《2022年高三數學一輪復習講義 等差數列及其前n項和 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高三數學一輪復習講義 等差數列及其前n項和 新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高三數學一輪復習講義 等差數列及其前n項和 新人教A版 自主梳理 1．等差數列的有關定義 (1)一般地，如果一個數列從第__2__項起，每一項與它的前一項的__差__等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列．符號表示為__ an＋1－an＝d __________ (n∈N*，d為常數)． (2)數列a，A，b成等差數列的充要條件是__ A＝________，其中A叫做a，b的___等差中項_______． 2．等差數列的有關公式 (1)通項公式：an＝_ a1＋(n－1)d　_______，an＝am＋_ (n－m)d _______ (m，n∈N*)． (

2、2)前n項和公式：Sn＝_ na1＋d _________＝____________. 3．等差數列的前n項和公式與函數的關系 Sn＝n2＋n. 4．等差數列的性質 (1) 若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則有__am＋an＝ap＋a q ________， 特別地，當m＋n＝2p時，___ am＋an＝2ap ___________. (2) 若{an}是等差數列，公差為d，則{a2n}也是等差數列，公差為__2d ______ (3) 若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為__ md ____的等差數列.

3、 (4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}也是等差數列. (5) 等差數列的單調性：若公差d>0，則數列為__遞增數列__________； 若d<0，則數列為____遞減數列______；若d＝0，則數列為___常數列_____． (6)等差數列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列． (7)S2n－1＝(2n－1)an. (8)若n為偶數，則S偶－S奇＝d.若n為奇數，則S奇－S偶＝a中(中間項). 5.等差數列的最值 在等差數列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最______值；若a1<0，d>0，則Sn存在最______值. 大　小 6

4、．方法與技巧 等差數列的判斷方法有： (1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數)?{an}是等差數列． (2)中項公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數列． (3)通項公式：an＝pn＋q (p，q為常數)?{an}是等差數列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數)?{an}是等差數列． (5)在遇到三個數成等差數列問題時，可設三個數為①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可視具體情況而定． (6)在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解. 　

5、自我檢測 1．已知等差數列{an}中，a5＋a9－a7＝10，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S13的值為 (　　) A．130 B．260 C．156 D．168 2．等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于 (　　) A．1 B. C．2 D．3 3設Sn是等差數列{an}的前n項和，若＝，則等于 (　　) A．1 B．－1 C．2 D. 4．若等差數列{an}的前5項之和S5＝25，且a2＝3，則a7等于 (　　) A．12 B．13 C．14

6、 D．15 5．設{an}為等差數列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1等于(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 6.設等差數列{an}的前n項和為Sn.若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝__24______. 7.有兩個等差數列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，則這個新數列{an}的通項公式an＝___.12n－10_______. 8.已知兩個數列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數列，且x≠y，則的值為_______. 9．

7、數列{an}是等差數列，若＜－1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當Sn取得最小正值時，n＝(　　)． A．11 B．17 C．19 D．21 解析　由題意，可知數列{an}的前n項和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因為＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差數列的性質有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值時n＝19. 題型一　等差數列的基本量的計算 例1　等差數列{an}的前n項和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通項an； (2)若Sn＝242，

8、求n. 解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程組　解得所以an＝2n＋10. (2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242. 得12n＋×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)． 　設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍. 解　(1)由題意知S6＝＝－3， a6＝S6－S5＝－8. 所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)方法一　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2

9、a＋9da1＋10d2＋1＝0. 因為關于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得d≤－2或d≥2. 方法二　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤－2或d≥2. 探究提高　(1)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想解決問題. (2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用

10、它們表示已知和未知是常用方法. 變式訓練1　　設等差數列{an}的公差為d (d≠0)，它的前10項和S10＝110，且a1，a2，a4成等比數列，求公差d和通項公式an. 解　由題意，知 即 ∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n. 已知等差數列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若數列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值. 解　(1)設等差數列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1

11、)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 題型二　等差數列的判定或證明 例2　已知數列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝ (n∈N*). (1)求證：數列{bn}是等差數列； (1)證明　∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝. ∴n≥2時，bn－bn－1＝－＝－ ＝－＝1.又b1＝＝－. ∴數列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數列. (2)解　由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋＝1＋， 設函數f(x

12、)＝1＋，易知f(x)在區(qū)間和內為減函數. ∴當n＝3時，an取得最小值－1；當n＝4時，an取得最大值3. 探究提高　1．證明或判斷一個數列為等差數列，通常有兩種方法：(1)定義法：an＋1－an＝d；(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2.就本例而言，所用方法為定義法. 2．解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷． (1)通項法：若數列{an}的通項公式為n的一次函數，即an＝An＋B，則{an}是等差數列． (2)前n項和法：若數列{an}的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數)，則{an}為等差數列． 3．若判斷一個數列不是等差數列，則只需說明

