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1、2022春八年級數(shù)學下冊 18 平行四邊形本章小結(jié)學案 （新版）新人教版 1.回顧平行四邊形及各種特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定,三角形的中位線及其性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).(重點) 2.正確理解平行四邊形與各種特殊平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別,在反思和交流過程中,逐漸建立知識體系.(難點) 3.總結(jié)本章的重要思想方法. 學習過程 一、合作探究 閱讀第十八章全章內(nèi)容,回答下列問題: 1.填寫下表:總結(jié) 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 邊 　　　平行且相等? 　　　平行且相等? 　　　平行,　　　相等? 　　平行,　　相等? 角 　　相等? 　　

2、　都是直角? 　　相等? 　　　都是直角? 互相　? 互相　　　　? 互相　　　　,且每條對角線平分一組　　? 互相　　　　且　　,每條對角線平分一組　　? 判定 　　1.兩組對邊分別　　;? 2.兩組對邊分別　　;? 3.一組對邊　　且　　;? 4.兩組對角分別　　;? 5.兩條對角線互相　　.? 　　1.有　　角是直角的四邊形;? 2.有　　角是直角的　　　　　;? 3.　　　相等的　　　　　.? 　　1.四邊　　的四邊形;? 2.對角線互相　　的平行四邊形;? 3.有一組鄰邊　　的平行四邊形.? 4.每條對角線　　　　　　　一組對角的四邊形.?

3、 　　1.有一個角是　　的菱形;? 2.對角線　　的菱形;? 3.有一組鄰邊　　的矩形;? 4.對角線互相　　的矩形;? 對稱性 只是　　　　圖形? 既是　　　圖形,又是　　　　圖形? 面積 S=　? S=　? S=　? S=　? 2.我們學習了一般的平行四邊形和一些特殊的平行四邊形,下圖表示了在某種條件下它們之間的相互轉(zhuǎn)化.請你對下圖標上的5個數(shù)字序號寫出相對應的條件. 3.三角形的中位線及其性質(zhì)是什么? 4.直角三角形斜邊上的中線有何性質(zhì)? 5.矩形被其一條對角線分成兩個　　　　三角形,被其兩條對角線分成四個　　　　三角形;菱形被其一條對角線分成兩個　

4、　　　三角形,被其兩條對角線分成四　　　　三角形;正方形被其一條對角線分成兩個　　　　三角形,被其兩條對角線分成四個全等三角形.? 6.矩形有　　　　條對稱軸,菱形有　　　　條對稱軸,正方形有　　　　條對稱軸.? 二、自主練習 【例1】如圖,E,F是平行四邊形ABCD對角線BD上的兩點,給出下列三個條件:①BE=DF;②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.請你從中選擇一個適當?shù)臈l件　　　　,使四邊形AECF是平行四邊形,并證明你的結(jié)論.? 【例2】如圖,點E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀,并證明你的結(jié)論. 【例3】如

5、圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH的長. 【例4】如圖,正方形ABCD的對角線相交于點O,點O是正方形A'B'C'O的一個頂點,如果兩個正方形的邊長相等,那么正方形A'B'C'O繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動,兩個正方形重疊部分的面積總等于一個正方形面積的四分之一,你能說明理由嗎?(提示:尋找全等三角形) 【例5】如圖,△ABC中,BD,CE為高,F是邊BC的中點,判斷△DEF的形狀,并說明理由. 三、跟蹤練習 1.已知?ABCD的周長為36 cm,AB=15 cm,則AD= (　　) A.21 cm B.6 cm C.10.5

6、 cm D.3 cm 2.菱形的周長為40 cm,一條對角線長為16 cm,則其另一條對角線長(　　) A.12 cm B.6 cm C.16 cm D.8 cm 3.在△ABC中,D,E分別是BC,AC邊的中點,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,則DE=　　　　cm.? 4.矩形ABCD的邊AB長5 cm,對角線AC長13 cm,則矩形的周長是　　　　cm.? 5.如圖,直線AE∥BD,點C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面積為16,則△ACE的面積是　　　　.? 6.已知:如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,求以AC為邊長的正方形ACE

