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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第14講 直線 圓的位置關(guān)系教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)； 2．探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離； 3．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系； 4．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題； 5．在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。 二．命題走向 本講考察重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長(zhǎng)問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在解析幾何中也會(huì)出現(xiàn)大

2、題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識(shí)。 預(yù)測(cè)xx年對(duì)本講的考察是： （1）一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，解答題多與其它知識(shí)聯(lián)合考察； （2）熱點(diǎn)問題是直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考察也會(huì)是一個(gè)命題的方向； （3）本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力。 三．要點(diǎn)精講 1．直線l1與直線l2的的平行與垂直 （1）若l1，l2均存在斜率且不重合： ①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－1。 （2）若 若A1、A2、B1、B2都不為零。 ①l1//l2； ②l1l2 A1A2+B1B2=0； ③l

3、1與l2相交； ④l1與l2重合； 注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)。 2． 距離 （1）兩點(diǎn)間距離：若，則 特別地：軸，則、軸，則。 （2）平行線間距離：若， 則：。注意點(diǎn)：x，y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。 （3）點(diǎn)到直線的距離：，則P到l的距離為： 3．直線與圓的位置關(guān)系有三種 （1）若，； （2）； （3）。 還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷： （1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線與

4、圓相交； （2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)（直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相切； （3）當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離； 即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系： 相切d=rΔ＝0； 相交d0； 相離d>rΔ<0。 4．兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。 ； ； ； ； ； 外離 外切 相交

5、 內(nèi)切 內(nèi)含 判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來解決。 四．典例解析 題型1：直線間的位置關(guān)系 例1．（1）（xx北京11）若三點(diǎn) A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，則, 的值等于 。 （2）（xx上海文11）已知兩條直線若，則___ _。 解析：（1）答案：；（2）2。 點(diǎn)評(píng)：（1）三點(diǎn)共線問題借助斜率來解決，只需保證；（2）對(duì)直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。 例2．（1）（xx福建文，1）已知兩條直

6、線和互相垂直，則等于（ ） A．2　　　　 B．1　　　　 C．0　　　　 D． （2）（xx安徽理，7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ） A． B． C． D． 解析：（1）答案為D；（2）與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A。 點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。 題型2：距離問題 例3．（xx京皖春文，8）到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（ ） A．x－y=0

7、B．x+y=0 C．|x|－y=0 D．|x|－|y|=0 解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為（x，y） ∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。答案：D 點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識(shí)探索解題途徑 例4．（xx全國(guó)文，21）已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程。 解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有， 即。 整理得 x2+y2－6x+1=0 ① 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MＮ|＝2， 所以∠PMN＝30°，直線P

8、M的斜率為±， 直線PM的方程為y=±（x＋1） ② 將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。 解得x＝2＋，x＝2－。 代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）。 直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。 點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高

9、，有較好的區(qū)分度。 題型3：直線與圓的位置關(guān)系 例5．（1）（xx安徽文，7）直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A．　 B．　 C． D． （2）（xx江蘇理，2）圓的切線方程中有一個(gè)是（ ） A．x－y＝0　　　 B．x＋y＝0　　　 C．x＝0　　　 D．y＝0 解析：（1）解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了直線與圓位置關(guān)系的判定。 （2）直線ax+by=0，則，由排除法， 選C，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會(huì)選C,用圖象法解最省事。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直

10、線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解。 例6．（xx江西理，16）已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個(gè)命題： （A） 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M相切； （B） 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點(diǎn)； （C） 對(duì)任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切； （D）對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。 其中真命題的代號(hào)是______________（寫出所有真命題的代號(hào)） 解析：圓心坐標(biāo)

11、為（－cosq，sinq） d＝ 故選（B）（D） 點(diǎn)評(píng)：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。 題型4：直線與圓綜合問題 例7．（xx全國(guó)，9）直線x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對(duì)的圓心角為（ ） A． B． C． D． 解析：如圖所示： 圖 由 消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。 ∴A（2，0），B（1，） ∴|AB|==2 又|OB|＝|OA|=2， ∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=，故選C。 點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相交的基本知識(shí)，及正三角形的性質(zhì)以及邏

12、輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡(jiǎn)捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120°，則等腰△OAB的底角為60°.因此∠AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。 例8．（xx全國(guó)2，16）過點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝ 。 解析：過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率 解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線，所以。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等。

13、題型5：對(duì)稱問題 例9．（89年高考題）一束光線l自A（－3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。 (Ⅰ) 求反射線通過圓心C時(shí)，光線l的方程； (Ⅱ) 求在x軸上，反射點(diǎn)M的范圍． 解法一：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (x－2)2+(y－2)2=1，它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d==1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= －或k= －。故所求直線方程是y－3=－(x+3)，或y－3=

14、－(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。 解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2+(y－2)2=1，設(shè)交線L所在的直線的方程是 y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題意知k≠0，于是L的反射點(diǎn)的坐標(biāo)是（－，0），因?yàn)楣饩€的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y= －k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應(yīng)與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d==1。以下同解法一。 點(diǎn)評(píng)：圓復(fù)合直線的對(duì)稱問題，解題思路兼顧到直線對(duì)稱性問題，重點(diǎn)關(guān)注對(duì)稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。 例10．已知函數(shù)f(x)=x2－1(x≥1)的圖像為C1

