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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 二次函數(shù)教案 理 教材分析 二次函數(shù)是重要的基本函數(shù)之一，由于它存在最值，因此，其單調(diào)性在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，并且它與前面學(xué)過的二次方程有密切聯(lián)系，又是后面學(xué)習(xí)解一元二次不等式的基礎(chǔ)．二次函數(shù)在初中學(xué)生已學(xué)過，主要是定義和解析式，這里，在此基礎(chǔ)上，接著學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)有一個(gè)比較完整的認(rèn)識(shí)．本節(jié)先研究特殊的二次函數(shù)y＝ax2，（a≠0）的圖像與a值的關(guān)系，這可通過a在0的附近取值畫圖觀察得到．然后，通過一個(gè)實(shí)例，如y＝x2＋4x＋6，研討二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．最后，總結(jié)出一般性結(jié)論．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，即頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸

2、方程、二次函數(shù)的單調(diào)性及其圖像，難點(diǎn)是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式轉(zhuǎn)化為y＝a（x－h(huán)）2＋k的形式． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過一個(gè)例子研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得到一般性結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象能力． 2. 掌握二次函數(shù)的概念、表達(dá)式、圖像與性質(zhì)．會(huì)用配方法解決有關(guān)問題，能熟練地求二次函數(shù)的最值． 3. 能初步運(yùn)用二次函數(shù)解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 任務(wù)分析學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容時(shí)要先復(fù)習(xí)一下學(xué)生初中學(xué)過的二次函數(shù)的有關(guān)問題．為了得到y(tǒng)＝ax2，（a≠0）的圖像與a的關(guān)系以及二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)，這里遵循由特例到一般的原則，充分利用圖像的直觀性，以

3、便學(xué)生接受．在這一過程中，應(yīng)講明配方法的操作過程． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí)引申 1. 什么是二次函數(shù)？ 2. 在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像． （1）y＝－3x2．?。?）y＝－2x2．?。?）y＝－x2．?。?）y＝－0.5x2． （5）ｙ＝0.5x2． （6）y＝x2．（7）y＝2x2． （8）y＝3x2． 3. 學(xué)生討論：函數(shù)y＝ax2中系數(shù)a的取值與它的圖像形狀有何關(guān)系？ 4. 教師明晰：在a從－3逐漸變化到＋3的過程中，拋物線開口向下并逐漸變大，當(dāng)a＝0時(shí)，y＝0，拋物線變?yōu)閤軸，然后拋物線開口向上，并逐漸變小． 二、問題情境 已知二次函數(shù)f（x）＝x2＋4x＋

4、6． （1）求它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)． （2）問：它有沒有最值？若有最大（?。┲?，最大（?。┲凳嵌嗌伲吭嚽蟪龃藭r(shí)對(duì)應(yīng)的自變量ｘ的值． （3）畫出它的圖像． （4）它的圖像有沒有對(duì)稱軸？如果有，位置如何？ （5）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 1. 先讓學(xué)生獨(dú)立解答問題1，然后師生共同確定答案 （1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴與ｘ軸交于兩點(diǎn)（－6，0），（－2，0）． （2）將原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝ （x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2． ∵對(duì)任意x∈R，都有（x＋4）2≥0， ∴f（x）≥－2，當(dāng)且

5、僅當(dāng)x＝－4時(shí)，取“＝”號(hào)． ∴函數(shù)有最小值是－2，記作ymin＝－2，此時(shí)x＝－4． （3）以x＝－4為中間值，取x的一些值列表如下： 表10-1 ｘ … －7 －6 －5 －4 －3 －2 －1 … ｙ … 0 － －2 － 0 … 描點(diǎn)，畫圖． （4）由上表及圖像推測(cè)：二次函數(shù)f（x）的圖像存在對(duì)稱軸，并且對(duì)稱軸過點(diǎn)（－4，－2），與y軸平行． （5）觀察圖像知：二次函數(shù)f（x）在（－∞，－4］上是減函數(shù)，在（－4，＋∞）上是增函數(shù)． 2. 相關(guān)問題 （1）對(duì)稱軸與圖像（拋物線）的交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn)，函數(shù)f（x）＝x2＋4x