7、F的周長. 四、變式演練 1.如圖,在四邊形ABCD中,點H是邊BC的中點,作射線AH,在線段AH及其延長線上分別取點E,F,連接BE,CF. (1)請你添加一個條件,使得△BEH≌△CFH,你添加的條件是　　　　,并證明;? (2)在問題(1)中,當BH與EH滿足什么關(guān)系時,四邊形BFCE是矩形?請說明理由. 2.現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD,如圖所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中點.實際操作:將紙片沿直線AE折疊,使點B落在四邊形AECD內(nèi),記為點B'. (1)請用尺規(guī)在圖中作出△AEB'(保留作圖痕跡); (2)試求B',C兩點之間的距離. 五、達

8、標檢測 (一)選擇題 1.在四邊形ABCD中,O是對角線的交點,能判定這個四邊形是正方形的條件是(　　) A.AC=BD,AB=CD,AB∥CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 2.如圖,將一個邊長分別為4,8的長方形紙片ABCD折疊,使C點與A點重合,則折痕EF的長是(　　) A. B.2 C. D.2 3.兩個全等的三角形(不等邊)可拼成不同的平行四邊形的個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知點A(2,0),B,C(0,1),以A,B,C三點為頂點畫平行四邊形,則第四個

9、頂點不可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如圖,是由兩個正方形組成的長方形花壇ABCD,小明從頂點A沿著花壇間小路直到走到長邊中點O,再從中點O走到正方形OCDF的中心O1,再從中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又從中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再從中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31m,則長方形花壇ABCD的周長是(　　) A.36 m B.48 m C.96 m D.60 m (二)填空題 6.如圖,若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀,并使其面積為矩形面積的一半,則這個平行四邊形

10、的一個最小內(nèi)角的值等于　　　　.? 7.平行四邊形兩鄰邊長分別為20和16,若兩較長邊之間的距離為4,則兩較短邊之間的距離為　　　　　.? 8.如圖,四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直,四邊形A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點四邊形.如果AC=8,BD=10,那么四邊形A1B1C1D1的面積為　　　　.? 9.如圖,?ABCD中,點E在邊AD上,以BE為折痕,將△ABE向上翻折,點A正好落在CD上的點F,若△FDE的周長為10,△FCB的周長為22,則FC的長為　　　　.? 10.將一張長方形的紙對折,如圖所示,可得到一條折痕(圖中虛線),繼續(xù)對折,對折時每次

11、折痕與上次的折痕保持平行,連續(xù)對折三次后,可以得到7條折痕,那么對折四次可以得到　　　條折痕,如果對折n次,可以得到　　　條折痕.? (三)解答題 11.如圖,直線a,b相交于點A,C,E分別是直線b,a上兩點且BC⊥a,DE⊥b,點M,N分別是EC,DB的中點.求證:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD. 12.已知:在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,CE=CD,點F為CE的中點,點G為CD上的一點,連接DF,EG,AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的長; (2)求證:∠CEG=∠AGE. 參考答案 一、合作探究 1. 平行四邊

12、形 矩形 菱形 正方形 邊 對邊平行且相等 對邊平行且相等 對邊平行,四邊相等 對邊平行,四邊相等 角 對角相等 四個角都是直角 對角相等 四個角都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分,且每條對角線平分一組對角 互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角 續(xù)　表 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 判定 　　1.兩組對邊分別平行; 2.兩組對邊分別相等; 3.一組對邊平行且相等; 4.兩組對角分別相等; 5.兩條對角線互相平分. 　　1.有三個角是直角的四邊形; 2.有一個角是直角的平行四邊形; 3.對

13、角線相等的平行四邊形. 　　1.四邊相等的四邊形; 2.對角線互相垂直的平行四邊形; 3.有一組鄰邊相等的平行四邊形; 4.每條對角線互相垂直且平分一組對角的四邊形. 　　1.有一個角是直角的菱形; 2.對角線相等的菱形; 3.有一組鄰邊相等的矩形; 4.對角線互相垂直的矩形. 對稱性 只是中心對稱圖形 既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形 面積 S=ah S=ab S=d1d2 S=a2 2.(1)兩組對邊分別平行;(2)有一個角是直角;(3)有一組鄰邊相等;(4)有一組鄰邊相等;(5)有一個角是直角. 3.略 4.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

