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1、2022年高三數(shù)學(xué)3月月考試題 文(I) 一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分） 1．函數(shù)的部分圖像如圖所示，如果，且，則 （ ） A. B. C. D.1 2．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為 A． B． C． D． 3．函數(shù)在上的最大值為1，則的取值范圍是（ ） A. ?? ? B.??? C. ???? D. 4．已知直線l⊥平面α,直線m∥平面β,則“α∥β”是“l(fā)⊥m”的(　　) (A)充分不必要

2、條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分也非必要條件 5．函數(shù)f(x)=的圖象和g(x)=log2x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是(　　) (A)4　　　　(B)3　　　　(C)2　　　　(D)1 6．已知集合，則等于（ ） A． B． C． D． 7．設(shè)集合，，，則CU A . B. C. D. 8．如果隨機(jī)變量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，則P(-1<ξ≤1)等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2

3、）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2） 9．已知函數(shù)，下面結(jié)論錯誤的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)是偶函數(shù) C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 10．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a與b的夾角為60°，且|a|＝|b|＝1，則向量a與c的夾角為(　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 11． 設(shè)x,y滿足則x+y的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 12．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，使的值介于到1之間的

4、概率為 ( ) A. B. C. D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4個小題，每題5分，滿分20分） 13．函數(shù)的最小值是 ； 14．已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為，若，．則公比q= ， ． 15．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，則角A= . 16．已知圓與圓，在下列說法中： ①對于任意的，圓與圓始終相切； ②對于任意的，圓與圓始終有四條公切線； ③當(dāng)時，圓被直線截得的弦長為； ④分別為圓與圓上的動點(diǎn)，則的最

5、大值為4． 其中正確命題的序號為______． 三、解答題（70分） 17．（本小題滿分12分） 已知 設(shè)， ，，若圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距離等于． （1）求的值； （2）在中，分別為角的對邊，．當(dāng)時，求的值． 18．（本小題滿分12分）已知, ， （Ⅰ）把表示為的函數(shù)并寫出定義域; （Ⅱ）求的最值. 19．(本題滿分10分)甲乙兩地相距 km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過 km/h,已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度 km/h的平方成正比,比例系數(shù)為,固定部分為元. (1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為

6、速度(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域; (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛? 20．（本題12分）甲盒有標(biāo)號分別為1、2、3的3個紅球；乙盒有標(biāo)號分別為1、2、…、 的個黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個小球，抽到標(biāo)號為1號紅球和號黑球的概率為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）現(xiàn)從甲乙兩盒各隨機(jī)抽取1個小球，抽得紅球的得分為其標(biāo)號數(shù)；抽得黑球，若標(biāo)號數(shù)為奇數(shù)，則得分為1，若標(biāo)號數(shù)為偶數(shù)，則得分為0，設(shè)被抽取的2個小球得分之和為，求的數(shù)學(xué)期望． 21．（本題12分）PM2．5是指大氣中直徑小于或等于2．5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影

7、響很大。我國PM2．5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克／立方米～75微克／立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克／立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 某市環(huán)保局從360天的市區(qū)PM2．5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取l5天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉)． (1)從這l5天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)，求的分布列； (2)以這l5天的PM2．5日均值來估計(jì)這360天的空氣質(zhì)量情況，則其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級． 22．（本題12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．若設(shè)是從開始的前項(xiàng)數(shù)列

8、的和，即，，如此下去，其中數(shù)列是從第開始到第)項(xiàng)為止的數(shù)列的和，即． (1)若數(shù)列,試找出一組滿足條件的,使得： ； (2)試證明對于數(shù)列，一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐郑顾玫臄?shù)列中的各數(shù)都為平方數(shù)； (3)若等差數(shù)列中．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列 ,使得為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列；如不存在，則說明理由． 參考答案 1．D 【解析】 試題分析：由圖可知，函數(shù)關(guān)于直線對稱，且.如果，且，則易知關(guān)于直線對稱，所以.所以. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 2．D 【解析】 試題分析：因?yàn)?，? 所以，， 所以，=，故選D。 考點(diǎn)：等比數(shù)列的求和公式。 點(diǎn)評：簡

