對(duì)稱，所以a＝3. 答案：A 變式探究⑤ 已知函數(shù)f(x)＝－(a>0且a≠1)．(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，－)對(duì)稱；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 解：(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)(，－)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1－x，－1－y)．由已知，y＝－，則－1－y

21、＝－1＋＝－., f(1－x)＝－＝－＝－＝－. ∴－1－y＝f(1－x)．即函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，－)對(duì)稱． (2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. 題型4 用圖 【例4】　設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù) f(x)＝ ，則關(guān)于x的方程(x)＋bf(x)＋c＝0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是 (　　) A．b<0且c>0 B．b>0且c<0 C．b<0且c＝0

22、 D．b≥0且c＝0 [命題意圖]　本題主要考查利用圖象判斷解的個(gè)數(shù)問題，充要條件等知識(shí)． [分析]　通過數(shù)形結(jié)合法、篩選法獲得正確答案． [解析]　f(x)＝ 故函數(shù)f(x)的圖象如圖．注意f(0)＝0有三個(gè)根＝0，＝1，＝2，且有f(x)≥0，令f(x)＝t≥0，則方程為＋bt＋c＝0有實(shí)數(shù)解(t≥0)需滿足：＝－b≥0，即b≤0，＝c≥0，排除B、D，(因B項(xiàng)：c<0，D項(xiàng)b≥0)對(duì)于A不妨令b＝－3，c＝2，則方程為－3t＋2＝0.解之＝1，＝2. 即f(x)＝1，或f(x)＝2，由圖知有8個(gè)根，排除A.故選C. 實(shí)際上當(dāng)b<0，且c＝0時(shí)，＋bf(x)＝0，f(

23、x)＝0，或f(x)＝－b>0. 由f(x)＝－b>0，結(jié)合圖象，此時(shí)有4個(gè)根，f(x)＝0有根為0,1,2.共7個(gè)． 變式探究⑥ ?。?）f(x)是定義在區(qū)間[－c，c]上的奇函數(shù)，其圖象如下圖所示．令g(x)＝af(x)＋b，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的是 (　　) A．若a<0，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．若a＝1,0

24、圖，從圖中尋找突破口 解析：解法一：用淘汰法，當(dāng)a<0時(shí)，g(x)＝af(x)＋b是非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，淘汰A.當(dāng)a＝－2，b＝0時(shí)，g(x)＝－2f(x)是奇函數(shù)，不關(guān)于y軸對(duì)稱，淘汰C.當(dāng)a≠0，b＝2時(shí)，因?yàn)間(x)＝af(x)＋b＝af(x)＋2，當(dāng)g(x)＝0有af(x)＋2＝0，∴f(x)＝－ ，從圖中可以看到，當(dāng)－2<－<2時(shí)，f(x)＝－才有三個(gè)實(shí)根，所以g(x)＝0也不一定有三個(gè)實(shí)根，淘汰D.故選B. 解法二：當(dāng)a＝1,00，g(c)＝f(c)＋b<－2＋b<0，所以當(dāng)x

25、∈(2，c)，必有g(shù)(x)＝0，故B正確． 點(diǎn)評(píng)：本題屬于讀圖題型．解答讀圖題型的思維要點(diǎn)是：仔細(xì)觀察圖象所提供的一切信息，并和有關(guān)知識(shí)結(jié)合起來，全面判斷與分析．上述解法一為淘汰法；解法二為直接法，兩法均屬于解選擇題的通法． （2）已知當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)y＝x2與函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)x≤0時(shí)，不等式2x·x21的解集是__________． 解：在2x·x21中，令x＝－t，由x0得t0， ∴2－t·(－t)21，即t22t，由所給圖象得2t4， ∴2－x4，解得－4x≤－2. 答案：{x|－4x－2} （3）.若關(guān)于x的方程||-a=x至少有三個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解】 原方程變形為||=x+a,于是,設(shè)y=||,y=x+a,在同一坐標(biāo)系下分別作出它們的圖象如圖,則當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)(1,0)時(shí)a=-1; 當(dāng)直線y=x+a與拋物線相切時(shí), 由 0, 由a)=0,得 由圖象知時(shí)方程至少有三個(gè)根. 規(guī)律方法提煉 1．作圖要準(zhǔn)確、要抓住關(guān)鍵點(diǎn)：最高、低點(diǎn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、極值點(diǎn)等． 2．當(dāng)圖形不能準(zhǔn)確地說明問題時(shí)，可借助“數(shù)”的精確，注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．