13、任意連續(xù)三項不是等差數列即可． 變式訓練2(1)已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝ (n≥2)，a1＝2. ①求證：是等差數列； ②求an的表達式. ①證明　由Sn＝，得＝＝＋2， ∴－＝2，∴是以即為首項，以2為公差的等差數列. ②解　由知＝＋(n－1)×2＝2n－，∴Sn＝， ∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝； 當n＝1時，a1＝2不適合an， 故an＝ (2)已知數列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． ①求a2，a3的值． ②是否存在實數λ，使得數列{}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，說

14、解　①∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33. ②假設存在實數λ，使得數列{}為等差數列． 設bn＝，由{bn}為等差數列，則有2b2＝b1＋b3. ∴2×＝＋.∴＝＋， 解得λ＝－1. 事實上，bn＋1－bn＝－ ＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1. 綜上可知，存在實數λ＝－1，使得數列{}為首項為2、公差為1的等差數列． 題型三　等差數列性質的應用 例3　若一個等差數列的前5項之和為34，最后5項之和為146，且所有項的和為360，求這個數列的項數． 解　方法一　設此等差數列為{an}共n項， 依題意有

15、a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，① an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146. ② 根據等差數列性質，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an. 將①②兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180， ∴a1＋an＝36. 由Sn＝＝＝360，得n＝20. 所以該等差數列有20項． 方法二　設此等差數列共有n項，首項為a1，公差為d， 則S5＝5a1＋d＝34，① Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d] ＝5a1＋(5

16、n－15)d＝146.② ①②兩式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180， ∴a1＋d＝18， 代入Sn＝na1＋d＝n＝360， 得18n＝360，∴n＝20. 所以該數列的項數為20項． 變式訓練3　已知數列{an}是等差數列． (1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n； (2) 若項數為奇數，且奇數項和為44，偶數項和為33，求數列的中間項和項數． 　解　(1) ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列， ∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54. (2) 設項數為2n－1 (n∈N*)，則奇數項有n項，偶數項有n－1項，中間項為an，則 S奇＝＝n·a

17、n＝44， S偶＝＝(n－1)·an＝33， ∴＝.∴n＝4，an＝11. ∴數列的中間項為11，項數為7. 題型四　等差數列的前n項和及綜合應用 例4　(1)在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知數列{an}的通項公式是an＝4n－25，求數列{|an|}的前n項和. 解　(1)方法一　∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－. ∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋. ∴a13＝0，即當n≤12時， an>0，n≥14時，an<0， ∴當n

18、＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為 S13＝S12＝12×20＋×＝130. 方法二　同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋· ＝－n2＋n＝－2＋. ∵n∈N*，∴當n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 方法三　同方法一得d＝－. 又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當n＝12或13時，Sn有最大值.且最大值為S12＝S13＝130. (2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21. 所以數列{an}是以－

19、21為首項，以4為公差的遞增的等差數列. 令 由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6. 即數列{|an|}的前6項是以21為首項，公差為－4的等差數列，從第7項起以后各項構成公差為4的等差數列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3. 設{|an|}的前n項和為Tn，則 Tn＝＝ 點評：　求等差數列前n項和的最值，常用的方法： 　若{an}是等差數列，求前n項和的最值時， (1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項和Sn最大； (2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項和Sn最小； (3)將等差數列的前n項和Sn＝An2＋Bn (A、B為常數)看做二次函數，利用二次函數的圖象或配方

20、法求最值，注意n∈N*. 變式訓練4 (1) 已知數列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n項和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求數列{bn}的前n項和的最小值． 解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數列． 設{an}的首項為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72， 得，∴. ∴an＝4n－2.則bn＝an－30＝2n－31. 解得≤n≤. ∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項為負值. ∴S15最?。? 可知b1＝－29，d＝2， ∴S15＝＝－225. 方法二　同方法一求出bn＝2n－31.

21、∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225， ∴當n＝15時，Sn有最小值，且最小值為－225. (2)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1<0，S2 009＝0. ①求Sn的最小值及此時n的值；②求n的取值集合，使an≥Sn. 　解　方法一　①設公差為d，則由S2 009＝0?2 009a1＋d＝0 ?a1＋1 004d＝0， d＝－a1，a1＋an＝a1， ∴Sn＝(a1＋an)＝·a1＝(2 009n－n2) ∵a1<0，n∈N*，∴當n＝1 004或1 005時，Sn取最小值a1. ②an＝a1. Sn≤an?(2 009n－n2)≤a1. ∵a1<0，

22、∴n2－2 011n＋2 010≤0， 即(n－1)(n－2 010)≤0，解得：1≤n≤2 010. 故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 010，n∈N*}. (3)設等差數列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n (m≠n)，求它的前m＋n項 的和Sm＋n. 解　方法一　設{an}的公差為d， 則由Sn＝m，Sm＝n， 得 ②－①得(m－n)a1＋·d＝n－m， ∵m≠n，∴a1＋d＝－1. ∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d ＝(m＋n)＝－(m＋n). 方法二　設Sn＝An2＋Bn (n∈N*)， 則

23、 ③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m. ∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1， ∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)， ∴Sm＋n＝－(m＋n). 等差數列及其前n項和（1） 一、選擇題 1．如果等差數列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝ (　　) A．14 B．21 C．28 D．35 2．已知{an}是等差數列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n項和Sn最小的n是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3在等差數列{an}中，