14、 5.略 6.2　2　4. 二、自主練習 【例1】選①(答案不唯一) 證明:如圖,連接AC交BD于O. ∴AO=CO,OB=OD. 又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF. 又∵AO=CO, ∴四邊形AECF為平行四邊形. 【例2】解:四邊形EFGH為平行四邊形. 如圖,連接AC,在△ACD中,H,G分別為AD,CD的中點, ∴HG∥AC,HG=AC. 同理:EF∥AC,EF=AC. ∴HG∥EF,HG=EF. ∴四邊形EFGH為平行四邊形. 【例3】解:∵四邊形ABCD為菱形, ∴AO=AC=4 cm,OB=BD=3 cm. AC⊥

15、BD, ∴在Rt△AOB中,AB==5(cm). 又∵S△ABD=DH·AB=AO·BD. ∴DH=(cm). 【例4】解:∵∠BOF+∠A'OB=90°,∠A'OB+∠AOE=90°.∴∠BOF=∠AOE. 又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF. ∴S△AOE=S△BOF. ∴S四邊形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=S正方形ABCD. 【例5】解:△DEF為等腰三角形. 在Rt△BEC中,∵F為BC的中點,∴EF=BC, 同理:FD=BC,∴FD=EF. ∴△DEF為等腰三角形. 三、跟蹤練習 1.D　2.A

16、　3.2　4.34　5.10 6.解:由菱形的性質(zhì)得:AB=BC, 又∵∠B=60°, ∴△ABC為等邊三角形.∴AC=AB=4. ∴C正方形ACEF=4AC=4×4=16. 四、變式演練 1.解:(1)添加條件:BE∥CF(答案不唯一). 證明:如題圖,∵BE∥CF,∴∠1=∠2. ∵點H是邊BC的中點,∴BH=CH. 又∵∠3=∠4, ∴△BEH≌△CFH. (2)當BH=EH時,四邊形BFCE是矩形,理由如下: 如圖,連接BF,CE,∵△BEH≌△CFH, ∴BH=CH,EH=FH. ∴四邊形BFCE是平行四邊形. 又∵BH=EH,∴BC=EF, ∴四邊形

17、BFCE是矩形. 2.解:(1)如圖所示. (2)如圖,連接BB',B'C,設(shè)BB'與AE交于點F. 因為點B,B'關(guān)于直線AE對稱, 所以BE=B'E, 所以∠EBB'=∠EB'B. 因為BE=EC,所以B'E=EC, 所以∠ECB'=∠EB'C. 因為∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'=180°, 所以∠BB'C=90°. 因為BC=6 cm,E是BC的中點, 所以BE=3 cm. 在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根據(jù)勾股定理,得AE=5 cm,所以BF= cm,所以BB'= cm. 在Rt△BB'C中,根據(jù)勾股定理,得 B'C=

18、. 故B',C'兩點之間的距離為cm. 五、達標檢測 1.C　2.D　3.C　4.C　5.C 6.30°　7.5　8.20　9.6　10.15　2n-1 11.證明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b, ∴∠CDE=∠CBE=90°, ∴△CBE,△CDE為直角三角形, ∵點M是EC的中點, ∴DM=BM=EC, ∴DM=BM; (2)∵DM=BM, ∴△MDB為等腰三角形, 又∵N為BD的中點, ∴MN為BD邊上的中線, ∴MN⊥BD(三線合一). 12.解:(1)∵點F為CE的中點, ∴CE=CD=2CF=4. 又∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AB=CD=4. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=. (2)證明:如圖,延長AG,BC交于點H. ∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C, ∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF. ∵點F為CE的中點,即CF=EF=CE, 又CE=CD,∴CG=GD=CD. ∵AD∥BC, ∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH. ∴△ADG≌△HCG. ∴AG=HG. ∵∠AEH=90°, ∴EG=AH=GH. ∴∠GEH=∠H=∠AGE.