15、，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱。 （1）求曲線C2的方程y=g(x)； （2）設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镸，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）設(shè)A、B為曲線C2上任意不同兩點(diǎn)，證明直線AB與直線y=x必相交。 解析：（1）曲線C1和C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。 ∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=，則曲線C2的方程為g(x)= (x≥0)。 （2）設(shè)x1，x2∈M，且x1≠x2，則x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=| －|=≤<|x1－x2|。

16、（3）設(shè)A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點(diǎn)，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（2）知，|kAB|=||=<1 ∴直線AB的斜率|kAB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。 點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)稱問題應(yīng)從方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手來處理，最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 題型6：軌跡問題 例11．（xx山東理，22）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中。 （I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程； （II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 解析：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓

17、圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為； （II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知① （1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點(diǎn)。 （2）當(dāng)時(shí)，由， 得==， 將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以， 此時(shí)，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點(diǎn)。 所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難

18、度較大的綜合題目。 例12．（xx江蘇，19）如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 解析：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，。 由已知，得。 因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以。 設(shè)，則， 即(或)。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力。 題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。 解析：表示過點(diǎn)A（0，－1）和圓上的動(dòng)點(diǎn)（x，y）的直線的斜率。 如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。 設(shè)切線方程

19、為，即，則，解得。 因此， 點(diǎn)評(píng)：直線知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用直線知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運(yùn)用。 例14．設(shè)雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)。 分析：正三角形PQR中，有， 則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點(diǎn)。 根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)。 解析：設(shè)以P為圓心，為半徑的圓的方程為：， 由得：。 （其中，可令進(jìn)行換元解之） 設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則。 即， 同理可得：， 且因?yàn)椤鱌QR是正三角形，則，

20、 即，得。 代入方程，即。 由方程組，得：或， 所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為 點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。 五．思維總結(jié) 1．關(guān)于直線對(duì)稱問題： （1）關(guān)于l ：Ax ＋By ＋C ＝0對(duì)稱問題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于l 對(duì)稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l 對(duì)稱問題，因?yàn)閷?duì)稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0 ，y0）關(guān)于l ：Ax ＋By ＋C ＝0對(duì)稱點(diǎn)Q（x1 ，y1）．有＝－（1）與A·＋B·＋C ＝0。 （2）解出x1

21、 與y1 ；若求C1 ：曲線f（x ，y）＝0（包括直線）關(guān)于l ：Ax ＋By ＋C1 ＝0對(duì)稱的曲線C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）與y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到關(guān)于l 對(duì)稱的曲線C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。 （3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 項(xiàng)系數(shù)|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 ＝4 x －2關(guān)于l ：x －y －4＝0對(duì)稱的曲線l2 的方程為：(x －4) 2 ＝4（y

22、＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，這樣就比較簡(jiǎn)單了。 （4）解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對(duì)稱問題來解決。 點(diǎn)與圓位置關(guān)系：P（x0 ，y0）和圓C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2。 ①點(diǎn)P 在圓C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2； ②點(diǎn)P 在圓上：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＝r2； ③點(diǎn)P 在圓內(nèi)：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 。 3．直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ，y）＝0．圓C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。 （1）直線與圓相交：F（x ，y）＝0中D ＞0

23、；或圓心到直線距離d ＜r 。 直線與圓相交的相關(guān)問題：①弦長(zhǎng)|AB|＝·|x1 －x2|＝·，或|AB|＝2；②弦中點(diǎn)坐標(biāo)（，）；③弦中點(diǎn)軌跡方程。 （2）直線與圓相切：F（x）＝0中D ＝0，或d ＝r ．其相關(guān)問題是切線方程．如P（x0 ，y0）是圓x2 ＋y2 ＝r2 上的點(diǎn)，過P 的切線方程為x0x ＋y0y ＝r2 ，其二是圓外點(diǎn)P（x0 ，y0）向圓到兩條切線的切線長(zhǎng)為或；其三是P（x0 ，y0）為圓x2 ＋y2 ＝r2 外一點(diǎn)引兩條切線，有兩個(gè)切點(diǎn)A ，B ，過A ，B 的直線方程為x0x ＋y0y ＝r2 。 （3）直線與圓相離：F（x）＝0中D ＜0；或d ＜r ；主

24、要是圓上的點(diǎn)到直線距離d 的最大值與最小值，設(shè)Q 為圓C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2 上任一點(diǎn)，|PQ|max ＝|PC|＋r ；|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值． 4．圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1 ，r2 的和差關(guān)系判定． （1）設(shè)⊙O1 圓心O1 ，半徑r1 ，⊙O2 圓心O2 ，半徑r2 則： ①當(dāng)r1 ＋r2 ＝|O1O2|時(shí)⊙O1 與⊙O2 外切；②當(dāng)|r1 －r2|＝|O1O2|時(shí)，兩圓相切；③當(dāng)|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 時(shí)兩圓相交；④當(dāng)|r1 －r2|＞|O1O2|時(shí)兩圓內(nèi)含；⑤當(dāng)r1 ＋r2 ＜|O1O2|時(shí)兩圓外離。 （2）設(shè)⊙O1 ：x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。 ①兩圓相交A 、B 兩點(diǎn)，其公共弦所在直線方程為（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0； ②經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋l（x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）。