24、若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為 (　　) A．14 B．15 C．16 D．17 4．等差數列{an}的前n項和滿足S20＝S40，下列結論中正確的是 (　　) A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0 5．設數列{an}、{bn}都是等差數列，且a1＝10，b1＝90，a2＋b2＝100，那么數列{an＋bn}的第2 012項的值是 (　　) A.85 B.90 C.95 D.100 6．已知等差數列

25、{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，則數列{bn}的前9項和等于________． [解析] 由? ∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a3n＝9n， ∴數列{bn}的前9項和為S9＝×9＝405. 二、填空題 7．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝___15_____. 8．等差數列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝__10______. 9．在數列{an}中，若點(n，an)在經過點(5,3)的定直線l上，則數列{an}的前9項和S9＝____27____. 三、解答題

26、 10．設{an}是一個公差為d (d≠0)的等差數列，它的前10項和S10＝110，且a＝a1a4. (1)證明：a1＝d； (2)求公差d的值和數列{an}的通項公式． (1) 證明　∵{an}是等差數列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a＝a1a4， 于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d (d≠0)．化簡得a1＝d (2)解　由條件S10＝110和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝110. 由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110， 故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n. 因此，數列{an}的通項公式為a

27、n＝2n，n∈N* 11．已知等差數列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝ (n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Tn. 解　(1)設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得a1＝3，d＝2 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝， 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)) (2)因為an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)， 因此bn＝＝ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 所以數列{bn}的前n項和Tn

28、＝ 12．在數列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)． (1)證明數列{}是等差數列； (2)求數列{an}的通項； (3)若λan＋≥λ對任意n≥2的整數恒成立，求實數λ的取值范圍． (1)證明　將3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)． 所以數列{}為以1為首項，3為公差的等差數列 (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝ (3)解　若λan＋≥λ對n≥2的整數恒成立， 即＋3n＋1≥λ對n≥2的整數恒成立． 整理得λ≤ (9分) 令cn＝ cn＋1－cn＝－＝. 因為n≥2，

29、所以cn＋1－cn>0， 即數列{cn}為單調遞增數列，所以c2最小，c2＝. 所以λ的取值范圍為(－∞，] 　　　　　　　　 等差數列及其前n項和（2） 一、選擇題 1.設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于 (　　) A.31 B.32 C.33 D.34 2.數列{an}為等差數列，a10＝33，a2＝1，Sn為數列{an}的前n項和，則S20－2S10等于(　　) A.40 B.200 C.400 D.20 3設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a1＝1，公差

30、d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k等于(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 4.已知數列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差數列，則a11等于 (　　) A.0 B. C. D. 5.在各項均不為零的等差數列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0 (n≥2)，則S2n－1－4n等于(　　) A.－2 B.0 C.1 D.2 6．已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數的正整數n的個數是(　　) A．2 B．3

31、 C．4 D．5 6．D　[解析] ＝＝＝＝＝7＋，所以當n＝1,2,3,5,11時滿足． 二、填空題 7 設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝__15______. 8. 等差數列{an}的前n項和為Sn，且6S5－5S3＝5，則a4＝________. 9. 等差數列{an}的通項公式是an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數列的前10項和為___75_____. 10. 設等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數n都有＝，則＋的值為________. 三、解答題 11.已知數列{an}的通項公式an＝p

32、n2＋qn (p、q∈R，且p、q為常數). (1)當p和q滿足什么條件時，數列{an}是等差數列； (2)求證：對任意實數p和q，數列{an＋1－an}是等差數列. (1)解　an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q， 要使{an}是等差數列，則2pn＋p＋q應是一個與n無關的常數，所以只有2p＝0， 即p＝0. 故當p＝0，q∈R時，數列{an}是等差數列. (2)證明　∵an＋1－an＝2pn＋p＋q， ∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q， ∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p為一個常數.∴{an＋1－

33、an}是等差數列. 12．在等差數列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項和為Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值． 解　(1)設等差數列{an}的首項為a1，公差為d， ∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，∴a17＝－12，∴d＝＝3， ∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63， an＋1＝3n－60， 令，得20≤n≤21，∴S20＝S21＝－630， ∴n＝20或21時，Sn最小且最小值為－630. (2)由(1)知前20項小于零，第21項等于0，以后各項均為正數． 當n≤21時，Tn＝－Sn＝－n2＋n. 當n>21時

34、，Tn＝Sn－2S21＝n2－n＋1 260. 綜上，Tn＝. 13.已知等差數列{an}中，公差d>0，前n項和為Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數列{an}的通項公式； (2)令bn＝ (n∈N*)，是否存在一個非零常數c，使數列{bn}也為等差數列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由. 解　(1)由題設知，{an}是等差數列，且公差d>0，則由 得 解得　∴an＝4n－3 (n∈N*). (2)由bn＝＝＝， ∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴數列{bn}是公差為2的等差數列. 即存在一個非零常數c＝－，使數列{bn}也為等差數列.