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1、2022年高三數(shù)學(xué) 《曲線與方程》教案2（新人教A選修2-1）
●教學(xué)目標(biāo)
1．了解解析幾何的基本思想；
2．了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的初步知識和觀點(diǎn)；
3．初步掌握求曲線的方程的方法.
●教學(xué)重點(diǎn)
求曲線的方程
●教學(xué)難點(diǎn)
求曲線方程一般步驟的掌握.
●教學(xué)過程
Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧：
師：上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的曲線的概念.利用這兩個重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法.
Ⅱ.講
2、授新課
1．解析幾何與坐標(biāo)法：
我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫解析幾何的學(xué)科.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.
2．平面解析幾何研究的主要問題：
（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；
（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).
說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟.
例2 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（－1，－1），（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程.
解：設(shè)M（x,y）是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)（圖7—29），也就是點(diǎn)M屬于集合
.
由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合條件可
3、表示為：
將上式兩邊平方，整理得：
x+2y－7=0 ①
我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程.
（1）由求方程的過程可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①解；
（2）設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)（x1,y1）是方程①的解，即 x+2y1－7=0 x1=7－2y1
點(diǎn)M1到A、B的距離分別是
即點(diǎn)M1在線段AB的垂直平分線上.
由（1）、（2）可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程.
師：由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟：
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示
4、曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P（M）}；
（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程f(x,y)=0;
（4）化方程f(x,y)=0為最簡形式；
（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程.
師：下面我們通過例子來進(jìn)一步熟悉求曲線軌跡的一般步驟.
例3 已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A（0，2）的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程.
解：如圖所示
5、，設(shè)點(diǎn)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn)，MB⊥x軸，垂足是B（圖7—31），那么點(diǎn)M屬于集合
由距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為：
①
將①式移項后再兩邊平方，得
x2+(y－2)2=(y+2)2,化簡得：
因為曲線在x軸的上方，所以y＞0,雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)（0，0）是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程是 (x≠0)?。
師：上述兩個例題讓學(xué)生了解坐標(biāo)法的解題方法，明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；同時，根據(jù)曲線上的點(diǎn)所要適合的條件列出等式，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)，在這里常用到一些基本公式，如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式等，因此先要了解上述知識，必要時作適當(dāng)復(fù)習(xí).
Ⅱ.課堂練習(xí) 課本P39練習(xí)3
●課堂小結(jié)
師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家初步認(rèn)識坐標(biāo)法研究幾何問題的知識與觀點(diǎn)，進(jìn)而逐步掌握求曲線的方程的一般步驟.
● 課后作業(yè)
P40習(xí)題A組 3，4 B組 2
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