9、單題，由求得，進(jìn)一步求。 3．D 【解析】,由于f(0)=1,f(-3)=1,并且當(dāng),所以. 4．A 【解析】若α∥β,l⊥α,則l⊥β, 又m∥β,∴l(xiāng)⊥m,若l⊥m,l⊥α,m∥β,不一定有α∥β,故“α∥β”是“l(fā)⊥m”的充分不必要條件. 故選A. 5．C 【解析】在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖象如圖所示, 由圖象知有兩個交點(diǎn),故選C. 【誤區(qū)警示】本題易由于作圖時沒有去掉(1,0)點(diǎn),而誤選B. 6． 【解析】 試題分析：由已知，=， 選. 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算 7．C 【解析】略 8．D 【解析】略 9．C 【解析】 試題分析：,

10、故．函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù),所以AB正確, 函數(shù)的圖象的對稱軸為,即,對稱軸不可能為,故C錯誤,在上函數(shù)是增函數(shù),故D正確.,所以選C. 考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 10．D 【解析】因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3.所以|c|＝. 又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝－，設(shè)向量c與a的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 11．A 【解析】 考點(diǎn)：對數(shù)運(yùn)算及基本不等式 由，可得且，，即，由基本不等式，可知，則，當(dāng)

11、且僅當(dāng)時等號成立. 點(diǎn)評：此題考查基本不等式變形形式，屬中下檔題型 12．B 【解析】分析：本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出?cos 的值介于到1之間對應(yīng)線段的長度，再將其代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解． 解答：解：在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x， 即x∈[-1，1]時，要使?cos的值介于到1之間， 需使?- ≤≤， ∴-≤x≤?，區(qū)間長度為 1， 由幾何概型知?cos的值介于到1之間的概率為 故選B． 點(diǎn)評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出

12、滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P= 求解． 13． 【解析】 試題分析： 考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)，二倍角公式 點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于三角函數(shù)的性質(zhì)的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。 14．2， 31. 【解析】 試題分析： 因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且設(shè)其公比為q,那么可知，故可知公比為2，首項(xiàng)為1，那么，因此答案為2,31. 考點(diǎn)：本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，以及通項(xiàng)公式的求解運(yùn)算。 點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)的關(guān)系式，聯(lián)立方程組得到公比和首項(xiàng)的值，得到解決。 15．120°

13、【解析】 16．①③④ 【解析】對于①，我們知道兩個圓相切等價于兩個圓的圓心距剛好等于兩個圓的半徑之和，有題意，有：圓的半徑為：1，圓心為：；圓的半徑為：1，圓心為：，所以兩個圓的圓心距為：，又因?yàn)椋瑑蓤A的半徑之和為：1+1=2=圓心距，所以對于任意，圓和圓始終相切。 對于②，從①有，兩圓相切，所以兩圓只有三條公切線，所以②錯誤。 對于③，我們有圓的方程為：，故有圓的圓心為：，設(shè)其被所截弦為，過圓心做垂直于，則由圓的性質(zhì)，有是弦的中點(diǎn)，所以圓心到直線的距離為：，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以有其所截弦的長為：所以③正確。 對于④，由①有，兩圓相切，所以兩圓上的點(diǎn)的最大距離就是兩圓的直徑之和

14、，因?yàn)榈闹睆綖?，的直徑也為2，也就是說的最大值為：2+2=4. 17．（1）；（2） 或。 【解析】 試題分析：（1） --------------2分 ------------4分 又 ∴ -------5分 解得 -------------6分 （2）因， -----------7分 因 得 -----------8分 又-------------------10分 解得 或 ------------12分 考點(diǎn)：本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)方程思想，余弦定理的應(yīng)用。 點(diǎn)評：典型題，為研究三角函數(shù)的圖象

