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1、2022年高中數(shù)學(xué) 電子題庫(kù) 第2章章末綜合檢測(cè) 蘇教版選修1-1 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上) 橢圓＋＝1的焦距為6，則k的值為________． 解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29. 答案：11或29 已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則m＝________． 解析：雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)可化為－＝1， ∴a＝，b＝. 不妨取頂點(diǎn)，一條漸近線為mx－3y＝0， ∵＝，∴m2＋9＝25.∴m＝4.

2、答案：4 在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為________． 解析：不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則有，即，②÷①得e＝. 答案： 與x2－4y2＝1有相同的漸近線，且過M(4，)的雙曲線方程為________． 解析：設(shè)雙曲線方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，將M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 已知雙曲線3x2－y2＝9，則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于________． 解析：即求離心率，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1，可得a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2.

3、 答案：2 若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 解析：橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(2，0)，而拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為，則＝2，故p＝4. 答案：4 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________． 解析：F(1，0)，設(shè)A，則＝，＝，由·＝－4，解得y0＝±2，此時(shí)x0＝1，故A的坐標(biāo)為(1，±2)． 答案：(1，±2) 設(shè)P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，又點(diǎn)Q(0，－4)，則PQ的最大值為________． 解析：設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則PQ2＝x2＋(y＋4)2＝ 25＋

4、(y＋4)2＝－＋(－4≤y≤4)，當(dāng)y＝4時(shí)，PQ2最大，此時(shí)PQ最大， 且PQ的最大值為?。?. 答案：8 以雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是________． 解析：由題意知圓心坐標(biāo)應(yīng)為(5，0)．又因?yàn)辄c(diǎn)(5，0)到漸近線y＝±x的距離為4，所以圓的方程為x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓方程為________． 解析：由題意知，解得， ∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 已知兩點(diǎn)M(－2，0)，

5、N(2，0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足||·||＋·＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為________． 解析：由題意知P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，||＝4，則＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)； 由||·||＋·＝0，得4＋4(x－2)＝0，化簡(jiǎn)整理得y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ＝2 且 ·＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析：設(shè)P(x，y)，則Q(－x，y)，又設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a>0，b>0. 于是＝(x，y

6、－b)，＝(a－x，－y)， 由＝2可得a＝x，b＝3y， 所以x>0，y>0.又＝(－a，b)＝， 由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 橢圓＋＝1與曲線＋＝1(0

7、曲線－＝1(a>0，b>0且a≠b)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．下面四個(gè)命題 ①△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝a上； ②△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝b上； ③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上； ④△PF1F2的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)(a，0)． 其中真命題有________(寫出所有真命題的代號(hào))． 解析：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1、PF2切于點(diǎn)A、B，與F1F2切于點(diǎn)M，則PA＝PB，F(xiàn)1A＝F1M，F(xiàn)2B＝F2M，又點(diǎn)P在雙曲線右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)

8、為(x，0)，則由F1M－F2M＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，故①、④正確． 答案：①④ 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) (本小題滿分14分) 如圖，有一塊拋物線形鋼板，其垂直于對(duì)稱軸的邊界線AB長(zhǎng)為2r，高為4r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，以AB為下底，上底CD的端點(diǎn)在拋物線上，記CD＝2x，梯形面積為S.求面積S，使其為以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域． 解： 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則B(r，－4r)， 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(

9、p>0)， ∵點(diǎn)B(r，－4r)在拋物線上， ∴r2＝8pr，即p＝. ∴拋物線方程為x2＝－y. 又點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x， 則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y＝－， ∴梯形ABCD的高h(yuǎn)＝4r－. ∴S＝(2r＋2x)·＝(x＋r)(r2－x2)， 其定義域?yàn)閧x|00，b>0)，則，解得：

10、. 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)由(1)知雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x＝，即為拋物線的準(zhǔn)線方程． 故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，則有＝，故p＝. 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－x. (本小題滿分14分)已知雙曲線－＝1與點(diǎn)M(5，3)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，試在雙曲線上求一點(diǎn)P，使PM＋PF最小，并求出這個(gè)最小值． 解： 雙曲線的右焦點(diǎn)F(6，0)， 離心率e＝2，右準(zhǔn)線為l：x＝. 作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，則 PF＝ePN＝2PN?PN＝PF.此時(shí)PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝為最?。? 在－＝1中，令y＝3，得x2＝12?x＝

11、±2； 又∵x>0，∴取x＝2. 即當(dāng)所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)時(shí)，PM＋PF取最小值. (本小題滿分16分)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(－，1)在橢圓上，線段QF2與y軸的交點(diǎn)M滿足＋＝0； (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積． 解：(1)由已知，點(diǎn)Q(－，1)在橢圓上，∴有＋＝1；① 又∵＋＝0，M在y軸上，∴M為QF2的中點(diǎn)， ∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，② 由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)PF1＝m，PF

12、2＝n，則S△F1PF2＝mnsin＝mn. 由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.① 又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.② 由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝. (本小題滿分16分)一束光線從點(diǎn)F1(－1，0)出發(fā)，經(jīng)直線l：2x－y＋3＝0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過點(diǎn)F2(1，0)． (1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程． 解：(1)設(shè)F1關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為F(m，n)，則＝－且2·－＋3＝0，解得m＝－，n＝，即F，故直線F2F的方程為x＋7y－1＝0. 由，解得P.

13、(2)因?yàn)镻F1＝PF，根據(jù)橢圓定義，得2a＝PF1＋PF2＝PF＋PF2＝FF2＝?。?，所以a＝.又c＝1，所以b＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (本小題滿分16分)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)； (3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m，0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系． 解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－，于是4＋＝5，∴

14、p＝2. ∴拋物線方程為y2＝4x. (2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，則M(0，2)， 又∵F(1，0)，∴kFA＝；∵M(jìn)N⊥FA，∴kMN＝－， 則FA的方程為y＝(x－1)， MN的方程為y－2＝－x. 解方程組，得，∴N. (3)由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)(0，2)，半徑為2. 當(dāng)m＝4時(shí)，直線AK的方程為x＝4，此時(shí)，直線AK與圓M相離， 當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y＝(x－m)，即為4x－(4－m)y－4m＝0， 圓心M(0，2)到直線AK的距離d＝， 令d>2，解得m>1. ∴當(dāng)m>1時(shí)，直線AK與圓M相離； 當(dāng)m＝1時(shí)，直線AK與圓M相切； 當(dāng)m<1時(shí)，直線AK與圓M相交．