6、＋6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－4，－2）． （2）如果將過點(diǎn)（x1，0）平行于ｙ軸的直線記作x＝x1，則函數(shù)f（x）＝x2＋4x＋6的對(duì)稱軸為x＝－4． （3）把f（x）＝x2＋4x＋6轉(zhuǎn)化為f（x）＝（x＋4）2－2，采用的是“配方法”． （4）思考：怎樣證明函數(shù)f（x）＝x2＋4x＋6的圖像關(guān)于直線x＝－4對(duì)稱？ ［提示：證明f（－4＋h）＝f（－4－h(huán)）］ （5）類似地，再對(duì)二次函數(shù)f（x）＝－x2－4x＋3研討上面四個(gè)方面的問題． 三、建立模型 對(duì)任何二次函數(shù)y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）都可以通過配方法化為y＝a（x＋）2＋的形式，并且有如下性質(zhì)： 1. 二次函數(shù)f

7、（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x＝－，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－，）． 2. （1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在（－∞，－］上遞減，在［－，＋∞）上遞增，當(dāng)x＝－時(shí)，［f（x）］min＝． （2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在（－∞，－］上遞增，在［－，＋∞）上遞減，當(dāng)x＝－時(shí)，［f（x）］max＝． 思考：（1）二次函數(shù)的圖像一定與x軸或y軸相交嗎？ （2）函數(shù)y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2嗎？ 四、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 求函數(shù)y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的圖像的對(duì)稱軸，并指出它的單調(diào)性． 注：可利用上面的性質(zhì)直

8、接寫出答案． 2. 某商品在最近一個(gè)月內(nèi)價(jià)格f（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求這種商品的日銷售額的最大值． 解：設(shè)該商品的日銷售額為S，則 ∵t∈N， ∴當(dāng)t＝10或t＝11時(shí)，Smax＝808.5． 答：這種商品日銷額的最大值是808.5． 注：本題是應(yīng)用題，自變量t∈N，不能使． ［練　習(xí)］ 1. 已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－3，不計(jì)算函數(shù)值，試比較f（－2）和f（4），f（－3）和f（3）的大?。? 2. 二次函數(shù)y＝f（x）滿足f（1＋x）＝f（1

9、－x），且方程f（x）＝0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求x1＋x2． 3. 已知函數(shù)f（x）＝2x2＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上遞增，求a的取值范圍． 4. 拋物線y＝ax2＋bx與直線y＝ax＋b，（ab≠0）的圖像（如下圖）只可能是（　　）． 四、拓展延伸 1. 如果已知二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），那么它的解析表達(dá)式如何？如果已知二次函數(shù)的圖像（拋物線）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），它的解析表達(dá)式又如何？ 2. 用函數(shù)單調(diào)性的定義研究f（x）＝ax2＋bx＋c，（a＜0）的單調(diào)性． 3. 證明函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的圖像關(guān)于直線x＝－對(duì)稱． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例講述了兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，一是特殊的二次函數(shù)y＝ax2，（a≠0）的圖像隨ａ值變化的規(guī)律性，二是二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．設(shè)計(jì)恰當(dāng)，重點(diǎn)突出，即重點(diǎn)講解二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．遵循由特殊到一般、由具體到抽象的原則，使結(jié)論便于被學(xué)生理解．例題與練習(xí)的選配難易適中，代表廣泛，并有利于鞏固本課重點(diǎn)知識(shí)．拓展延伸中提出的三個(gè)問題都是二次函數(shù)的重要特征，實(shí)用性強(qiáng)，并且所得結(jié)論對(duì)解決有關(guān)問題能起到事半功倍的效果．