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1、2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例同步練習(xí) 新人教A版選修1-1
一、選擇題
1．將8分解為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不對(duì)
[答案] B
[解析] 設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，則y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)40，所以x＝4時(shí)，y最?。?
2．某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系為V(x)＝x2(0
2、箱子底面邊長(zhǎng)為( )
A．30 B．40
C．50 D．以上都不正確
[答案] B
3．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒．所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為( )
A．6 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] 設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2(0
3、4．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為( )
A．R B．2R
C.R D.R
[答案] C
[解析] 設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，
則R2＝(R－h(huán))2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3，
∴V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R，
當(dāng)00；當(dāng)R
4、．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，為了使所用材料最省，它的高與底半徑應(yīng)為( )
A．h＝2R B．h＝R
C．h＝R D．h＝
[答案] A
7．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C
[解析] 如圖，設(shè)∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.
8．設(shè)圓柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為( )
A. B.
C. D．2
[答案]
5、D
[解析] 設(shè)底面圓半徑為x，高為h，則V＝πr2h，
∴h＝.∴S表＝2S底＋S側(cè)＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.
∴S表′＝4πr－，∴V＝，
又當(dāng)x∈(0，)時(shí)，S表′<0；當(dāng)x∈(，V)時(shí)，S表′>0，∴當(dāng)r＝時(shí)，表面積最?。?
9．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
[答案] C
[解析] 瞬時(shí)變化率即為f′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f′
6、(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1時(shí)，f′(x)min＝－1.
10．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則其圓柱側(cè)面積最大為( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
[答案] A
[解析] 設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，
則S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此時(shí)S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
二、填空題
11．把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形，長(zhǎng)為________，寬為________時(shí)，矩形的面積最大．
[答案] 15cm 15cm
7、
[解析] 設(shè)長(zhǎng)為xcm，則寬為(30－x)cm，此時(shí)S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以長(zhǎng)為15cm，寬為15cm時(shí)，矩形的面積最大．
12．將長(zhǎng)為l的鐵絲剪成2段，各圍成長(zhǎng)與寬之比為21及32的矩形，則面積之和的最小值為________．
[答案] l2
[解析] 設(shè)前者寬為x，面積之和為y，則
y＝2x·x＋(l－6x)·(l－6x)
＝x2－lx＋l2，
y′＝x－l，令y′＝0得，x＝l，
∴ymin＝l2.
13．做一個(gè)容積為256的方底無(wú)蓋水箱，它的高為________時(shí)最省料．
[答案] 4
[解析] 設(shè)底面邊長(zhǎng)為
8、x，則高為h＝，其表面積為S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，則x＝8，則當(dāng)高h(yuǎn)＝＝4時(shí)S取得最小值．
14．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最小，則圓柱的底面半徑為________．
[答案] 3
[解析] 設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴當(dāng)R＝3時(shí)，S表最?。?
三、解答題
15．某公司規(guī)定：對(duì)于小于或等于150件的訂購(gòu)合同，每件售價(jià)為200元，對(duì)于多于150件的訂購(gòu)合同，每超
9、過(guò)一件，則每件的售價(jià)比原來(lái)減少1元，試問(wèn)訂購(gòu)多少件的合同將會(huì)使公司的收益最大？
[解析] 設(shè)x表示銷售的件數(shù)，R表示公司的收益，則R等于每件的售價(jià)x×銷售件數(shù)，當(dāng)x>150時(shí)，則R＝[200－(x－150)]x＝350x－x2為公司收益，先求R′(x)＝350－2x，令R′(x)＝0，得x＝175時(shí)，R有最大值．最大收益為R＝350×175－(175)2＝30625，而當(dāng)一份合同訂購(gòu)的件數(shù)超過(guò)175時(shí)，則公司的收益開始減小．
16．如圖，水渠橫斷面為等腰梯形，水的橫斷面面積為S，水面的高為h，問(wèn)側(cè)面與地面成多大角度時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度最??？
[解析] 設(shè)浸濕的長(zhǎng)度為l，
10、AB＝CD＝x，
則l＝BC＋2x＝－xcosθ＋2x＝＋(2－cosθ)·x
＝＋(2－cosθ)·，
∴l(xiāng)′＝h·＝h·.
令l′＝0，即h·＝0，解得cosθ＝.
∴θ＝60°.∵l只有一個(gè)極值，∴它是最小值．
將θ＝60°代入l＝＋(2－cosθ)·，
解得lmin＝＋h.
∴當(dāng)側(cè)面與地面成60°角時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度最?。?
17．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品？最大利潤(rùn)是多少？
[解析
11、] 設(shè)該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)
則L(x)＝500x－2500－C(x)
＝500x－2500－
＝300x－x3－2500(x∈N)
令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)
又當(dāng)0≤x<60時(shí)，L′(x)>0
x>60時(shí)，L′(x)<0
所以x＝60是L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
所以當(dāng)x＝60時(shí)，L(x)＝9500元．
18．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？
[解析] 設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，高為h＝＝4.5－3x(m)，故長(zhǎng)方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3.
因?yàn)閂′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，所以x＝0(舍)或x＝1.
當(dāng)00，當(dāng)1
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