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1、2022年高三數學總復習 任意角的三角函數教案 理 教材分析 這節(jié)課是在初中學習的銳角三角函數的基礎上，進一步學習任意角的三角函數．任意角的三角函數通常是借助直角坐標系來定義的．三角函數的定義是本章教學內容的基本概念和重要概念，也是學習后續(xù)內容的基礎，更是學好本章內容的關鍵．因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數的定義．在此基礎上，這節(jié)課又進一步研討了三角函數的定義域，函數值在各象限的符號，以及誘導公式（一），這既是對三角函數的簡單應用，也是為學習后續(xù)內容做了必要準備． 教學目標 1. 讓學生認識三角函數推廣的必要性，經歷三角函數的推廣的過程，增強對數的理解能力． 2. 理解和掌握三

2、角函數的定義，在此基礎上探索與研究三角函數定義域、三角函數值的符號和誘導公式（一），并能初步應用它們解決一些問題． 3. 通過對任意角的三角函數的學習，初步體會數學知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，提高學生的科學思維水平． 任務分析 在初中，我們只是學習了銳角三角函數，現(xiàn)在學習的是任意角的三角函數．定義的對象從銳角三角函數推廣到任意角的三角函數，從四種三角函數增加到六種三角函數．定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標系．為了便于學生體會和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個象限的情況都畫出來（注意表示角時不用箭頭），學習時，必須弄清并強調：這六個比值的大小都與點P在角的終邊上

3、的位置無關，只與角的大小有關，即它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，符合函數的定義，從而歸納和總結出任意角的三角函數的定義．對于三角函數的定義域、函數值在各象限內的符號和誘導公式（一），可放手讓學生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學生的數學思維能力． 教學設計 一、情景設置 初中我們學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應邊的比值為函數值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數．這節(jié)課，我們研究當α是一個任意角時的三角函數的定義． ? 在初中，三角函數的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中， 現(xiàn)在，把三

4、角形放到坐標系中．如圖32-2，設點B的坐標為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y(tǒng)，OB＝，從而 即角α的三角函數可以理解為坐標的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數． 二、建立模型 一般地，設α是任意角，以α的頂點O為坐標原點，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點的任一點．如圖： 那么，OP＝，記作r，（r＞0）． 對于三個量x，y，r，一般地，可以產生六個比值：.當α確定時，根據初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應的唯一確定．根據函數的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數，分別把稱之為

5、α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數，記為 對于定義，思考如下問題： 1. 當角α確定后，比值與P點的位置有關嗎？為什么？ 2. 利用坐標法定義三角函數與利用直角三角形定義三角函數有什么關系？ 3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？ 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知角α的終邊經過P（－2，3），求角α的六個三角函數值． 思考：若P（－2，3）變?yōu)椋ǎ?m，3m）呢？（m≠0） 2. 求下列角的六個三角函數值． 注：強化定義． ［練　習］ 1. 已知角α的終邊經過下列各點，求角α的六個三角函數值． （1）P（3，－4）．　（2）P（m，

6、3）． 2. 計　算． （1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°． 四、拓展延伸 1. 由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數可以看成以實數為自變量的函數，如sina＝，不論α取任何實數，恒有意義，所以sina的定義域為｛α｜α∈R｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域． 2. 根據三角函數的定義以及x，y，r在不同象限內的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個象限的符號． 3. 計算下列各組角的函數值，并歸納和總結出一般性的規(guī)律． （1）sin30°，sin390°．　　（2）cos45°，

7、cos（－315°）． 規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數值， 即sin（α＋k360°）＝sina， cos（α＋k·360°）＝cosa， tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）． 五、應用與深化 ［例　題］ 1. 確定下列三角函數值的符號． 2. 求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角． ∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，t

8、anθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限． 必要性：若θ為第三象限角，由三角函數值在各個象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結論成立． ［練　習］ 1. 設α是三角形的一個內角，問：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函數可能取負值？為什么？ 2. 函數的值域是 ____________ ． 點　評 這節(jié)課在設計上特別注意了以下幾點：①前后知識的聯(lián)系，知識的產生、發(fā)展過程，如任意角的三角函數的定義，由初中所講“0°～360°”的情況逐漸過渡到“任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義．②注重了知識的探究，如三角函數值在各象限的符號，及誘導公式（一）．這里由學生自己去研究，討論，探索得出一般性結論，培養(yǎng)了學生獲取知識、探究知識的能力，強化了自主學習的意識．③注意了跟蹤練習的設計． 例題典型，練習有層次和變化，鞏固知識到位． 總體來說，這是一節(jié)實用較強，形式又不乏新穎的較好案例．