15、和性質(zhì)，往往需要將函數(shù)“化一”。借助于函數(shù)方程思想，由余弦定理、三角形面積公式構(gòu)建b,c的方程，達(dá)到解題目的。 18．（1）（2）的最大值為1，的最小值 【解析】（Ⅰ） 所以 …………………………………………4分 由 所以函數(shù)的定義域?yàn)椤?分 （Ⅱ）……………………………8分 w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值1 減函數(shù) ………………………10分 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ， ，w.&w.^

16、w.k.s.5*u.c.#o@m 的最大值為1，的最小值………………………………12分 19．（1）所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s(+bv),v∈. （2）為使全程運(yùn)輸成本y最小,當(dāng)≤c時,行駛速度為v=;當(dāng)>c時,行駛速度為v=c. 【解析】解:(1)依題意知,汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=s(+bv). 故所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s(+bv),v∈. (2)依題意知s,a,b,v都是正數(shù),故有s(+bv)≥2s.當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時上式中等號成立. ①當(dāng)≤c時,則當(dāng)v=時全程運(yùn)輸成本最小; ②當(dāng)>c時,則當(dāng)v∈時有s(+bv)-s(+

17、bc)=s[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv). ∵c-v≥0且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,∴s(+bv)≥s(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時等號成立. 即當(dāng)v=c時全程運(yùn)輸成本最小. 綜上知,為使全程運(yùn)輸成本y最小,當(dāng)≤c時,行駛速度為v=;當(dāng)>c時,行駛速度為v=c. 20．解：（Ⅰ）由題意知：， ……………………………4分 （Ⅱ） ……………………………12分 【解析】略 21．（1）分布列為 0 1 2 3 （2）一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為144天. 【解析】 試題分析：（1）由

18、 ,的可能值為0，1，2，3 利用 即得分布列： 0 1 2 3 （2）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率為， 由～ , 得到(天) ， 一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為144天. 試題解析：（1）∵ ,的可能值為0，1，2，3 其分布列為 3分 0 1 2 3 6分 （2）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率為 一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為 則～ , 所以(天) 11分 一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為144天 12分 考

19、點(diǎn)：超幾何分布，二項(xiàng)分布. 22．(1);(2)證明見解析；（3）不存在，證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）仔細(xì)閱讀題目，其實(shí)會發(fā)現(xiàn)第2小題已經(jīng)給我們指明了方向，從第一個數(shù)開始適當(dāng)劃分，使每段的和為平方數(shù)，同時想辦法滿足，這樣既完成了第1小題，又可完成第2小題，從最簡單入手，，，因此思考是否可能有呢？，這樣第1小題完成；（2）這類問題實(shí)質(zhì)就是要我們作出一個符合條件的劃分，由（1）的分析，可知只要，則所得劃分就是符合題意的，事實(shí)上，， ，是完全平方數(shù)；（3）這類問題總是假設(shè)存在，然后推導(dǎo)，能求出就說明存在，不能求出或推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論就說明不存在，可以計(jì)算出，數(shù)列必定是公比大于1的整

20、數(shù)的等比數(shù)列，但事實(shí)上，，從而要求是完全平方數(shù)，這是不可能的，故假設(shè)錯誤，本題結(jié)論是不存在． 試題解析：（1）則;（4分） (2)記即,又由，,所以第二段可取3個數(shù)，；再由，即,因此第三段可取9個數(shù)，即，依次下去, 一般地:,（6分） 所以，（8分） （9分） 則． 由此得證．（11分） （3）不存在．令,則 假設(shè)存在符合題意的等比數(shù)列, 則的公比必為大于的整 數(shù),(,因此，即 此時,注意到, （14分） 要使成立,則必為完全平方數(shù),（16分） 但,矛盾．因此不存在符合題意的等差數(shù)列．（18分） 考點(diǎn)：（1）構(gòu)造法解題；（2）存在性命題；（2）數(shù)列的綜合性問題．